多維隨機變量題庫

1、#00001f)(B+arctg(舟) 已知 F(x,y)=A(B+arctg2 31) 求常數 A , B , Co2) 求 P0X2,0Y2X；3)求 F(0.5,0.5)D 為(X,Y)的非 0 定義域1yi iCdxdy 二 1= dy cdx 二 1 二 c 二 1D02)Y 2X見如圖區(qū)域 Gy1 23二 PY 2X = Jf1dxdy = dy f1dx =- 或G0 _y43)由 F(x,y)的幾何意義，可將 F(0.5,0.5)理解為(X,Y)落在X 豈 0.5，丫豈 0.5區(qū)域(見如圖 Gj上的概率。故有1y21F(0.5,0.5) =PX 乞 0.5,丫 乞 0.5=dx

2、dy = f dy 1dx =-G1. y#00004卩xe-y0 _ x _ yF(x, y)=1_ej ye*0Wy 蘭 x已知(X,Y)的分布函數為0-其它求 Fx(x)與 FY(y)。*000041ex0解：Fx(x)=F(x, o)=i0 x 0:-yye -yey 工 0FY(y)=F,y)=、0y c0#00005(X,Y)的分布函數如 2.1.求 X 及 Y 的邊緣概率密度。*00005解法 2:2.1.已算出了FX(X)及 FY(y)，則1dxdy =SQ其中 SG是 G 的面積G解法 1:可先求出(X,Y)的概率密度，再由式(3.2.1)和(3.2.2)求出 X 與 Y 的

3、邊緣概率密度：2f (x,y)F(x, y)cxoy0 乞 xy其它fx(x)QO二 f(x,y)dy =-DOx _0 x _0 x：x : 0oOfY(y)二f (x,y)dx =ay A0 =ye 今其它y _0其它fx(x)=Fx(x,)=x -0其它fY(y)=FY(y)=e_y0 x000y _0其它#00006已知(X,Y)的分布律為1yxy1011/103/1001/103/10求 X、Y 的邊緣分布律*00007F(x, y) =Fx(x)FY(y)故 X與Y不獨立。#00008已知隨機變量(X,Y)的分布律為x1200.150.151aP且知 X 與 Y 獨立，求的值。*0

4、0008解：首先，：+ 上 1-0.15-0.15=0.7又 X 與 Y 獨立，由定理 3.2.3. :=(: + 譏 0.15+ - =0.35上 0.7-0.35=0.35#00009甲乙約定 8:00、9:00 在某地會面。設兩人都隨機地在這期間的任一時刻到達，先到者最多等 待 15 分鐘，過時不候。求兩人能見面的概率。*00009解：設甲于 8 點零 X分鐘到達、乙于8 點另 Y分鐘到達。由題意，X與 Y獨立且 X、U(0,60)(分)，丫、U(0,60)(分)，兩人能見面等價于|X Y| 15。為求 p|X-Y|1/3|X=-1/3*00012由式(3.3.5)當-1x1，x=1 時

5、分別求隨機變量 Z=max(X,Y)，與 W=X-Y 的分布律。并求(Z,W)的分布律。*00013解:作下表，表中第一行是自變量(X,Y)的全部可能取值點；第二行是第一行各取 值相應的概率；第三、第四行分別是第一行各取值點相應的Z、W 的取值。(X，Y)(1,-1)(0,-1)(1,0)(0,0)(1,1)(0,1)Pi,j0.080.12,0.120.180.20.3Z=max(X,Y)101011W=X+Y0-11021oOfx(x)二 f(x,y)dy-DO解：(1)1：x : 1其它x4)-1*10其它fY|Xf(x,y)-fx(x)2y=1 -X402x : y：1其它X10PX0

6、.40.6YPY-10.200.310.5Z01PZ0.30.7W-1012PW0.120.260.420.20#00013已知隨機變量 X 與丫獨立，其分布律分別為PZ=0=0.12+0.18=0.3于是，Z、W 的分布律分別為:#00014從上表可以確定 Z 的取值域為0,1,W 的取值域為-1,0,1,2.函數變量取某值 的概率等于該值在表中相應概率之和。例如設二維隨機變量(X,Y)在矩形域 G=(x,y)|0 x2,0vyv1上服從均勻分布，試求邊 長為X 和 Y 的矩形面積 S 的概率密度。*00014解：此題顯然是已知(X,Y)的分布，求 S=XY 的概率密度問題。(X,Y)的概率

7、密度為S 的分布函數為 Fs(s)=PS 乞 s=PXY ms當 s_0 時，FS(S)=0當 s 2 時，FS(S)=1現在，設 0ss,位于曲線 xy=s 下方的點滿足 xys，于是FS(S)=PSES=PXY 0,*00017解：由于當 L1,00,試寫出 L 的壽命 Z 的概率密度.由已知得,L2中有一個損壞時，系統(tǒng) L 就停止二作，所以這時 L 的壽命為Z=mi n(X,Y)X、Y 得分布函數分別為. xe一x 00 x _0y 0y _0Z= min(X,Fz(z)Y)的分布函數為ezz于是,0-Z= min(X，Y)的概率密度為fz(z)4?)zz-00fx(x)= “fY(y)

8、y 0y乞0其中:0, 40,試寫出 L 的壽命 Z 的概率密度.*00018解：由于當且僅當都損壞時，系統(tǒng)L 才停止工作，所以這時 L 的壽命 Z 為Z=max(X,Y)Z 的分布函數為(_FZ(Z)=FX(Z)FY(Z) = L-zx e )(10于是，Z=max(X,Y)的概率密度為(曲心 + 艙-隹 一(口+ 0 )ex)zz0fz(z) =J0z0f 2y1(y|1/3) 1丄810（1）求常數 C；（ 2）求fxY（x| y）,fY|x（y |x）；（ 4）求（X，Y）的聯合分布函數；（5）求 Z=X+Y 的密度函數； （6） 求 M=max（ X， Y ） 和 m=max （ X

