數(shù)學(xué)專題目講座精品大全函數(shù)與方程

1、高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講座專題 1：函數(shù)與方程函數(shù)與方程是兩個不同的概念， 但它們之間有著密切的聯(lián)系， 一個函數(shù)假設(shè)有解析表達(dá)式 y = f (x) ，那么這個解析表達(dá)式可以看成是一個方程，一個二元方程，兩個變量間存在著對 應(yīng)關(guān)系， 如果這個對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的話， 那么這個方程可以看成是一個函數(shù)； 一個一元方程， 它的兩端可以分別看作函數(shù)，方程的解就是這兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)。因此， 許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法去解決； 反之， 許多有關(guān)函數(shù)的問題也可 用方程的方法去解決。函數(shù)思想，即先構(gòu)造函數(shù)，把給定問題轉(zhuǎn)化對輔助函數(shù)的性質(zhì)研究，得出所需的結(jié)論。 方程思想，就是把對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識，歸納為對方

2、程和方程組的認(rèn)識。對于函數(shù)思想，應(yīng)深刻理解一般函數(shù)y=f(x)、 yf 1(x) 的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值和圖像變換) 。熟練掌握根本初等函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想解題的根底。函數(shù)方程思想常同數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化思想相互融合后才能充分發(fā)揮其具體解題的功效。【例題解析】【例 1】 ( 1)集合 A= x|x2ax+a219=0 ，集合 B= x|log 2(x2 5x+8)=1 ，集合x 2 2x 8C=x|m =1,m 工 0, |m|M 1滿足 An B , An C=，求實數(shù) a 的值；(2)集合 P= xX2- 5x+4w 0,Q=x|x2 2bx+b+2 0滿足 P Q,求實

3、數(shù) b 的取值范 圍。解(1)由條件即可得 B=2 , 3, C= 4, 2，由 An B, An C=，可知 3 A,2 A。將 x=3 代入集合 A 的條件得：a2 3a 10=0 a= 2 或 a=5當(dāng) a= 2 時，A=x|x2+2x 15=0= 5,3,符合條件。當(dāng) a=5 時,A=x|x2 5x+6=0=2 , 3，不符合條件“ A n C =，故舍去。綜上得： a= 2。(2)顯然 P=x|1w xw 4,記 f(x)=x2 2bx+b+2假設(shè)Q為空集，那么由 0得:4b2 4b+20 1b2。假設(shè)Q不是空集，那么應(yīng)滿足2f(1) 0f(4)02b142b b 20即b 307b

4、 1801 b 4解之得:綜上得：1b a ,(2)124a24 2a0,1 時，x a 1 2a 1 2/ x12a 1a，即x12a 1滿足條件，故X2a 12a 12a 1a，解得a 0又當(dāng)a = 0時，P、Q、R三點重合，故a當(dāng) a 0 或 a1-時，方程只有一個實根,21所求a的范圍是a 0或a -。2【例4】函數(shù)f(x)的定義域為R,且對于一切實數(shù)x滿足f(x+2)=f(2 x),f(x+7)=f(7 x)(1) 假設(shè) f(5)=9,求：f( 5);(2) x 2,7時，f(x)=(x 2)2x (x 22)16,最小值為 9;x (17,20 ,g(x)g(17)=9,g(x)w

5、 g(20)=36 g(x)的最大值為36,最小值為9。(3)由 f(0)=0,及 f(0)=f(4)=0，知 f(0)在0,10)上至少有兩個解。而在1000, 1000)上有200個周期，至少有 400個解。又f(1000)=0所以最少有401個解。且這401個解的和為200。，求當(dāng) x 16,20時，函數(shù) g(x)=2x f(x)的表達(dá)式， 并求出g(x)的最大值和最小值；(3) 假設(shè)f(x)=0的一根是0,記f(x)=0在區(qū)間1000,1000上的根數(shù)為N，求N的最小 值。解：(1)由 f(x+2)=f(2 x)及 f(x+7)=f(7 x)得:f(x)的圖像關(guān)于直線 x=2,x=7

