自動控制 第九章 傳遞函數的狀態(tài)空間實現

1、現代控制理論教案915第九章 傳遞函數的狀態(tài)空間實現§9.1實現與最小實現一、實現問題的提法我們知道，對于一個線性定常系統(tǒng)，可以用傳遞函數矩陣進行輸入輸出描述(9.1.1)如果系統(tǒng)還是集中的，則還可以用狀態(tài)空間方程來描述(9.1.2)如果已知狀態(tài)空間方程(9.1.2)，則相應的傳遞矩陣可由(9.1.3)求出，且求出的矩陣是唯一的?，F在，我們來研究它的反問題，即由給定的傳遞矩陣來求狀態(tài)空間方程，這就是所謂的實現問題。事實上，對于時變系統(tǒng)也有實現問題，只是它的輸入輸出描述不再是傳遞矩陣。定義9.1：實現傳遞矩陣稱為是能實現的是指存在一個有限的維狀態(tài)方程（9.1.2）或簡記為 A, B,

2、C, D ，使得且 A, B, C, D 稱作的實現。注意：一個線性定常系統(tǒng)的分布系統(tǒng)可以用傳遞矩陣來描述，但不能描述為有限維的狀態(tài)方程。所以說并非所有的都是能實現的。二、實現的不唯一性仔細回憶一下我們在狀態(tài)變換和規(guī)范分解時得到的結論可知：盡管對于給定系統(tǒng) A, B, C, D ，它的傳遞函數矩陣是唯一的；但反過來，對于給定系統(tǒng)的傳遞函數矩陣，求它的狀態(tài)空間實現 A, B, C, D ，結論便不唯一。因為我們知道，狀態(tài)變換前后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可能大相徑庭，但其傳遞函數矩陣卻是相同的；同樣，不能控或不能觀系統(tǒng)，經規(guī)范分解后的整個系統(tǒng)與其中的既能控又能觀的子系統(tǒng)均是其傳遞函數的一個實現。所以，

3、如果是能實現的則其有無窮多各個實現，且不一定具有相同的維數。三、最小實現盡管每一個傳遞函數陣，可以有無限多個實現。我們感興趣的是這些實現中維數最小的實現，即所謂最小實現，也叫不可約實現、最小維實現、最小階實現。因為在實用中，最小實現階數最低，在進行運放模擬和系統(tǒng)仿真時，所用到的元件和積分器最少，從經濟性和可靠性等角度來看也是必要的。最后，我們還不證明地給出一個關于最小實現的定理：定理9.1：實現狀態(tài)空間方程 A, B, C, D 是傳遞函數矩陣的最小實現的充要條件是 A, B, C, D 既能控又能觀。傳遞函數矩陣的所有最小實現，互相間是代數等價的。§9.2 傳遞函數的實現本節(jié)主要討

4、論正則有理分式傳遞函數的實現問題。設傳遞函數為(9.2.1)作一簡單的代數變換，便可得：(9.2.2)設系統(tǒng) A, b, c, d 是的一個實現，則有(9.2.3)上式應對任意的s都成立，令則可得到這就是說：對一般正則有理分式的傳遞函數，其實現的d陣（標量）是唯一的，且(9.2.4)于是，本節(jié)的以下內容僅討論傳遞函數為嚴格正則有理分式的情況。§9.2.1 能控標準型實現一、基本形式回憶第七章第二節(jié)，在那里，我們以一個四階傳遞函數為例，給出了由傳遞函數出發(fā)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程的一般方法。不難證明：狀態(tài)空間方程(9.2.5)是傳遞函數(9.2.6)的一個實現。不難發(fā)現該實現的系統(tǒng)矩陣與

5、控制矩陣的二元組合在一起正好構成能控標準型，故稱上述實現是能控標準型實現。例7-5 設線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數為試求該系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。解：引入一個新變量，它的拉氏變換式定義為即(2.3)于是，我們有(2.4)定義狀態(tài)變量為 即 (2.5)顯然(2.6)它們與（2.1）無關，而直接由（2.5）中定義得到。為導出關于的等式，我們把（2.5）代入至（2.3），即可得在時域中，此即(2.7)而將（2.5）代入至（2.4）又可得到在時域中，此即(2.8)把（2.6）、（2.7）、（2.8）結合在一起即(2.9)這就是所要求的狀態(tài)空間方程。二、能控標準型實現的變型要指出的是：在上例中，若狀態(tài)

6、變量為 即 (2.10)則可導出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程是(2.11)注：我們稱系統(tǒng)(2.9)為的下友型能控標準型實現，而稱(2.11)為的上友型能控標準型實現。§9.2.2 能觀標準型實現：一、基本形式為了明確起見，我們記傳遞函數的能控標準型實現是，即有由于是標量，故應有這就是說系統(tǒng)也是的一個實現。由此我們又得到一種極重要的傳遞函數的實現形式。(9.2.7)根據對偶性原理：與是一對對偶系統(tǒng)。既然構成能控標準型，那么由能觀標準型的定義，構成能觀標準型，故稱為的能觀標準型實現。二、能觀標準型實現的變型留作習題。§9.2.3 約當標準型實現將給定的傳遞函數（我們仍假定為嚴格正則有理分

