建平中學高三數(shù)學周四試題目

1、建平中學高三數(shù)學周四試題理科2021. 2 . 19班級 考生注意：姓名成績1.考試時間120分鐘.答題寫在規(guī)定的區(qū)域.2 .本試卷共有23道試題，總分值150分.一、填空題：本大題有14小題，每題4分，共56分.請將答案填寫在題中的橫線上i是實數(shù)i是虛數(shù)單位，那么實數(shù)a的值為11.假設(shè)復數(shù)(1 i)(a2.以拋物線C : y28x上的一點A為圓心作圓，假設(shè)該圓經(jīng)過拋物線C的頂點和焦點,那么該圓的方程為2.23函數(shù)f x是定義在R上的偶函數(shù),0時，fxx3X2，那么當x 0時，f X的解析式為f xx3 x2 .54.在二項式 x2 a 的展開式中，x的一次項系數(shù)是10 ,x那么實數(shù)a的值為.

2、r4.【解析】1 ;由二項式定理，Tr C5 x2- a ' C5 x10 3r.x當10 3r 1時，r 3，于是x的系數(shù)為 -3c310a3，從而a 1 .5. ABC中，點 A B、C的坐標依次是 A2 ,1) , B(3,2) , C(- 3, 1) , BC邊上的高為AD,那么的坐標是：5.解析】設(shè) D(x, y)，那么=(x- 2, y+ 1),丄，/ ,-6(x-2)-3(y+ 1) = 0-3(x-3) + 6(y- 2) = 0答案：一1,2=(x- 3,x= 1得y= 16假設(shè)Cn 3C： 32C： L 3n 2Cn 1 3n 1 85，那么 n 的值為_7. 閱讀

3、圖1的程序框圖.假設(shè)輸入n 5,那么輸出k的值為.3.8. 為了了解某地居民月均用電的根本情況，抽取出該地區(qū)假設(shè)干戶居民的用電數(shù)據(jù)，得到頻 率分布直方圖如圖3所示，假設(shè)月均用電量在區(qū)間110,120上共有150戶，那么月均用電結(jié)束設(shè)點A的極坐標為氣，直線1過點A且與極軸所成的角為-，那么直線1的極坐標方程為sin31或cos61 或 sin431或.3cossin202x y 5,某所學校方案招聘男教師x名,女教師y名，x和y須滿足約束條件 x y 2,x 6.那么該校招聘的教師最多是10名.10.函數(shù)y sin( x )(0)的局部圖象如右圖所示，設(shè)P是圖象的最高點，A, B是圖象與x軸的交

4、點，貝U tan APB 811 數(shù)列an的通項公式為ann 13 ,那么滿足513將正整數(shù)12分解成兩個正整數(shù)的乘積有 1 12 , 2 6 , 3 4三種，其中3 4是這三種 分解中，兩數(shù)差的絕對值最小的，我們稱3 4為12的最正確分解.當p q p q且p,q N*是正整數(shù)n的最正確分解時，我們規(guī)定函數(shù)f n 衛(wèi)，例如q13, f 24, f 2878(填入所有正確的序號)f 12關(guān)于函數(shù)f n有以下表達：f 79f 144其中正確的序號為1,31614. 函數(shù)f (x) ax (b 1)x b 1，且a (0, 3)，那么對于任意的b R，函數(shù)F(x) f (x) x總有兩個不同的零點

5、的概率是 1 2 214. 【解析】F(x) ax (b 1)x b 1 x ax bx b 1，因為該函數(shù)總有兩個 3不同的零點，所以b2 4ab 4a b 2a 2 4a 4a2 0 恒成立只需要 4a 4a2 0,0 a 1.1所以P丄.315. 函數(shù)y f(x)的定義域為1,0) (0,1，其圖像上任一點 P(x, y)滿足x2 y2 1。 函數(shù)y f (x) 一定是偶函數(shù)； 函數(shù)y f (x)可能既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)； 函數(shù)y f (x)可以是奇函數(shù)； 函數(shù)y f (x)如果是偶函數(shù)，那么值域是 1,0)或(0,1； 函數(shù)y f (x)值域是(1,1)，那么 -定是 奇函數(shù)。其