6、對稱。 f(x)=f(x 2)+2=f2 (x 2)= f(4 x)=f7 (3+x)= f(7+(3+x)=f(x+10) f(x)是以10為周期的周期函數(shù)。 f( 5)=f( 5+10)=f(5)=9(2)當(dāng) x 16,17,x 10 6,7 f(x)=f(x 10)=(x 10 2)2=(x 12)2當(dāng) x (17,20 ,x 20 ( 3,0,4 (x 20) 4,7 ) f(x)=f(x 20)= f4 (x 20)=f(24 x)=(x 22)22 g(x)=x 16,17x (17,2016,17時，g(x)最大值為2x (x 12)2注 題中2可根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性、函數(shù)的周期

7、性，通過作圖得到八(x 12)2x 16,17f(x)=c(x 22)2x (17,20一般地：當(dāng) x 3, 2時，4 x 2,7 f(x)=f(4 x)=(x 2)2當(dāng) x 3,7,f(x)=(x 2)2故當(dāng) x 3+10k,7+10k, x 10k 3,7 f(x)= (x 10k 2)2(k z) f(x)= (x 10k 2)2 x 3+10k,7+10k, ( k Z)1【例5】 設(shè)a是正數(shù)，ax+y=2(x 0,y 0)，記y+3x - x2的最大值是 M( a)，試求：2(1) M(a)的表達(dá)式；(2) M(a)的最小值。1解：將代數(shù)式y(tǒng)+3x - x2表示為一個字母，由ax+y

8、=2解出y后代入消元，建立關(guān)于x2的二次函數(shù)，逐步進行分類求M(a)。1(1)設(shè) S(x)=y+3x - x2,將 y=2 ax 代入消去 y,得：1 2S(x)=2 ax+3x x221 2 =x2+(3 a)x+21 1=2 x(3 a)2+ - (3 a)2+2(x 0)0 2 ax?02而 a0 0 x -a下面分三種情況求 M(a)2(i) 當(dāng) 03 a0)，即a0 a 32時a2 3a 20解得 0a1或2a0),a3a0時,解得：1 W a 2,這時2M(a)=S(_)=2 a a2 +3 a2.2a26+ aa(iii)當(dāng) 3-aw 0；M(a)=S(0)=2綜上所述得:92M

9、 (a) = a21(322a)2a)2(2)下面分情況探討(0(1(a3)1)2)3)M( a)的最小值。當(dāng) 0a1 或 2a2M(a)= $ +色a2 a=2( - 3 * )2+9a 22當(dāng)-=-時，M(a)取小值，即 a 2M(a) M (2) =5當(dāng) a 3 時，M(a)=2經(jīng)過比擬上述各類中 M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。注：解題經(jīng)驗的積累，有利于解題思路的挖掘, 對參數(shù) a的分類，完全依據(jù)二次函數(shù)頂這樣就引出三種狀態(tài)，找出解題的方案?！纠?】設(shè)函數(shù)f(x)定義域為R ,當(dāng)x0時，f(x)1 ,且對任意x,y R ,有f(x+y)=f(x) f(y)。(1) 證明：f

10、(0)=1;(2) 證明：f(x)在R上是增函數(shù)；(3) 設(shè)集合 A=( x,y)|f(x2) f(y2)0 時，f(x)1。那么設(shè) x=0,y=1 得：f(0+1)=f(0) f(1)，即 f(1)=f(0) f(1)/ f(1)1 f(0)=1(2) 證明f(x)在R上是增函數(shù)，即證明當(dāng)X1X2時，有f(xi)f(x2)。T對 Xi,X2 R,X10- f(X2)=f(X1+X2 X1)=f(X1) f(X2 X1)中有 f(X2 X1)1故要證明f(X2)f(X1)，只要證明f(X1)0即可。事實上，當(dāng) X10時，f(x1)10當(dāng) X1=0 時，f(X1)=10當(dāng) X110f(X1)0

11、f(X2)=f(X1) f(X2 X1)f(X1)，故命題得證。(3) 解 A: f(x2+y2)f(1)，那么由單調(diào)性知 x2+y2 1 c V2或c0，得 f( x)= ，證得 f(x)0 恒成立。f (X)且 f (x2)=f(x2) f( Xl)=f(X2 Xl)1 f (Xi)二 f(X2)f(Xl)【例7】 a b c,且a + b + c = 0，證明：方程ax2 2bxc 0的兩實根xi、X2 總有.3 | xix21 2 3。分析：根據(jù)方程中的條件，這就要將欲證的|xi X21中用a、b、c的關(guān)系來表示，即求|X1 X2|的函數(shù)解析表達(dá)式，然后利用函數(shù)的有關(guān)性加以解決。/ x

