AMie米散射理論基礎(chǔ)

1、米散射(Mie scattering );又稱“粗粒散射”。粒子尺度接近或大于入射光波長的粒子散射現(xiàn)象。德國物理學(xué)家米(Gustav Mie,1868 1957)指出,其散射光強(qiáng)在各方向是不對稱的，順入射方向上的前向散射最強(qiáng)。粒子愈大，前向散射愈強(qiáng)。 米散射當(dāng)球形粒子的尺度與波長可比擬時， 必須考慮散射粒子體內(nèi)電荷的三維分布。 此散射 情況下，散射粒子應(yīng)考慮為由許多聚集在一起的復(fù)雜分子構(gòu)成，它們在入射電磁場的作用 下，形成振蕩的多極子，多極子輻射的電磁波相疊加，就構(gòu)成散射波。又因為粒子尺度可與波 長相比擬，所以入射波的相位在粒子上是不均勻的，造成了各子波在空間和時間上的相位 差。在子波組合產(chǎn)生

2、散射波的地方，將出現(xiàn)相位差造成的干涉。這些干涉取決于入射光的 波長、粒子的大小、折射率及散射角。當(dāng)粒子增大時，造成散射強(qiáng)度變化的干涉也增大。 因此，散射光強(qiáng)與這些參數(shù)的關(guān)系，不象瑞利散射那樣簡單，而用復(fù)雜的級數(shù)表達(dá)，該級數(shù)的 收斂相當(dāng)緩慢。這個關(guān)系首先由德國科學(xué)家 G.米得出，故稱這類散射為米散射。它具有如 下特點(diǎn)：散射強(qiáng)度比瑞利散射大得多，散射強(qiáng)度隨波長的變化不如瑞利散射那樣劇烈。 隨著尺度參數(shù)增大，散射的總能量很快增加，并最后以振動的形式趨于一定值。散射光 強(qiáng)隨角度變化出現(xiàn)許多極大值和極小值，當(dāng)尺度參數(shù)增大時，極值的個數(shù)也增加。當(dāng)尺度參數(shù)增大時，前向散射與后向散射之比增大，使粒子前半球散射

3、增大。當(dāng)尺度參數(shù)很小時，米散射結(jié)果可以簡化為瑞利散射；當(dāng)尺度參數(shù)很大時，它的結(jié)果又與幾何光學(xué)結(jié)果一 致；而在尺度參數(shù)比較適中的范圍內(nèi)，只有用米散射才能得到唯一正確的結(jié)果。所以米散射計算模式能廣泛地描述任何尺度參數(shù)均勻球狀粒子的散射特點(diǎn)。19 世紀(jì)末，英國科學(xué)家瑞利首先解釋了天空的藍(lán)色：在清潔大氣中，起主要散射作用 的是大氣氣體分子的密度漲落。分子散射的光強(qiáng)度和入射波長四次方成反比，因此在發(fā)生 大氣分子散射的日光中，紫、藍(lán)和青色彩光比綠、黃、橙和紅色彩光為強(qiáng)，最后綜合效果 使天穹呈現(xiàn)藍(lán)色。從而建立了瑞利散射理論。20 世紀(jì)初，德國科學(xué)家米從電磁理論出發(fā)，又稱粗進(jìn)一步解決了均勻球形粒子的散射問題，

4、建立了米散射理論，粒散射理論。質(zhì)點(diǎn)半徑與波長：接近時的散射，特點(diǎn)：粗粒散射與波長無關(guān)，對各波長的散射能力相同，大氣較混濁時，大氣中懸浮較多的的塵粒與水滴時，天空呈灰白色。米散射理論是由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來的均質(zhì)球形粒子在電磁場中對平面波散射的精確解。一般把粒子直徑與入射光波長相當(dāng)?shù)奈⒘Ｗ铀斐傻纳⑸浞Q為米散射。米散射適 合于任何粒子尺度，只是當(dāng)粒子直徑相對于波長而言很小時利用瑞利散射、很大時利用夫瑯 和費(fèi)衍射理論就可以很方便的近似解決問題。米散射理論最早是由 G1 Mie 在研究膠體金屬粒子的散射時建立的。1908 年,米氏通過電磁波的麥克斯韋方程，解出了一個關(guān)于光散射的嚴(yán)格解，得出了任 意