6、中正確的命題的序號是 (填上所有正確的序號)二、選擇題：本大題共4小題，每題5分，共20分.15. 函數(shù)f x sin x0 ,假設(shè)函數(shù)f x圖象上的一個對稱中心到對稱63軸的距離的最小值為一，那么的值為 -.32 16. 如圖2所示，正方體 ABCD ABQ1D1的棱長為2,長為2的線段MN的一個端點 M在棱DD1上運動，另一端點N在正方形ABCD內(nèi)運動，那么MN的中點的軌跡的面積為 (D )17.對任意實數(shù)x，y，定義運算x y ax by cxy，其中a,b,c是常數(shù)，等式右邊的運算是通常的加法和乘法運算。1 2 3, 2 3 4 ,并且有一個非零常數(shù)m ,使得對任意實數(shù)x， 都有x m

7、 x，那么m的值是A. 4B. 4C. 5D. 618.整數(shù)以按如下規(guī)律排成一列：1 , 1、 1 , 2、 2 ,1、 1 , 3、 2 , 2， 3 , 1 ,1 , 4 ,2 , 3 ,3,2 ,4 , 1 ,，那么第60個數(shù)對是C A.10,1B .2 ,10 C .5 , 7 D .7 , 510.定義域為R的偶函數(shù)fx滿足對 x R，有fx 2 fx f 1，且當x 2,3時 f (x)22x 12x18，假設(shè)函數(shù)yf (x) lOga(x 1)在(0,+那么a的取值范圍為A (0,10.【解析】由定義有x m axbmcxmx對寸任:意實數(shù)x恒成立,且m 0,令cxy由a1c12

8、3/口a 5x 0, bm 0, b0. x yax22得c 1ac3 4 5x-mx=x對任意實數(shù)x恒成立， m=4.應(yīng)選A三、解答題本大題總分值74分本大題共有6題，解答以下各題必須寫出必要的步驟.19.此題總分值12分，第1小題6分，第2小題6分某企業(yè)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中有一、二、三等品及次品共四個等級，1件不同等級產(chǎn)品的利潤單位：元如表1,從這批產(chǎn)品中隨機抽取出1件產(chǎn)品，該件產(chǎn)品為不同等級的概率如表2.假設(shè)從這批產(chǎn)品中隨機抽取出的1件產(chǎn)品的平均利潤即數(shù)學期望為4.9元.等級存口寺口仃二等品三等品次品利潤6541等級存口寺口仃二等品三等品次品P0.6a0.1b(1)求a,b的值； 從這批產(chǎn)品

9、中隨機取出 3件產(chǎn)品，求這3件產(chǎn)品的總利潤不低于 17元的概率.(1)解：設(shè)1件產(chǎn)品的利潤為隨機變量，依題意得的分布列為：6541P0.6a0.1b E 6 0.6 5a 4 0.1 b 4.9,即 5a b 0.9.： 0.6 a 0.2 0.1 b 1,即 a b 0.3,解得 a 0.2,b0.1 . a 0.2,b0.1 . 解：為了使所取出的3件產(chǎn)品的總利潤不低于17元，那么這3件產(chǎn)品可以有兩種取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品.故所求的概率 P0.63 cf 0.62 0.20.432.函數(shù) f x2sinxcosx cos2x(x R).(1)當x取什么值時，函數(shù)f x

10、取;得最大值,并求其最大值;假設(shè)為銳角，且f-2，求 tan的值.83(1)解：f X2sin xc(osx cos2xsin2xcos2x1分:sin 2x2cos;2x222分2 si n2x 34分當 2x2k,即x k(k Z)時，函數(shù)f x取得最大值，其值為428(2)解法分分8分9分10分"f -彳，2sin 2 -弓.- cos2為銳角，即0-,二02sin 2.1 cos2 2tan2sin 2cos22ta n1 tan22伍2.2322.i 2 tan2 tan 20.、2 tan 1 tan 20.tan-或 tan2.2( 不合題意，舍去)11分12分解法2:

