輸油管布置的優(yōu)化設(shè)計

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： C 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報名號的話）： 3977 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?汕尾職業(yè)技術(shù)學(xué)院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 陳云飛 2. 姚曉丹 3. 張美燕 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 9 月 12 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：輸油管布置的優(yōu)化設(shè)計摘要：本文對輸油管線布置的設(shè)計方案問題進行了三個方面的研究，第一，是

3、在兩廠坐標及共用管線與非共用管線費用不確定的情況下，設(shè)法研究它們的變化與設(shè)計方案的關(guān)系；第二，用優(yōu)化模型解決了城區(qū)鋪設(shè)管道時增加附加費用的設(shè)計方案問題；第三，在第二個問題中改變優(yōu)化模型中的某些系數(shù)解決了不同廠管線鋪設(shè)費用不同的設(shè)計方案問題。設(shè)計方案的關(guān)鍵是要解決共用管線與非共用管線的交接點和車站位置。在第一個問題中，我們先固定兩油廠坐標、共用管線與非共用管線的價格比中的某些量，通過優(yōu)化模型應(yīng)用lingo運算，觀察某一個量的變動與設(shè)計方案變動的關(guān)系，得出結(jié)論：當兩廠距離越遠時或當煉油廠離鐵路線越遠時或當共用管線與非共用管線的價格比越大時，共用交接點都越靠近鐵路。在第二個問題中，三個咨詢公司給出了

4、三個不同的附加費用，根據(jù)實際情況，取甲級公司的費用作為附加費，通過建立總費用的優(yōu)化模型，運用lingo軟件求出了優(yōu)化設(shè)計方案。在第三個問題中，只改變了第二個問題的優(yōu)化模型中的某些系數(shù)，通過運用lingo軟件也求出了優(yōu)化設(shè)計方案。關(guān)鍵詞：共用交接點lingo軟件費用 優(yōu)化模型 一、 問題重述問題是某油田要計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，求最優(yōu)設(shè)計方案，我們考慮：1、問題是個在某些條件下求最小費用的優(yōu)化問題，優(yōu)化條件最關(guān)鍵是要找到鋪設(shè)共同管線與非共用管線的交接點；2、對于共用管線與非共用管線可以用它們的費用來考慮；3、問題1是要討論兩油廠間的距離（即到鐵路的距離）與共用

5、管線和非共用管線價格之比的關(guān)系，以及在什么情況下不使用共用管；4、問題2增加了城區(qū)內(nèi)的附加費用，對三家評估公司的結(jié)果進行綜合考慮，附加費用只是系數(shù)不同5、問題3各線路單價不同，求總費用時系數(shù)不同，同時也影響交點的位置二、問題分析1、這個優(yōu)化問題的目標是使管線建設(shè)費用最省。2、題目中的問題一并未給出兩煉油廠的具體距離和兩煉油廠到鐵路線的距離。為此要更好地表示車站跟油廠的位置，而涉及到了有無使用共用管線、共用管線與非共用管線之間價格的相同或不同，所以在考慮設(shè)計方案時，我們可以建立直角坐標系進行理論分析；其實，這類關(guān)于優(yōu)化設(shè)計的問題我們可以運用相關(guān)數(shù)學(xué)軟件運算求解，但總費用目標函數(shù)都是以未知數(shù)進行運

6、算，可是沒法找到相關(guān)數(shù)學(xué)軟件對這一目標函數(shù)求解，所以我們采取了圖表法來分析解決問題。 3、問題二涉及到了在城區(qū)內(nèi)鋪設(shè)管線要附加費用，要求設(shè)計管線布置方案及相應(yīng)的費用，目標還是使費用最少。而從題目給出的數(shù)據(jù)看，我們應(yīng)該建立優(yōu)化模型來尋求最優(yōu)的管線布置方案。并利用lingo軟件算出最省的費用。至于城區(qū)與郊區(qū)的轉(zhuǎn)接點，用優(yōu)化費用的方法求出轉(zhuǎn)接點位置，并對轉(zhuǎn)接點進行理性分析，設(shè)法用已有的理論解釋。其次，在聘請公司時，要考慮資質(zhì)、費用，使得總費用較合理。4、問題三要求進一步節(jié)省費用。同樣用優(yōu)化費用的方法先求城區(qū)與郊區(qū)的轉(zhuǎn)接點位置；同時設(shè)想各管線價格對管道布置的影響，建立直角坐標系來解決問題。三、模型假設(shè)