5、直徑、任意成分的均勻粒子的散射規(guī)律，這就是著名的米氏理論4 - 6 。根據(jù)米散射 理論,當(dāng)入射光強(qiáng)為 I0 ,粒子周圍介質(zhì)中波長為入的自然光平行入射到直徑為 D 的各向同 性真球形粒子上時，在散射角為9,距離粒子 r 處的散射光和散射系數(shù)分別為：從上式中可以看到，因為是各向同性的粒子，散射光強(qiáng)的分布和角無關(guān)。同時，上式中：i1 、i2 為散射光的強(qiáng)度函數(shù)；si 、s2 稱為散射光的振幅函數(shù)；a 為粒子的尺寸參數(shù)（a =nD/入）;m = mi +im2為粒子相對周圍介質(zhì)的折射率,當(dāng)虛部不為零時,表示粒子有吸收。對于散射光的振幅函數(shù)，有：式中 an、bn 為米散射系數(shù)，其表達(dá)式為：其中：幾七f門

6、是半奇階的第一類貝塞爾函數(shù)；圧二+（是第二類漢克爾函數(shù)；Pn （cos9） 是第一類勒讓德函數(shù)；P（1）n （cos9）是第一類締合勒讓德函數(shù)。M ie散射理論M ie 散射理論是麥克斯韋方程對處在均勻介質(zhì)中的均勻顆粒在平面單色波照射下的嚴(yán)格數(shù)學(xué)解。由 M ie 散射知道，距離散射體 r 處 p 點(diǎn)的散射光強(qiáng)為 式中：為光波波長;I 0為入射光強(qiáng);I sca 為散射光強(qiáng)；-為散射角；：為偏振光的偏振角。式中：SC）和S2C）是振幅函數(shù)；an 和 bn 是與貝塞爾函數(shù)和漢克爾函數(shù)有關(guān)的函數(shù)；二n和n是連帶勒讓得函數(shù)的函數(shù)，僅與散射角，有關(guān)。其中rF式中：nC ）和0 ）分別是貝塞爾函數(shù)和第一類漢

7、克爾函數(shù)；：nC）和n ）是=（）和；ne ）的導(dǎo)數(shù)；-為無因次直徑，二D, D 為顆粒的實際直徑；是 入射光的波長；m 是散射顆粒相對于周圍介質(zhì)的折射率，它是一個復(fù)數(shù)，虛部是顆粒對光 的吸收的量化。由以上公式可見，M ie 散射計算的關(guān)鍵是振幅函數(shù) SiC）和 5）,它們 是一個無窮求和的過程，理論上無法計算。求解振幅函數(shù)的關(guān)鍵是計算 an 和 bn ,所以 M ie 散射的計算難點(diǎn)是求解 an 和 bn。M ie散射理論的數(shù)值計算通過以上分析可知，M ie 散射計算的核心是求解 an 和 bn ,我們編制程序也是圍繞它進(jìn)行編寫。在 an 和 bn 的表達(dá)式中：n（：）C ）,；nC ）和；

8、nC）滿足下列遞推關(guān)系：這些函數(shù)的初始值為；與散射角有關(guān)的：nC ）和；nC ）滿足下列遞推公式：有了這些遞推公式可以很方便地通過計算機(jī)程序求解。但是對于n 的大小，因為計算機(jī)不可能計算無窮個數(shù)據(jù)，所以 n 在計算之前就要被確定。散射理論基礎(chǔ)與 Matlab 實現(xiàn)若散射體為均勻球體，如圖 1 所示，照射光為線偏振平面波，振幅為 E ,光強(qiáng) 10,沿 z 軸 傳播,其電場矢量沿 x 軸振動。散射體位于坐標(biāo)原點(diǎn) O , P 為觀測點(diǎn)。散射光方向（OP 方 向）與照射光方向（z 軸）所組成的平面稱為散射面，照射光方向至散射光方向之間的夾 角B稱為散射角，而 x 軸至 0 唯 xy 平面上投影線（OP