11、tan.283 cos2一2sin2 -分2cos13.8分/為銳角，即02，二 cos3 9分百3 '二 sin. 1 cos210分二 tansin、2cos212分解法3: f_ 、283，2 sin 2 23二 cos213'7分為銳角，即0-, 0 2 .22.23 '- sin 2-1 cos2 28分- tansin cos9分2sin cos102cos2分si n21 cos220 此題總分值14分，第1小題6分，第2小題8分立體如圖，己知 BCD 中， BCD 90° , BC CD 1,AB 平面 BCD ,AE AFADB 600,E,

12、F分別是AC,AD上的動點，且礦疋=，(0< <D(1) 求證：不管 為何值，總有EF 平面ABC;1(2) 假設(shè) =,求三棱錐 A-BEF的體積.218. (1)證明：因為 AB丄平面BCD所以AB丄CD 又在 BCD中, Z BCD = 900，所以，BC丄 CD 又 ABA BC=B,所以，CDL平面ABC 3分又在 ACD E、F分別是AC AD上的動點，且逵圧 (01)AC AD所以，不管 為何值，EF/CD，總有EF丄平面ABC : 7分(2)解：在 BCD中 ,Z BCD = 90 0, BC= CD= 1，所以，BD= . 2 ,又AB丄平面 BCD所以，AB丄BD

13、,又在 Rt ABD中,ADB 60°,二 AB=BDtan60°.6。 10 分由(1)知EF丄平面ABE二廠m淚二:肘所以，三棱錐 A BCD的體積是262414分如圖，四棱錐P ABCD的底面是直角梯形，AB/ CD , AB AD , PAB和 PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC 4, O為BD的中點，E為PA的中點.(/ AB AD , AB AD , AB/ DC ,四邊形ABFD為正方形,/ O為BD的中點， O為AF,BD的交點，/ PD PB 2,:.PO BD ,/ BD . AD2 AB2 22 , PO . PB2 BO22 , AO 1BD2P在

14、三角形 PAO 中，PO2 AO2 PA2 4 , PO AO , 4分/ AO I BD O , PO 平面 ABCD ； 5 分(n )方法1連接PF，: O為AF的中點，E為PA中點， OE/PF , OE 平面 PDC , PF 平面 PDC , OE / 平面 PDC . 9方法2:由I 知PO平面ABCD，又AB AD，所以過O分別做AD, AB的平行線,以它們做x,y軸，以O(shè)P為z軸建立如下圖的空間直角坐標系，由得：A( 1, 1,0) , B( 1,1,0), D(1, 1,0)F(1,1,0), C(1,3,0), P(0,0, .2),uuu 那么OE丄三),PF (1,1

15、, x2),2 2uuurPD(1, 1,uuu-、.2) , PC (1,3, .2).uuu1 mu OE PF2 OE/PF OE 平面 PDC , PF 平面 PDC , OE / 平面 PDC ；分(川)設(shè)平面PDC的法向量為n (x1, y1,z1)，直線CB與平面PDC所成角9,那么nuuur PC uumi0，即X13y12z10nPD0X1y1' 2Z10解得y10 ,令z1,那么平面PDC的一個法向量為n G 2,0,1),X12z1uuu又 CB ( 2, 2,0)r mu那么 sin 9 cos n,CB2.2 仝,3 2：23直線CB與平面PDC所成角的正弦值

16、為1421.(此題總分值14分，第1小題6分，第2小題8分)數(shù)列數(shù)列an的前n項和Snn 1 an，且 a11 .2(1)求數(shù)列 an的通項公式;an(2)令 bn存在,1SnSn 1所以數(shù)列l(wèi)n an ,是否存在k求出所有符合條件的)1 an2nan 12an(k 2,k N ),使得 bk、bk 1、k值；假設(shè)不存在，請說明理由.1:當 n1的常數(shù)列.b 2成等比數(shù)列.a所以空n所以數(shù)列an的通項公式為ann解法2：當n2 時，an Sn Sn 1n 1 an nan 1即電丄n 2 . 4分an 1 n 1所以an 出空更印 口 L - - 1 n .5分an 1 an 2a2 a1n