12、i、X2是方程axbxc0的兩個實根,2bcxiX2,XiX2aa由a b c:0及2, ,222b4c| Xi X2 |XiX24xiX2aa224b4ac4 ac4ac22aa2cc4-iaa于是轉(zhuǎn)化為關(guān)于-的二次函數(shù)a2f -4cci的值域為(3, i2)aaacc 1f 的對稱軸方程為aa2由abc,a bc0 知 a0,c 0由bac,得aac c當(dāng)aac時，得c2a當(dāng)a cc時，得cia22c丄又當(dāng)c丄時，f-是減函數(shù)a2，a2af24222i i22i丄if4i 32223f -ci2,即、3| XiX2| 2 3c+ia2aci 2 3=4(+)2+a24/ abc,a+b+c

13、=0, a0,cbc,a+b+c=O(a,b,c R)。(1) 求證：兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點A、B;(2) 求線段AB在x軸上的投影AiBi的長度的取值范圍。解：(1)證：由 y ax bx c消去 y,得 ax2+2bx+c=0 y bxc 3 =4b2 4ac=4( a c)2 4ac=4(a2+ac+c2)=4( a+)2+c224cT abc - a , c不同時為 0 0,即兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點。(2) 設(shè)方程ax2+2bx+c=0的兩根為xi和X2，那么2bcXi + X2=,XiX2=aa|AiBi|2=( X1 X2)2=( X1+X2)2 4X1X222b 2 4c

14、 4b 4ac =( ) =2a a a24( a c) 4ac c 2丄 -=4( ) +f x axbx(i)證明af m 1(2)證明方程fx0在 0, i內(nèi)有解。a分析：(1 ) afbmc m 1afabc0，解出2m 1 mmamb代入上式,m 2m 1，mm2mac,得ca am1 m 2由一 ma2m22maf(2)m20,a0,為證明方程2m,a2m1m 2mx = 0在(0, 1)內(nèi)有解，即可證明af10衛(wèi)12aaff 0 f 10 或注意0 m1 (t m是正數(shù))，以此為突破口，m 1右a 0,由(1)知f0 ,于是只需證明f (0)和f (1)中有m 1f 0c, f

15、1a b c右c0,有f 00,故已得證；右c0,那么只需證f 1 a b c 0但是上述二者都不容易證明。個大于零即可。由條件式可求得a m 1 c m 1 bm 2ma m1c m 1f 1acm2maa m 2acm ccm 2macm2 ma ca 0,m0,c 0,0m 2 mf 1 o,命題得證當(dāng)a 0時，方程f x 0在0,1內(nèi)有解當(dāng)a 0時，同理可證f x0在 0,1內(nèi)有解。【例10】(97全國)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0),二次方程f(x) x=0的兩個根xi1與 X2 滿足 0X1X2。a(1) 證明：當(dāng) U (0,X1)時，Uf(u)x1；(2) 假設(shè) f

16、(X0 x)=f(x0+x)，證明：2x0x1。證法一：(1)令F(x)=f(x) X，因為X1,X2是方程f(x) x=0的根，所以可設(shè)F(x)=a(x X1)(x X2)當(dāng) u ( 0，X1)時，X10，又 T a0，得F(u)=a(u X1)(u X2)0，即卩 uf(u)X1 f(u)= X1 (u+ F(u)=(x1 u)1 + a(u X2)1/ 0ux1X20,1 + a(u X2)=1 + au ax21 ax20，得 X1 f(u)0。/ f(u)X1故當(dāng) u( 0， X1)時,uf(u)x1(2)依題意得X0=2aT X1,X2是方程f(x) X=0的兩根，即X1,X2是方