9、 ）之間的夾角稱為極化角。觀測 點(diǎn)與散射體相距 r。根據(jù)經(jīng)典的 Mie 散射理論,散射粒子的尺度參數(shù)為a= 2na/入，其中 a 為球形粒子的半徑，散射粒子相對周圍介質(zhì)的折射率為 m = m1 +i *m2。則散射光垂直于散 射面和平行于散射面的兩個分量的振幅函數(shù)為：以上式中:J n+1/ 2 （ z ）和 Y n+1/ 2 （ z ） 分別為半整數(shù)階的第一類,第二類貝塞爾函數(shù)。Pn（cos0）為一階 n 次第一類締合勒讓德函數(shù)；Pn （cos0）為第一類勒 讓德函數(shù)。在數(shù)值模擬過程中選取初始下：微粒子對光的散射和吸收是電磁波與微粒子相互作用的重要特征，而微粒對電磁輻射 的吸收與散射與粒子的線

10、度有密切關(guān)系，對于不同線度的粒子必須應(yīng)用不同的散射理論。 Mie 散射理論主要用于從亞微米至微米的尺寸段；在微米以下至納米的光散射則近似為形 式更明晰簡單的瑞利散射定律，散射光強(qiáng)烈依賴于光波長 入（I入-4）;而對大于微米至毫 米的大粒子則近似為意義明確的夫朗和費(fèi)衍射規(guī)律了。Mie 散射理論給出了球型粒子在遠(yuǎn)場條件下的散射場振幅an、bn 以及粒子內(nèi)部電磁場振幅 cn、dn 的計算表達(dá)式，通常稱為 Mie 散射系數(shù)式中 m 表示微粒子外部介質(zhì)的相對折射率,x =Ka ,a 為球的半徑,K= 2n/入稱為波 數(shù),卩為相對磁導(dǎo)率,即球的磁導(dǎo)率與介質(zhì)磁導(dǎo)率的比值,j n（x）和 hn（x）分別為第一

11、類虛 宗量球 Bessel函數(shù)和 Hankell 函數(shù)。散射系數(shù),消光系數(shù)及偏振狀態(tài)下散射相位函數(shù)：散射截面（7sca（散射率 Qca）、吸收截面（Tabs（吸收率Qbs）、消光截面（Text（消光率Qxt）、 后向散射截面Tb（后向散射率 Q）以及輻射壓力Tpr（輻射壓力效率Qr）。其表達(dá)式如下:其中 i 為 sca、abs、ext、pr 分別表示散射、吸收、消光、輻射壓力。按照能量守 恒定律有：Qr（輻射壓力效率的計算公式）射系數(shù)）：這些都是無窮級數(shù)求和,在實際計算過程中必須取有限項，Bohren 和 Huffman 給出了級數(shù)項最大值取舍的標(biāo)準(zhǔn)：對于單位振幅入射波經(jīng)微粒散射后，其散射場振

12、幅的大小與散射角有關(guān)，在球坐標(biāo)系下, 遠(yuǎn)場散射振幅的大小為：其中 S1 和 S2 為散射輻射電場在垂直及平行于散射面的兩個偏振分量。微球內(nèi)部場振幅計算公式顆粒內(nèi)部電場強(qiáng)度為其中MDoln和N（1）e1n為矢量波球諧函數(shù),在球坐標(biāo)系中定義如下吸收截面 Qbs具有損耗介質(zhì)顆粒的吸收截面為：其中& 是粒子相對介電常數(shù)的虛部，經(jīng)整理可得：式中mn、nn為：實際上由 Mie 散射理論可知，上式中的積分項為電場強(qiáng)度的平方對角度9、全空間積分的平均值，即：于是吸收效率為：式中 x = rk = z/ m 。當(dāng) x n 1 時即瑞利散射情況,顆粒的內(nèi)部平均場強(qiáng)為常數(shù),其值為：9Mie 計算存在的冋題就