17、1 n 22 1因為a1 1，符合an的表達式. 6分所以數(shù)列 an的通項公式為an n n Nbk 1、bk 2成等比數(shù)列,(2)假設(shè)存在k k 2,m,k N*，使得bk、那么 bkbk 2bk 1.因為bnlnan ln n (n > 2),In k ln(k2)Ink In kln k2 2k 211分這與bkbk 2bk 1矛盾.故不存在k(k 2,k函數(shù)f(x) log3(ax2 2ln k 12)，使得 bk、bkb)的圖象經(jīng)過點In2 2k 1b'11、bk 2成等比數(shù)列.13分14分f(n)A(2,1)和 B(5,2)，記 an 3'", n

18、N .2n1,n*N4分52n3 2n 1232n12 n(1) 求數(shù)列an的通項公式；a(2) 設(shè) bn h，Tn b1 b2bn，假設(shè) Tn m(m Z)，求 m 的最小值;1(3)求使不等式(1)(1丄)(1) P 2 n1對一切nN *均成立的最大實數(shù)a1a2anP.log3(2ab)1a22分21.解：(1)由題意得，解得log3(5ab)2b1f(x) log3(2x 1) an3log3(2n 1)2n 113(2)由("得bn 2廠, 歹歹2Tn132n5 2n 32n11-得22232n12*2n2Tn1 222!2 2n11 J1 11 )?n 1)21 2223

19、2n1 2*2“121 (21222n 2312n1Tn 312n 132n 3-7分2 2n 12*122n '2n5設(shè) f (n)2n 3,nN*，那么由-f (n 1)2n1 12n 51 1丄I 1252nf(n)2n32(2 n 3)2 2n 32n得 f(n)2n 32n,nN隨n的增大而減小，Tn隨n的增大而增大。當n時，2n 12n 1Tn 3又Tn mm Z恒成立,mmin10分1 11(3 )由題意得p (1)(1)2n 1 a1a2N恒成立1 “1、11 一1 、(12n 3-)(1 -)(1)(1)0102anan 11111.2n(1)(1 )(1-)1a2a

20、n記Fn八1訥1 ob 1十，那么F(n 1)F( n)2n 2,(2n 1)(2n 3)2(n 1).4(n 1)212(n 1) 12(n 1)F(n) 0, F(n 1)F(n),即F( n)是隨n的增大而增大12分F(n)的最小值為2，F(xiàn)(1)3314分22.此題總分值16分，第2雙曲線C :令a1小題總分值4分，第1小題總分值6分，2占 1 a b 0 和圓 O ： x2 y2 b2第2小題總分值6分解析2b 其中原點O為圓心，過雙曲線上一點P X0,y。引圓O的兩條切線，切點分別為1假設(shè)雙曲線C上存在點P，使得 APB 90°，求雙曲線離心率 e的取值范圍;(2)求直線A

21、B的方程;(3)求三角形OAB面積的最大值.) 因 為 a b 0, 所、a2b2APB90°及圓的性質(zhì)，可知四邊形 PAOB是正方形,所以O(shè)P、2b OP V2b a、a2 b2b1a故雙曲線離心率e的取值范圍為 4分2(2)方法21：因為PAop2OA22 2 , 2 xo yo b ,所以以點 p為圓心,PA 為半徑的圓 P的方程為2222.2xXoyyoXoyob .5分因為圓O與圓p兩圓的公共弦所在的直線即為直線AB ,6分所方程組聯(lián)以立xXob2,2y2yo2Xo2yob2.x2方法2:那么kpAyoy1Xo為乂 其中 N xo,x(0 .X1線 AB 的 方xoxy&#

22、176;y設(shè) A N，% B X2，y2 ，點 P Xo，Yo ，kPAkOAPA OAy。整理得 xox1yoy1x12y12.2 2 . 2X1y1b.2x%y。 b .因為OA OB , PA PB，根據(jù)平面幾何知識可知，AB OP .yokOPXokAB西yo所以直線AB方程為y y1丸 XX1 .yo即XoXyoyX0X1y°yi .ABXoXy°yb2.方法3:設(shè) A Xi,yi , B X2, y2 ，點 P Xo,y°那么kpA%1， d 1 其中 X1Xo, X1o .X-iX-iXoPA OAkPAkOAy。 力XoX1Y1Xi1.整理得X0X