7、1、假設(shè)管線布置都是以直線鋪設(shè)，沒有拐彎等額外花費；2、假設(shè)管線的內(nèi)部構(gòu)造以及粗細不考慮；3、假設(shè)管線交接處花費的費用不考慮。四、符號說明aA廠到鐵路線的垂直距離bB廠到鐵路線的垂直距離cA廠到城郊分界線的水平距離lA廠到B廠的水平距離x車站所在位置的橫坐標x共用管與非共用管交接點的橫坐標y共用管與非共用管交接點的縱坐標y無共用管線時，非共用管與分界線理想交點的縱坐標y有共用管線時，非共用管與分界線理想交點的縱坐標d共用管的費用d非共用管的費用d拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用dA廠輸送管線的鋪設(shè)費用dB廠輸送管線的鋪設(shè)費用五、模型建立與求解問題一：模型建立假設(shè)鐵路線上的E點為理想的車站點（即為A、B

8、兩油廠輸送成品油的終點）可以建立以點C作為坐標原點，以油站A向鐵路的垂線AC作為y軸，建立直角坐標系，則可設(shè)A（0，a） B（l，b） C（0,0）D（l，0）E（x，0）。假設(shè)鋪設(shè)管線使用了共用管，根據(jù)實際，則在油廠A、B間必有一個共用交接點，F(xiàn)為理想共用交接點，坐標為F（x，y）。 如圖所示：則非共用管的長度為|AF|+|BF| ；共用管的長度是|EF|，設(shè)共用管費用為d萬元/千米，非共用管費用d萬元/千米。對總費用進行優(yōu)化，則有模型： min = d(|AF|+|BF|) + d|EF|即為：min= d（）+dS.t d 0；d0；a0；b0；l0；0xl；0yb模型求解問題一關(guān)鍵要知

9、道a、b與l及k之間的關(guān)系，但是我們從上述模型無法知道當總費用最低時，x、y如何表達成a、b、l、k之間的關(guān)系（因為lingo只對實際數(shù)據(jù)的運算有效，上述優(yōu)化模型輸入時各字母賦值均為0）。其中會有d=kd。我們設(shè)想讓a、b、l、k之中的三個固定，而另一個變化，看看交接點會怎樣變化。k=1時，即共用管費用與非共用管費用相同；設(shè)定a=1,b=2時，根據(jù)l的不同，使用lingo軟件運算后可以列表如下：lxxy10.0000000.0000001.00000020.13397450.13397440.922649841.1339751.1339750.345299451.6339741.6339740

10、.5662449E-015.21.7333331.7333330.000000(表一)我們看到，當兩油廠之間的水平距離越大時，交接點越靠近鐵路，當l=5.2時，已經(jīng)在鐵路上，即不再需要共用管線。假設(shè)當k1時，即有共用管費用是非共用管費用的k倍；下面我們來看看k的變化會使交接點怎樣變化。設(shè)定a=1，b=2，l=3時，根據(jù)k不同，使用lingo軟件運算后可以列表如下： kxxy1.20.83333330.83333330.37500001.30.91543520.91543520.21699421.40.98989790.98989790.2970586E-011.51.0000001.00000

11、00.000000（表二）我們可以看到，當k變大時，交接點逐漸向鐵路靠近，即共用管線越來越少；綜合上述兩表都反映出當總費用最少時x與x坐標相同，即共用管是向鐵路垂直鋪設(shè)的。由于a、b是對等關(guān)系，完全可以設(shè)定一個固定，另一個變化所以設(shè)k=1.5 ,l=5 ,b=2，使用lingo軟件運算可得下表：axxy0.51.0000001.0000000.5077534E-060.61.1538461.1538460.7640870E-060.71.2962961.2962960.00000011.6666671.6666670.00000022.5000002.5000000.000000（表三）我們可

