第全微分ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 全微分及應(yīng)用全微分及應(yīng)用一元函數(shù)一元函數(shù) y = f (x) 的增量概念：的增量概念：)()(xfxxfy 考慮二元函數(shù)考慮二元函數(shù) z = f ( x , y )關(guān)于關(guān)于 x 的偏增量的偏增量zx 關(guān)于關(guān)于 y 的偏增量的偏增量),(),(yxfyyxfzy 全增量全增量),(),(yxfyyxxfz ,lim),(0 xzyxfxxx ,lim),(0yzyxfyyy ),(),(yxfyxxf 一元函數(shù)一元函數(shù) y = f (x) 的微分概念：的微分概念：若函數(shù)的增量：若函數(shù)的增量：)()(xfxxfy 能表示為：能表示為：xAyd 則稱函數(shù)則稱函數(shù) y = f (x) 在

2、點(diǎn)在點(diǎn) x 處是可微的，并稱處是可微的，并稱)(xoxAy 為函數(shù)的微分為函數(shù)的微分2xS xx xx xx 2)( x 當(dāng)當(dāng)xxfyd )( )( xf例如：例如：2xS 22)(xxxS 2)(2xxx xxSd 2 存在時(shí)，存在時(shí)，考慮邊長(zhǎng)分別為考慮邊長(zhǎng)分別為 x 和和 y 的矩形的面積：的矩形的面積：yxS 當(dāng)兩邊長(zhǎng)分別取得增量當(dāng)兩邊長(zhǎng)分別取得增量 和和 時(shí)的改變量時(shí)的改變量x y yxyyxxS )()( yxyxxy xy yx yxS x y xyyx 第一部分第一部分yxxy 是是 的線性函數(shù)的線性函數(shù)yx , 第二部分第二部分yx 22)0,0(),()()(limyxyxy

3、x yx0lim yxyyxxS )()( yxyxxy xy yx yxS x y xyyx 第一部分第一部分yxxy 是是 的線性函數(shù)的線性函數(shù)yx , 第二部分第二部分yx 22)0,0(),()()(limyxyxyx yx0lim 0 )( oyxxyS |0 yx 2)(22yx |222baba 2 定義定義 ：如果函數(shù)：如果函數(shù) z = f ( x , y ) 的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz 其中其中 A 、B 與與 x , y 無關(guān)無關(guān) ( 僅與僅與 x , y 有關(guān)有關(guān) )22)()(yx 則稱則稱 z = f ( x

4、 , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x , y ) 處可微，處可微，),(yxfd),(yxfdzd yBxA 并稱并稱 A x + B y 為為 z = f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x , y ) 處的全微分，記作處的全微分，記作 d z 或或 證明：證明： ),( oyBxAz , 0lim0 z 得得),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處連連續(xù)續(xù).),(),(yxfyyxxfz 又又.)()(22yx 定義定義 ：如果函數(shù)：如果函數(shù) z = f ( x , y ) 的全增量的全增量),(),(yxfyyx

5、xfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz 則稱則稱 z = f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x , y ) 處可微，記作處可微，記作),(yxfdzd yBxA 問題問題1：函數(shù)：函數(shù) z = f ( x , y ) 在什么條件下可微？在什么條件下可微？問題問題2：在可微的條件下，：在可微的條件下，A = ？，？，B = ？)( oyBxAz )( ozd 假如假如 z = f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x , y )可微，可微，),(),(yxfyxfyx和和必存在，必存在，yyxfxyxfzdyx ),(),(證明：證明： 因?yàn)橐驗(yàn)?z = f ( x , y ) 在點(diǎn)

6、在點(diǎn) ( x , y ) 可微，可微，故故 z )( oyBxA 22)()(yx ),(),(yxfyyxxf 且且 z = f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x , y ) 處的微分可表示處的微分可表示為為定理定理1必要條件）必要條件）則函數(shù)在該點(diǎn)則函數(shù)在該點(diǎn) ( x , y ) 處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)（1令令 ，得，得0,0 yx ),(),(yxfyxxf xA xyxfyxxf ),(),( xxoA ) | ( ) | (xo ),(),(yxfyyxxfz )( oyBxA 22)()(yx xyxfyxxfx ),(),(lim0 xxoAx ) | (lim

7、0 ),(yxfAx （2令令 ，同理得：，同理得：0,0 yx ),(yxfBy 所以，當(dāng)函數(shù)可微時(shí)，全微分可寫成所以，當(dāng)函數(shù)可微時(shí)，全微分可寫成 yyxfxyxfzdyx ),(),(若分別取若分別取 z = x 和和 z = y ，那么那么 zdyxxxyx )()( x yyxyyx )()( y ydyxfxdyxfzdyx),(),( 所所以以記記,),(xdyxfzdxx 分別稱為分別稱為 z = f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x , y ) 處對(duì)處對(duì) x 和和 y 的偏微分。的偏微分。xd zd,),(xdyxfzdyy zdzdzdyx yd疊加原理：二元函數(shù)的全微分