13、是如何最有效地構(gòu)造 Mie 計算，同時保證準(zhǔn)確性和避免數(shù)值的不 穩(wěn)定性和病態(tài)。Mie 計算以耗時著稱，首先無窮項級數(shù) N 的求和，例如：100m的水滴在 0.5lm 的可見光散射情況下，大約需 1260 項求和。其次，典型的計算都希望能對一系列半 徑（如對尺寸分布求積分）、一系列波長（如對太陽光譜求積分）及一系列折射率求和（如 通過散射參量反推折射率）。當(dāng)折射率虛部mm很大時，用向后循環(huán)法求An很不穩(wěn)定。而向前遞推總是穩(wěn)定的（但向后遞推安全時，總是 優(yōu)先選擇，因為其計算速度很快）。得岀允許向后遞推的經(jīng)驗標(biāo)準(zhǔn)：用正確的向前地推與相對應(yīng)的向后地推做比較，當(dāng)發(fā)現(xiàn)對：r，（r 和 g 的相對誤差超過

14、10-6時，認(rèn)為計算失敗。對于一對確定的（x,mRe），我們采用向后遞推尋找第一個循環(huán)失敗的仁研究表明：對于確定的的值隨著 x 的增加很快趨向于一個確定值。 8 + 26衛(wèi)2/nfs 4474m社如果在任意角度下Sp S2的實部和虛部的相對誤差超過10一5時，認(rèn)為對和S2的向后遞 推失敗。（而此時，QscaQext并不受影響，因為當(dāng)S，S2的相對誤差達(dá)到10時，QscaQext的相對誤差總維持在10_10以下。）=13581 10*8/nRe+ 3.9* 對 和Sn 腹 mW事域股 f 廠伍爼 對散射強(qiáng)度|再; IGF 和偏正度(|S2p|S1|2)/(|S2p+s1p)連分式算法總結(jié)：Mie

15、 散射計算的核心是計算 an 和 bn其中書n(a) =aJn(a) ,En(a) =aJn(a) + iaYn(a) , Jn和Yn分別是第和二類貝塞耳函數(shù)，a稱為當(dāng)量直徑，a= 2nr/入,r是球形顆粒的真實半徑，入是入射光的波長，m為折射率 式中p為函數(shù)任一自變量。貝塞耳函數(shù)遞推關(guān)系式：Mie 散射計算中 J n、Yn、Dn 的計算是關(guān)鍵和難點(diǎn)。對于 Dn ,我們采用的是 Lentz 的連 分式的算法：Lentz 證明有如下關(guān)系：其中，_I 0我們注意到當(dāng)時，血廬氐3。所以可以利用上式累積相乘直到滿足精度要求。(可根據(jù) 精度要求例如 10-7來確定所要達(dá)到的 k 值)對于Jn、Yn的生成

16、本文也采用連分式的算法。具體方案如下：令O =Jn- 1(a) / Jn(a)，根據(jù)貝塞耳差積公式：上式中 Cn 的計算是采用類似于 Dn 的連分式的形式，計算中可調(diào)用同一函數(shù)計 算。Jo sin/ a, J】(a丿=sin/cos/3；2若已知初值： 一 .1- - - 1 :：. I./-A.- ./ ；：!=. . / -Dn的計算采用 Dave 的倒推式：由于 Dn 函數(shù)有很強(qiáng)的收斂性，對于 Dn 的倒推計算的初值的選取有很強(qiáng)的隨意性。因為當(dāng) n -X時 Dn ( m a ) f0 ,所以可以取 0 作為初值。倒推起點(diǎn)選取大一些,可以保證 Dn 函數(shù)的 收斂完全,但是同時卻增加了計算時間。所以必須選取一個最佳的選擇標(biāo)準(zhǔn)。通過試算，作 者認(rèn)為最佳的上限為這里 ml 是復(fù)折射率的實部.同樣,對于貝塞耳函數(shù) Jn 的計算也可以用倒推的方法計算產(chǎn)生：上式是一個普通的 J n 的遞推式,知道了 J n 和 J n - 1 , 可以順利地計算出所有的 J n 序 列值。為了避免計算 Jn 的繁瑣而又能發(fā)揮遞推式的快速的優(yōu)點(diǎn)，采用下面的辦法：假設(shè) N* *