17、程ax2+(b 1)x+c=0 的根,所以X什X2= ba(x1 x2) 1 ax1 ax2 1X0= -= -2a2a2a T 曲詈誇，即 2X0X1。證法二：(1)T方程f(x) X=0的兩根為X1,X2 f(x) x=a(x X1)(x X2)故欲證 uf(u)X10f(u) ux1 u0a(u X1)(u x2)x1 u0a(x2 u)0)10X2 u0)a又 T 0UX2 _ ,a，故 Uf(U)Xi 成立。0X2 u 成立。ay=a(x x-)(x X2)。另外，要同理可得fq)=a(2) 由于方程xi,x2是方程f(x) x=0的根，也即ax2+(b 1)x+c=0的兩根。-xi

18、 +X2=又/ 0x2X1+X2= + -aaa ax 又Xo= X，故 2xo0。1 1(1) 求 f(?)及 fq);(2) 證明f(x)是周期函數(shù)；、 1 ,(3) 記 an=f(2n+),求 lim (inan)。2n n11111解 (口 “ 1112 1又 f(-)=f(-+-)=f2(-)0 )T f(1)=f(_ + _)=f(_) f()=f2(-)=a.f(1 )= 、a2(2)t f(x)是偶函數(shù)，.f( x)=f(x)又T f(x)關(guān)于 x=1 對稱，.f(x)=f(2 x) f(x)= f( x)=f2 ( x)= f(2+x)(x R)這說明f(x)是 R上的周期函

19、數(shù)，且2是它的一個周期。(3)對于 x 0, 1,有- 0,212x x x x-f(x)=f(-+-)=f(-) -f(-)0(x 0,1) (T f(x)，其中E,f?不能同時為0 ) xiii2n)=f2n+(n -1) 2ni=f(亦)w -1) i if2n 2nin 2 2ni i.=f詁f亦f2ni=f(2n)n又 f(2)=a2, f(丄)=622niiiT f(2n+)=f() an=a212n2ni- lim (lnan)= lim (Ina)=0nn 2n【例 i2】 a,b,c 是實數(shù)，函數(shù) f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,當(dāng)一i x i 時，|f(x)

20、| 0，當(dāng)一1 w xw 1時，g(x)的最大值為2,求f(x)。解：(1)取 x=0 1, 1,由得：|c|=|f(0)| w 1(2)因為g(x)=ax+b是關(guān)于x的一次函數(shù)(也可能是常數(shù)函數(shù))，所以g(x)在區(qū)間1, 1上單調(diào)(a 0時，單調(diào)遞增；a0時，g(x)在1,1上是增函數(shù)，所以當(dāng) x=1時，g(x)取得最大值2,即 2=g(1)=f(1) f(0)所以 一1w f(0)=f(1) 2W 1 2= 1從而得：c=f(0)= 1又當(dāng)x 1, 1時，f(x)?仁f(0)，說明二次函數(shù)f(x)在1,1上不單調(diào)，所以有鶴 -1,1，且f( )=f(0)= 1。 2a又由二次函數(shù)極值的惟一

21、性得:b=0 ,即卩 b=0，由 g1 a b 2，得 a 2 2a所以 f(x)=2x2 1。注：此題第(2)小題還可這樣證明：用 f( 1),f(0),f(1)表示出a,b,c。a b c f (1)由 a b c f( 1)c f (0)解得：a= f(1) 2 f(0),b= f 2 ,c=f(0)故 |g(x)|=|ax+b|=|f(1)f(1) f(0)x+f(1) f( 1)|2 2x 1x 1=|f(1)+ f( 1) x f(0)|2 2x 1x 1二 |f(1)l+l 二 If ( 1)l+|x| |f(0)|x 1 x 1w|州I+1x 11 x=+ +12 2=2【例1

22、3】設(shè)函數(shù)yxjax b &r，證明:x21(1)存在兩個實數(shù) 5、m2 m)1m2 ，滿足 y x mi1m xa1mi x211,2 ；2(2)1m)1 1mi?a ；(3) g y xmi?證明:x m x 1 欲使其為1 m x2 a ，必有b m 1 m a20成立，故原命題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 m的方程1 m x 1b m 1 m a20，即 2ax b(1) y x m 2mx 11 m 2x22ax b mx212 21 m x 2a 1 m x b m 1 m1 m x 12 2m22b 1 m b a0有兩個不等的實根。b 1 24 b a2b 1 4a20 a 0 得證。1 m x