8、等于它的兩個(gè)偏疊加原理：二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏 微分之和。微分之和。疊加原理也適用于二元以上的多元函數(shù)的情形。疊加原理也適用于二元以上的多元函數(shù)的情形。如設(shè)如設(shè) u = f ( x , y , z ) 則有則有zdzyxfydzyxfxdzyxfudzyx),(),(),( （1對(duì)于一元函數(shù)，可微對(duì)于一元函數(shù)，可微 可導(dǎo)；可導(dǎo)；幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明：（2對(duì)于多元函數(shù)，可微一定連續(xù)，對(duì)于多元函數(shù)，可微一定連續(xù)，（3對(duì)于多元函數(shù)，若可微，則偏導(dǎo)數(shù)一定存在，對(duì)于多元函數(shù)，若可微，則偏導(dǎo)數(shù)一定存在，問題問題3：對(duì)于多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)是否一：對(duì)于多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)是否一 定可微？定

9、可微？ 例例1.000),(222222 yxyxyxxyyxf試證明：在點(diǎn)試證明：在點(diǎn))0 , 0(處有處有0)0 , 0()0 , 0( yxff 但但 f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處不可微。處不可微。證明：證明：)0 , 0(xf, 00lim0 xx0)0 , 0( yf同理同理xfxfx )0 , 0()0 ,(lim0 xxxx 000lim20證明：證明：用反證法證明函數(shù)在點(diǎn)用反證法證明函數(shù)在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處不可微。處不可微。假如假如 f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處可微，則必有處可微，則必有)0, 0()0,0(fyx

10、fz )( oyBxA 由定理由定理1)()0, 0()0, 0( oyfxfyx 即有即有22yxyx 0 )(00 oyx )( o 例例1.000),(222222 yxyxyxxyyxf試證明：在點(diǎn)試證明：在點(diǎn))0 , 0(處有處有0)0 , 0()0 , 0( yxff 但但 f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處不可微。處不可微。因此必有因此必有 220limyxyx 2200limyxyxyx 0 但當(dāng)?shù)?dāng),)0, 0(),(時(shí)時(shí)沿沿直直線線 kxyyxxky 即有即有22yxyx 0 )(00 oyx )( o 2200limyxyxyx 22220limxk

11、xxkxkyx 21kk 與與k有關(guān)有關(guān) ,lim2200不不存存在在yxyxyx 矛盾！矛盾！),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 即即所以函數(shù)在點(diǎn)所以函數(shù)在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處不可微。處不可微。上述例子有兩個(gè)重要性上述例子有兩個(gè)重要性（1它具體說明了即使函數(shù)在某點(diǎn)處的各個(gè)偏它具體說明了即使函數(shù)在某點(diǎn)處的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)可微。導(dǎo)數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)可微。（2它給出了證明函數(shù)在某點(diǎn)不可微的一般方法。它給出了證明函數(shù)在某點(diǎn)不可微的一般方法。),(),(yxfyxfyx和和定理定理2可微的充分條件）可微的充分條件）: 假如假如 z = f ( x

12、, y ) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x , y ) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，那么的某鄰域內(nèi)連續(xù)，那么 z = f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x , y ) 處可微。處可微。問題問題1：函數(shù)：函數(shù) z = f ( x , y ) 在什么條件下可微？在什么條件下可微？多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在例例2：計(jì)算：計(jì)算yxez 解：解：,yxxeyz 12 yxxz,2e 12 yxyz,22e 12 yxyxeyydexdezd222 在點(diǎn)在點(diǎn) ( 2 , 1 ) 處的全微分。處的全微分。,

13、yxyexz 全微分的計(jì)算全微分的計(jì)算當(dāng)函數(shù)可微時(shí)，全微分可表示為當(dāng)函數(shù)可微時(shí)，全微分可表示為 ydyxfxdyxfzdyx),(),( 所以全微分的計(jì)算實(shí)際上就是偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問題。所以全微分的計(jì)算實(shí)際上就是偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問題。例例3：計(jì)算函數(shù)：計(jì)算函數(shù) 的全微分的全微分zyeyxu 2sin解：解：xu )2sin(zyeyxx 1 yu )2sin(zyeyxy zyezy 2cos21zu )2sin(zyeyxz zyey zdeyydezyxdudzyzy )2cos21(解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),

14、4( ).74(82 224 yxxz 2224 yxyz解答解答則則且且, 1)0, 0(, 3)0, 0( yxff思考題：假設(shè)思考題：假設(shè) f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 的某鄰域內(nèi)有定的某鄰域內(nèi)有定義義dydxyxfd 3| ),()0,0( 假設(shè)假設(shè) f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處可微，則必處可微，則必有有dydxyxfd 3| ),()0,0(假設(shè)假設(shè) f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處不可微，則表達(dá)處不可微，則表達(dá)式式dyfdxfyx)0, 0()0, 0( 可以存在，可以存在， 但它不代表函數(shù)在但它不代表函數(shù)

15、在 ( 0, 0 ) 處的微分。處的微分。第八章作業(yè)第八章作業(yè)第三節(jié)：全微分第三節(jié)：全微分習(xí)題習(xí)題8 3: 1(1, 3), 2, 4 定義定義 ：如果函數(shù)：如果函數(shù) z = f ( x , y ) 的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz 其中其中 A 、B 與與 x , y 無關(guān)無關(guān) ( 僅與僅與 x , y 有關(guān)有關(guān) )22)()(yx 則稱則稱 z = f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x , y ) 處可微，處可微，),(yxfd),(yxfdzd yBxA 并稱并稱 A x + B y 為為 z = f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x , y ) 處的全微分，記作處的全微分，記作 d z 或或 內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧定理定理1必要條件）：必要條件）： 假如假如 z = f ( x