12、以看到，當a變大時，即油廠A離鐵路越遠時，交接點逐漸向鐵路靠近，即共用管線越來越少；以致不需要再使用共用管直接以非共用管進行管線鋪設(shè)。至此我們得到，管線的鋪設(shè)與上述a、b、l、k都有關(guān)系，它們的值越大時，共用管線鋪設(shè)得越少；共用交接點的具體位置與它們的具體取值有關(guān)。問題二：模型建立與求解鋪設(shè)在城區(qū)的管線要增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，此費用現(xiàn)有三家公司進行了不同的估算，首先要確定選用哪家公司比較合理，或者綜合三家公司考慮。在同時考慮城區(qū)管線和郊區(qū)管線的費用的情況下，進行優(yōu)化。 先假設(shè)沒有共用管線，如圖所示。O我們可以假設(shè)管線從油廠B到車站E（F）的鋪設(shè)路線中，在優(yōu)化情況下，城區(qū)與郊區(qū)分界線處的

13、轉(zhuǎn)接點為M（c，y）。過B點作分界線的垂線BH，垂足為H，可知BH管道是在城區(qū)鋪設(shè)路段中總費用最少，而BG管道在城區(qū)鋪設(shè)路段中使用費用較多。按照BHF管線鋪設(shè)，雖然在城區(qū)部分節(jié)省了，但由于郊區(qū)部分管線變化不能確定，即無法準確知道所使用的總費用減少了還是增加；說明在油廠B到分界線的管線鋪設(shè)部分，取最短不一定是合理的；綜合上面的情況我們可以假設(shè)優(yōu)化方案下管線從油廠B到共用交接點F的鋪設(shè)路線中，在城區(qū)與郊區(qū)分界線處的轉(zhuǎn)接點為M（c，y），顯然M在O與H之間。設(shè)拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用為d萬元/千米。對總費用優(yōu)化，則有： min =|AE|d+（|EM|+|BM|）d+|BM|d即 min =+（）d

14、+S.t a 0 b 0 c 0 l 0b y0在選取公司時，根據(jù)甲級資質(zhì)公司和乙級資質(zhì)公司不同，但我們可以假設(shè)兩家乙級資質(zhì)公司的估算可等同于一家甲級資質(zhì)公司，對它們?nèi)∑骄悼勺鳛槌菂^(qū)的拆遷和工程補償附加費用。取兩家乙級資質(zhì)公司的平均值（24+20）/2=22用兩家乙級資質(zhì)公司的平均值22再與甲級資質(zhì)公司的估算值平均。得（21+22）/2=21.5由最終平均值的21.5可知道公司一的估算較為準確，應(yīng)該選取公司一使得總費用最省。因此，我們選取公司一，而所有管線鋪設(shè)費用均為每千米7.2萬元。算得共用交接點F（即車站點E）的坐標為（6.155375，0）；此時，管線從油廠B到車站E（F）的鋪設(shè)路線中

15、，在城區(qū)與郊區(qū)分界線處的轉(zhuǎn)接點M的坐標為（15.00000，7.184472）；總費用是282.0043 ，lingo編程及運算結(jié)果詳細見（附錄一）再假設(shè)有共用管，因為此種鋪設(shè)顯然可以看出鋪設(shè)在城區(qū)的管線BI是優(yōu)化中最長的，附加費用顯然最多，不能確立為較優(yōu)設(shè)計；同上述分析可知， N同樣在O與H之間。如圖所示。O對總費用進行優(yōu)化，則有模型：min =|EF|*d+|AF|*d+|FN|*d+|BN|*（d+ d） 即 min=(d+d)S.t by0選取的最合理共用交接點F的坐標為（5.459266，1.848091），而車站點E的坐標為（5.459266，0），從而可以知道共用管線EF是與鐵路