23、 a b m 1 m a(2) 1 m-i 1 m21mim2m-i m2221 b 1 b a2a221mi 1 m2a0,m1m21m10,1m20,即 m11 且 m2120, yxm11 m1 x a1 m1 x 1同理可證y xm2, m1y xm2【函數(shù)與方程綜合能力訓(xùn)練】一、選擇題1、 集合 M=x|x2+6x 160,N= x|(x k)(x k 2) 0,M n N 豐 ，貝U k 的取值范圍是()A、k0 ; B、k2 ; C、 8W kw 0; D、kw 8 或 k?02、集合 M= x|x2=a2,a x|x 是正實數(shù)，集合 N=x|nx=a,0，假設(shè) N M，貝U n

24、取值的集合是()A、1B、 1 C、 1,1D、 1,0,13、函數(shù)f(x)=x2,集合A= x|f(x 1) =ax,x R，且A U x|x是正實數(shù)= x|x是正實數(shù),A、(4,+ 8)B、(8，1C、(0, + 8)D、(8,4 U 0,+ 8 )4、函數(shù) y= x . 11 x的值域是()2、3、；B、( 8，2 3 ；C、55A、 ，+8 )-，+ 8 ；D、(3 ,+ 8 )99 445、 函數(shù)f(x)= 4x2+4ax-a2 4a(a0)在區(qū)間0,1上有最大值一12,那么實數(shù)a的值為( )A、一 1B、一 2C、一 3D、一 66、函數(shù)f(x)=x2 2xsin0 +sin 0

25、1( R)在區(qū)間0, 1上的極小值為g(sin 0 )，貝Vg(sin0 )的最小、最大值是()3 3A、最小值1,最大值-B、最小值3,最大值-4 43 3C、最小值2，最大值一D、無最小值，最大值-4 47、 當(dāng)0 x 1時，函數(shù)y=ax+a 1的值有正值也有負(fù)值，貝U實數(shù)a的取值范圍是()1 1十小1A、a1C、a判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并給予證明；D、 ag(a) g( b)成立的是( )A、 ab0B、 ab0D、 ab1 (或x2，那么a的取值范圍是()1 1 1A、(-,1)U (1,2); B、(0,2)U (1,2); C、(1,2); D、(0,-)U (2,+)二、填空題

26、13、 函數(shù)y= , 5 x +log 1 x的值域是。22x14、 f(x)=a 3 (a為不等于1的正數(shù))，且f(lga)=310，貝U a=。15、 xo是x的方程ax=logax(0a1。 1)+1在( ,0)上有最小值3(a,b為非零常數(shù))，那么 函數(shù)f(x)在(0, + R)上有最 值為。三、解答題17、設(shè)f(x)是定義在(汽 + R)上的函數(shù)，對一切 x R均有f(x)+f(x+3)=0，且當(dāng)1x 1 時，f(x)=2x 3,求當(dāng) 2x0有意義，且滿足條件f(2)=1, f(xy)= f(x)+f(y),f(x)是非減函數(shù)。(1)證明f(1)=0; (2)假設(shè)f(x)+f(x 2

27、) 2成立，求x的取值范圍。20、設(shè)集合 A= x|4x 2x+2+a=0,x R。(1) 假設(shè)A中僅有一個元素，求實數(shù) a的取值集合B;(2) 假設(shè)對于任意a B，不等式x2 6xa(x 2)恒成立，求x的取值范圍。21、二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b 為常數(shù)，且a*0)滿足條件：f(x 1)= f(3 x)且方程f(x)=2x有等根。(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在實數(shù) m,n (mn),使f(x)的定義域和值域分別為m,n和4m,4n，如果存 在，求出m,n的值；如果不存在，說明理由。22、函數(shù)f(x)=11 x1 x+lg1 x【函數(shù)與方程綜合能力訓(xùn)練參考答案】1、A 2、D 3、A 4、A 5、D 6、C 7、D 8、B 9、A 10、C 11、B 12、1D 13、-log 2 5,) 14、10 或 10 3 15、axo1 16、大、517、 解/ f(x)+f(x+3)=0, f(x+3)= f(x)當(dāng)一1xw 1 時，f(x)=2x 3,.當(dāng)一1 w xw 1 時，f(x+3)= f(x)= 2x+3.設(shè) x+3=t,那么由1xw 1