平方根知識點(diǎn)總結(jié)講義

1、平方根知識點(diǎn)總結(jié)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根.2了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會用開方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用計(jì)算器求平方根.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平方根和算術(shù)平方根的概念1. 算術(shù)平方根的定義2如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即xa,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根規(guī)定0的算術(shù)平方根還是 0； a的算術(shù)平方根記作,a，讀作“ a的算術(shù)平方根，a叫做被 開方數(shù)要點(diǎn)詮釋：當(dāng)式子.a有意義時(shí)，a一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即 ,a >0, a >0.2. 平方根的定義如果x2 a，那么x叫做a的平方根求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與 開平方互為逆運(yùn)

2、算 a a >0的平方根的符號表達(dá)為 、aa 0，其中 ,a是a的算術(shù)平 方根要點(diǎn)二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1 .區(qū)別：1定義不同；2結(jié)果不同：a和a2 聯(lián)系：1平方根包含算術(shù)平方根；2 被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；3 0的平方根和算術(shù)平方根均為0.要點(diǎn)詮釋：1正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有平方根.2正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個(gè)平方根因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根要點(diǎn)三、平方根的性質(zhì)a(a 0)、a2|a|0(a 0)a (a 0),aa a 0要點(diǎn)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向

3、右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng) 1 位.例如：.62500250 ,25 ,6252.5 ,0.06250.25.【典型例題】類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念C1、假設(shè)2m 4與3m 1是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，求m的值.【思路點(diǎn)撥】由于同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，由此可以得到2m 4= ( 3m 1),解方程即可求解.【答案與解析】解：依題意得 2 m 4= ( 3 m 1),解得m = 1; m的值為1.【總結(jié)升華】 此題主要考查了平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù).舉一反三：【變式】2 a 1與一a + 2是m的平方根，求 m的值

4、.【答案】2 a 1與a + 2是m的平方根，所以2 a 1與a + 2相等或互為相反數(shù).2 2解：當(dāng) 2a 1 = a + 2 時(shí)，a = 1，所以 m = 2a 12 1 11當(dāng) 2a 1+( a + 2) = 0 時(shí)，a = 1,222所以 m = 2a 12 ( 1) 12392、X為何值時(shí)，以下各式有意義？(1) X2 ;(2).X 4 ;(3). X 1. 1 X ;(4)-.x 3【答案與解析】解：(1)因?yàn)閄2 0 ,所以當(dāng)X取任何值時(shí)， X2都有意義.(2) 由題意可知：x 4 0，所以X 4時(shí)，-,X 4有意義.X 1 0 ,(3) 由題意可知：解得：1 X 1 .所以 1

5、 X 1時(shí). X 1 , 1 X有意1 X 0義.X 10(4) 由題意可知：，解得X 1且X 3 .X 30JZ-所以當(dāng)X 1且X 3時(shí)，有意義.X 3【總結(jié)升華】(1)當(dāng)被開方數(shù)不是數(shù)字，而是一個(gè)含字母的代數(shù)式時(shí)，一定要討論，只有當(dāng)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)時(shí)，式子才有意義.(2)當(dāng)分母中含有字母時(shí)，只有當(dāng)分母不為0時(shí)，式子才有意義.舉一反三：1 1【變式】b 4 3a 2 2 2 3a 2，求的算術(shù)平方根.a b【答案】3a 2021131解：根據(jù)題意，得那么a 2，所以b = 2 ,-丄2 ,2 3a0.3ab22AA| AA_-的算術(shù)平方根為.2 .a b a b類型二、平方根的運(yùn)算3、求以下

6、各式的值. J252 242 gj32 42 ； (2) * 20 丄 丄 J036 丄 J900 .435【思路點(diǎn)撥】(1)首先要弄清楚每個(gè)符號表示的意義( 2)注意運(yùn)算順序.【答案與解析】解：、252 242 g . 32 4249 g . 25 7 5 35 ；(2) J20 0.36V900J0.6 300.2 61.7.435V 4352【總結(jié)升華】(1)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是先算平方開方，再乘除，后加減，同一級運(yùn)算按先后順序進(jìn)行.(2)初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來解，熟練后直接根據(jù)、a2 a (a 0)來解.類型三、利用平方根解方程4、求以下各式中的 X.2 2(

7、1) x2 361 0;(2) x 1289 ；(3) 9 3x 2 2 64 0【答案與解析】解：(1 ) x2 3610 x2361 x.36119(2)v x 1 2289 x1.289x + 1 = ± 17x = 16 或 x = 18.(3)v 9 3x2264 064983146-元二次方程,.x 2 或 x9【總結(jié)升華】此題的實(shí)質(zhì)是(3)小題中運(yùn)用了整體思想分散了難度開平方法是解元二次方程的最根本方法.(2)舉一反三:【變式】求以下等式中的 x :(1)假設(shè) x21.21，貝U x =(2)169，貝U x =(3)假設(shè) x29,那么 x =4(4)假設(shè)x22 2，那

8、么 x =【答案】(1)± 1.1 ; (2)± 13; ( 3)32 ；( 4)± 2.類型四、平方根的綜合應(yīng)用、a、b是實(shí)數(shù)，且2a 6|b0,解關(guān)于x的方程(a 2)x b2【答案與解析】解： a、b是實(shí)數(shù)，2a 6 |b0,2a 60, |b 、2|0,' 2 代入(a 2)x b2a 1，得一x +2= 4, . x = 6【總結(jié)升華】 此題是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)與方程的知識相結(jié)合的一道題，應(yīng)先求出a、b的值，再解方程此類題主要是考查完全平方式、算術(shù)平方根、絕對值三者的非負(fù)性，只需令每項(xiàng)分別等于零即可.舉一反三：【變式】假設(shè).x2 1 , y 1 0,求

9、x2021 y2021的值.【答案】解：由 x21.0,得 x210 , y 10,即 x 1 , y 1. 當(dāng) x = 1, y =- 1 時(shí)，x2021 y2021 12021 ( 1 )20212 . 當(dāng) x =- 1, y =- 1 時(shí)，x2021 y2021 ( 1 )2021 ( 1 )2021 0 .6、小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它長寬之比為3:2，請你說明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片【答案與解析】 解：設(shè)長方形紙片的長為3x ( x >0) cm，那么寬為2x cm，依題意得3x 2x 300.6x2300.x250.T x > 0, x , 50 .長方形紙片的長為 3 50 cm ./ 50 > 49, .507.