16、垂直的；管線從油廠B到共用交接點F的鋪設(shè)路線中，在分界線處的最優(yōu)轉(zhuǎn)接點N的坐標為（15.00000，7.356437）；算得總費用是280.1771 ，lingo編程及運算結(jié)果詳細見（附錄二） 所以，綜合考慮并比較所使用的總費用可以知道，選擇使用共用管更合理。問題三：模型建立與求解在實際問題中，因為不同地區(qū)的鋪設(shè)管線的費用不一定是相同的，題中給出了在A廠鋪設(shè)輸送管線的費用和B廠鋪設(shè)輸送管線的費用，以及鋪設(shè)共用管線的費用，通過三者價格之間的比較，可以知道在管線的鋪設(shè)時，應(yīng)盡可能少的使用共用管線或不使用共用管線，以減少所需的費用，由以上的情況分為兩個方案：當無使用共用管線時，則優(yōu)化模型為:min

17、=|AE|d4+（|EM|+|BM|）d+|BM|d3 即min =+（）d+S.t 0 x l a 0 b 0 c 0 l 0有使用共用管時，則優(yōu)化模型為：min =|EF|d+|AF|d+|FN|d+|BN|（d+d）即min=( d+d)S.t 在選取哪一家公司的問題上，與問題二討論相同，所以同樣選用公司一，但此時管道鋪設(shè)費用都改變了，我們應(yīng)用lingo軟件運行，可以得到：不使用共用管線時總費用是249.4486 ，詳細見（附錄三）選取的最合理共用交接點F（即車站點E）的坐標為（6.760607，0）。有使用共用管線時總費用是249.4422 ，詳細見（附錄四）優(yōu)化情況下，共用交接點F的

18、坐標為（6.742378，0.1326951）, 車站點E的坐標為（6.742378，0），從而可以知道共用管線EF是與鐵路垂直的；管線從油廠B到共用交接點F的鋪設(shè)路線中，在城區(qū)與郊區(qū)分界線處的交點N的坐標為（15.00000，7.265875）；所以，比較兩種情況下的總費用，選擇使用有共用管線鋪設(shè)方案更合理。六、模型評價與反思1、在這個優(yōu)化設(shè)計問題上，通過建立直角坐標系使問題簡單化，并運用數(shù)學(xué)軟件解決數(shù)據(jù)復(fù)雜性問題；2、分情況討論共用管線的使用與否，再運用軟件求解；。3、采用了表格法對數(shù)據(jù)進行分析和文字敘述，但表格的數(shù)據(jù)不多，分析不夠到位，似乎不足以說明我們所要陳述的事實。4、對所建模型不全

19、面的原因進行分析，是因為在附加費的問題上，我們沒有詳細沒有全面考慮甲，乙等級公司權(quán)重問題，而采用平均值的有效性來考慮選取哪家公司，使得計算量減少。針對這個問題，可以進一步對模型進行優(yōu)化。主要對這兩個等級的三家公司進行質(zhì)量調(diào)查，獲取數(shù)據(jù)；假設(shè)取5年以來的評估數(shù)值與實際數(shù)值之間的差距，取平均數(shù)值最能體現(xiàn)準確性，從而以平均值的大小來確定哪家公司的評估最準確。七、心得體會終于到了寫心得的時候了！內(nèi)心十分激動，光陰似箭，轉(zhuǎn)眼間，數(shù)學(xué)建模就要結(jié)束了。記得剛開始并不知道什么是數(shù)學(xué)建模，當真正接觸到數(shù)學(xué)建模之后，才明白什么是數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用之廣泛，在無形之中使我漸漸喜歡上了數(shù)學(xué)建模，真正的鐘愛于數(shù)學(xué)建

20、模的學(xué)習(xí)和模型的建立過程。參加了這次維持三天的全國建模競賽，我體會很深，從剛開始拿到競賽題目時覺得不會挺難，到動手建模時發(fā)現(xiàn)了越來越多的問題，這些問題是之前沒有考慮到的，這樣模型就更難建成，數(shù)據(jù)的運算也遇到一些困難，組員間因為意見的不一致而爭吵，遇到這種情況我們會討論到意見一致，堅持不懈的努力，將發(fā)現(xiàn)到的問題解決，建立起我們的模型，慢慢的向答案邁進，從建模的過程中體會到建模就是要將題目讀懂并將問題進行透徹的分析，對某些因素要進行適當?shù)目紤]，而一些次要的因素則忽略掉它的影響，從而建立理想的模型。同時體會到合作的力量是偉大的。忠心地感謝數(shù)學(xué)建模，是它磨煉了我們的意志，是它提高了我們的耐力，是它讓我