9、， Y） 的密度函數； （7） 求 P （ X+Y1 ） 。*00020Y |X其它PY .1|X $3312ydy二0.9J11/31 -81#00019（12 分）設隨機變量（X, Y）的聯合密度函數為cxe,0：x y：0,其它C ；（ 2）求關于 X 和關于 Y 的邊緣密度函數;f (x, y)=（1） 求常數*00019解（i）根據白三f(x,y)dxdy得-be0dy0&檢誇2(3)(4 分)(2)fx(x)=JxeTdy “0,-xxe0,(8 分)fY(y)八:xe今dx0,12今2ye0,y 0y : 0(12 分)#00020（12 分）設隨機變量（X,Y）的聯合密度函數為

10、f (x, y)二cxe=0；x y：0,其它（8 分）解（1）根據U（x, y）dxdy = 1得yyC心2v0dy0Cxedx=2=y2ed八（4分）fx（X）=丿：xedy（2）0,r _xxe0,fY（y）二xedx二20,2_y0,y : 0fxY（x| y） =f（x,y）fY（y）2x:x：y：其他（8分）fx|Y（y |x）=f（x, y）0：x：y：fx（y）0,其他（12分）#00021（16 分）設隨機變量（X，Y）的聯合密度函數為f （x, y）=“.ycxe（1） 求常數*00021解（1）根據0,其它C ；（2 ）求（X , Y）的聯合分布函數;二二f（x, y）d

11、xd1得C訟20dy0Cxe Sx廠二edy（4分）（2）當 x0 或 y=C(4 分)fx(x)二xedy八0=r 丄xe0,0,=知e,0, i 0,xe今dx2-yy 0y : 0根據兩個隨機變量和的密度函數公式fZ(z)二Ef(x,z-x)dxz0 時fz（Z）二(f-1)ez2(6 分)-zez (?T)e2,0,(12 分)(14#00023（14 分）設隨機變量（X, Y）的聯合密度函數為(1)求常數 C; (2 )求 M=max (X , Y )和 m=max (X , Y)的密度函數*00023（2）當 x0 時,FM(x)二P(MEX)二P(XEX,丫 乞x)XXx12Xd

12、u ue dv u(e -e )du=1-(xx 1)e0 u 02(6 分) 即0,當x0時FM(X)x2+x+1)當x30時 2，(8 分)所以隨機變量 M=max (X , Y)的密度函數為,-x2e,當xK0時fM(x)=辺0,當xc0時當 x0 時，Fm(x)二P(m乞x) = 1 - P(m x) = 1 - P(X x,Y x)-：v1212一=1 - dv ue du =1v e dv = 1-(一x x 1)e*02x2(12 分)因此 m 的密度函數為lx2e：當x 0時fm（X）二2、0,當x0時分）#00024（14 分）設隨機變量（X, Y）的聯合密度函數為f(x,

13、y)cxe ,0,0：x y：:其它解（1）根據0 0_；J(x,y)dxdy得- :yydy Cxedx二C一y2edy= C =12 2(4 分)(14VCcxe , 0：x：y：0,其它(1)求常數 C; (2 )求 M=max (X , Y )和 m=max (X , Y)的密度函數*0002412舟fm(x) = 2X ei 0,分)#00025(10 分)設隨機變量(i)根據(x,y)dxdy得(2)ody。yyC心2 yCxe dxy2edy =當 X 0 時,FM(x)二 P(M 乞 x)二 P(XEX,丫空 x)1_ ejdu = 1 _ ( x2x 1)eXX)du u u

14、edv =Xu(e0,FM(X)=片z 12丄丄八-X 1一(一x +x +1)el 2當 x：0 時當 x _0時所以隨機變量 M=max (X , Y)的密度函數為fwi (x) = 2rx2e,當x K0時0,當x : 0時當 X 0 時,-：v12亠1 - dv ue du =1v e dv = 1x02xFm(X)二的密度函數為P(m 乞 x) = 1 - P(m x) = 1 - P(X x,Y x)12-(x x 1)e2-X(12 分)因此 mf (X, y) = *f(x, y),當x 0時 當x乞0時的聯合密度函數為(14cxe0：x y:0,其它2其他-0,其他(1)求常

15、數 C; (2 )求 P (X+Y1 )。*00025解( 1)根據二(dxdy/得dy：Cxe *dx二# i二y2edy二(3) c = C = 11 11 _x彳亠P(X Y：1)=：dX x xedy = 2x(eex)dx二1 1 1:xedx -e1p2xexdx = 1 - e2- e#00026設隨機變量 X 與 Y 相互獨立，且同服從0, 1上的均勻分布，試求: 密度函數*00026解:先求 Z 的分布函數|0,x0FZ(x) = P| X -Y |蘭x = 1”0,X0= *1(1x)2,0蘭xv11,x M1Z 的密度函數為#00027設隨機變量 X 與 Y 相互獨立，且同服從0，1上的均勻分布，試求: 求（U，V）關于 U 和關于 V 的邊緣密度函數；*00027解：關于 U 的邊緣密度為u1-dv, 0蘭u v1J2u, 0蘭u 12-u1fu（u）= dv, 1蘭uc2=2 u, 1蘭u1（4 分）（10-分Z=|X-Y|的分布函數與fZ(x)二Fz(x)二21 -x),0,0豈x： ：1其他(12 分)(9 分)關于 V 的邊緣密度函數為v 21#00028(12 分)設隨機變量 X 與 Y 相互獨立，且同服從0,