23、-|yoyi因為x12，所以X%2yo%b .6分XoXy°yb2 上.7 分XoXyoyb2 上.這說明點A在直線同理點B也在直線8分2 2X1y1 .2,2y b所以XoX y°y b2就是直線AB的方程.(3)由(2)知，直線 AB的方程為x)x yoy bb2所以點O到直線AB的距離為dt22/ XoyoyO因為|ab| 2JOA2 ,2yo byoOABAB d22. 2Xoyob22xoyo10分以下給出求三角形OAB的面積S的三種方法:方法1:因為點PX。, y在雙曲線1上,所以2Xo2ayo2，即y0.2 2b Xo22a b 2 Xoa11Xo2yo2b2

24、1 b2 Xo2 2b2aa2 b2 ,b3tt2 b2 因為St2 b2 2所以當0 tb時，So，當t b時,b3t所以S,2 . 2在o,b上單3S調(diào)12分b,減.a2 b22bS b3 bS最大值b2 b2-b213分當 a2 b2-2b時，S最大值b3'一 a2 b2 2b2a2 b2b3 . a2 b2a2上可知b a 2b 時S最大值1b2 ;2a 2bS最大值b3a2 b22a14分2 2yobS 丄t2 b2b3xo, yo2X雙曲線a2 y_ b22Xoa2yob2x22以a b2a2所以t .2 2_Xoyob2,1b2 a2 nu2Xo2b,a2 b2b2b2t

25、 b tb令g tt，那么g t12,2ttt所以當0t b時，g to,當tb時，gt o.Xob2t在to,b 上單調(diào)遞b,增.12分即ba-, 2b時b32b13分當 a2 b2i. 2 b時，S最大值b3上可知S最大值b3a2 b2a214分b3 t b2b3b2占八、xo, yo2 X2 a、a2 bb2，S最大值1b22Xo2yo11分2yo.2 2b Xo22a b ""2 aXo所以tXo22yob2T Xo ab22y-1上.2上，b2Xo即2"a.2bb2u2 ub2 u1 212b24b2所以 g u 在1厶上單調(diào)2b212b2,上單調(diào)遞減.

26、12分11因為t a，所以u 10,二taAA當 一2-o , 即 b a x 2b 時，2b amax2b214b2b32bA2 -13分11_.當 22, 即 a 12b時2baa2b2a4綜上可知當 b a . 2b時S最大值1b2 ；當a遼b時cb va2 b2S最大值2a14分直線y2上有一個動點Q,過點Q作直線l1垂直于x軸,動點P在11上，且滿足S最大值b3.a2b22 aOP OQ ( O為坐標原點)，記點P的軌跡為C .(1) 求曲線C的方程；(2) 假設(shè)直線12是曲線C的一條切線，當點0,2到直線12的距離最短時，求直線12的方程. 解：設(shè)點P的坐標為 x, y ,那么點Q

27、的坐標為 x, 2/ OP OQ ,-koPgkoQ1.當x 0時,得1 ,化簡得x2 2y.x x當x 0時，P、O、Q三點共線，不符合題意，故x 0. 解法1： T直線12與曲線C相切，直線12的斜率存在設(shè)直線12的方程為y kx由yx2kx 得 x2 2kx2y,2b 0.12與曲線C相切,4k2 8b 0 ,即 b點0,2到直線12的距離d1 k24羅k2 1當且僅當.k215分6分7分8分9分10分k21，即 k2 時，等號成立.此時b1.12分14分直線12的方程為.2x y 10或2x y 10.解法2:由x2 2y，得y x ,直線12與曲線C相切，設(shè)切點M的坐標為x1, y1 ,其中y11 22x1，那么直線12的方程為：y %xx x1，化簡得1 2 y -x10.21 2一 X1 2 ,點0,2到直線12的距離d -2