21、們?nèi)砣獾赝度氲秸嬲貙W(xué)習(xí)和工作中。它使我們產(chǎn)生了很多匪夷所思的解題思路，開拓了我們的思維、視野。在此，忠心地感謝我們的輔導(dǎo)老師和學(xué)院的領(lǐng)導(dǎo)。八、參考文獻1姜啟星，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版）北京：高等教育出版社，2003年8月2謝金星，薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件，上海：清華大學(xué)出版社，2005年附錄附錄一：運算程序：model:min=(sqrt(0-x)2+(a-0)2)*d2+(sqrt(c-x)2+(y2-0)2)+sqrt(l-c)2+(b-y2)2)*d2+(sqrt(l-c)2+(b-y2)2)*d3;a=5;b=8;c=15;l=20;d2=7.2;d3=

22、21;end運算結(jié)果： Local optimal solution found. Objective value: 282.0043 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X 6.155375 0.1387086E-08 A 5.000000 0.000000 D2 7.200000 0.000000 C 15.00000 0.000000 Y2 7.184472 0.000000 L 20.00000 0.000000 B 8.000000 0.000000 D3 21

23、.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 282.0043 -1.000000 2 0.000000 -4.539654 3 0.000000 -4.540249 4 0.000000 22.24359 5 0.000000 -27.83223 6 0.000000 -24.39122 7 0.000000 -5.066072 8 6.155375 0.000000 9 13.84462 0.000000 10 2.073680 0.000000 11 0.8155275 0.000000附錄二：運算程序：model:min=(sqrt

24、(x-x1)2+(0-y1)2)*d1+(sqrt(0-x1)2+(a-y1)2)*d2+(sqrt(c-x1)2+(y3-y1)2)*d2+(sqrt(l-c)2+(b-y3)2)*(d2+d3);a=5;b=8;c=15;l=20;d1=7.2;d2=7.2;d3=21;end運算結(jié)果： Local optimal solution found. Objective value: 280.1771 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X 5.459266 0.0000

25、00 X1 5.459266 0.000000 Y1 1.848091 0.000000 D1 7.200000 0.000000 A 5.000000 0.000000 D2 7.200000 0.000000 C 15.00000 0.000000 Y3 7.356437 0.000000 L 20.00000 0.000000 B 8.000000 0.000000 D3 21.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 280.1771 -1.000000 2 0.000000 -3.600105 3 0.000000 -3.600

26、672 4 0.000000 21.73385 5 0.000000 -27.96928 6 0.000000 -1.848091 7 0.000000 -22.36176 8 0.000000 -5.041247 9 5.459266 0.000000 10 14.54073 0.000000 11 3.319933 0.000000 12 0.6435635 0.000000附錄三：運算程序：model:min=(sqrt(0-x)2+(a-0)2)*d4+(sqrt(c-x)2+(y2-0)2)+sqrt(l-c)2+(b-y2)2)*d5+(sqrt(l-c)2+(b-y2)2)*d3

27、;a=5;b=8;c=15;l=20;d3=21;d4=5.6;d5=6.0;end運算結(jié)果： Local optimal solution found. Objective value: 249.4486 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X 6.760607 0.000000 A 5.000000 0.000000 D4 5.600000 0.000000 C 15.00000 0.000000 Y2 7.257525 0.000000 L 20.00000 0.000000 B 8.000000 0.000000 D5 6.000000 0.000000 D3 21.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 249.4486 -1.000000 2 0.000000 -3.329947 3 0.000000 -3.966517 4 0.000000 22.20468 5 0.000000 -26.70716 6 0.000000 -5.054826 7 0.000000 -8.408675 8 0.000000 -16.03477 9 6.760607 0.000000