7、式）的分母進行分解因式，亦即求出系統(tǒng)的各個極點，然后我們分兩種情況討論該傳遞函數的約當標準型實現：一、無重極點系統(tǒng)的對角型實現設給定的傳遞函數為(9.2.8)用部分分式分解的方法可將上式寫為即(9.2.9)將之用結構圖表示出來就是（以四階為例）：按圖示方法選取狀態(tài)變量則：(9.2.10)在時域里，即(9.2.11)同時從圖上還可以看出：(9.2.12)故該系統(tǒng)的約當標準型實現為(9.2.13)另一方面，式(9.2.9)也可以用如下的結構圖來表示按圖示方法選取狀態(tài)變量則：(9.2.14)在時域里，即(9.2.15)但此時，從圖上還可以看出：(9.2.16)故該系統(tǒng)的約當標準型實現還可以寫成(9.

8、2.17)顯然，它與(9.2.13)型式上略有區(qū)別，如果一定要區(qū)分，可以稱(9.2.13)為能控約當型實現，而稱(9.2.17)為能觀約當型實現。（請同學們思考，為什么可以這樣稱呼？）二、重極點系統(tǒng)的約當型實現為簡單起見，我們僅討論傳遞函數中無相極點的情況：即它可分解為：(9.2.18)它的動態(tài)結構圖可繪制如下（以四階為例）按圖示方法選取狀態(tài)變量則：(9.2.19)求其拉氏反變換便有：(9.2.15)寫成矩陣形式即(9.2.16)當然，通過對傳遞函數表示式的轉置還可得到另一種形式的約當標準型實現，同學們不妨回去練習一下。三、更一般的約當型實現有一上面的結論對一般系統(tǒng)通過部分分式分解法，總可以化

9、為有限個上述形式的子系統(tǒng)，同學們通過做一習題，可體會出上面談到的兩個看起來較為特殊的系統(tǒng)的結論是如何用到一般形式傳遞函數的實現的。習題:2006年研究生入學考試試題六、（24分）已知某系統(tǒng)的傳遞函數如下，試分別給出滿足以下條件的實現并分析實現的穩(wěn)定性1求既能控又能觀的約當型實現，分析該實現的漸近穩(wěn)定性；2求一個維數盡可能低的能控但不能觀、李雅普諾夫意義下穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定的實現，分析該實現的BIBO穩(wěn)定性；3求一個維數盡可能低的既不能控又不能觀、且李雅普諾夫意義下不穩(wěn)定的實現，分析該實現的BIBO穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性。習題：分別求出線性定常系統(tǒng)在輸出反饋、狀態(tài)反饋、輸出內反饋下，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間

10、方程（v - x - y）和傳遞函數（v - y）。§9.3 傳遞矩陣的實現§9.3.1 能實現性定理定理9.2傳遞矩陣能實現的充要條件是：是正則有理矩陣。由(3.19)我們有(4.30)若A是矩陣，則為n階，而的每一個元素均是的階子矩陣的行列式。故其最高階為，它們的線性組合當然最多也只能有階。所以我們有結論：是一個嚴格正則的有理矩陣。若D為非零陣，則是正則的。至此證明了：若是能實現的，則它一定是正則有理陣。注意，我們有下面我們來證明充分性，即為的正則有理陣則有一個實現。首先，我們將分解為：(4.31)其中是中嚴格正則部分。令(4.32)是所有元素的最小公分母。這里我們需要

11、d(s)是首一的，即其最高次項的系數為1。這樣，可表示為：(4.33)其中Ni為q×p的常矩陣?，F在，我們說方程組(4.34)是的一個實現。矩陣Ip是的單位陣，每個0也都是的零陣。A陣稱為塊友型矩陣。它有r行r列的矩陣組成，于是A陣的階為，B陣的階為，由于C陣含有r個Ni其每個均為階，所以C陣的階為。這一實現的維數為rp并稱之為能控標準型。我們來證明（4.34）及（4.31），（4.33）是的一個實現。我們定義(4.35)其中Zi是的，所以Z是的，于是(4.34)的傳遞矩陣等于(4.36)我們將（4.35）寫成或sZ = AZ + B(4.37)用A的友型轉換性質，從(4.37)第二

12、塊行至最后塊行所對應的方程，我們立即得到此即意味著將這些等式代入（4.37）第一塊行所對應的方程，得或由（4.32）于是我們得到將它們（4.36）代入得到它等于(4.31)和(4.33)中的,此即表明(4.34)是的一個實現。例4.6 考慮一個正則有理矩陣= (4.38)這里，我們將分解成一個定常矩陣與一個嚴格正則有理陣之和。的首一最小公分母是于是我們有于是(4.38)的實現是：(4.39)這是一個六維的實現。§9.3.2 傳遞向量的實現我們來討論一個特殊的情況，即在(4.31)和(4.33)中。為節(jié)省空間，假定，當然，討論可適用于任意正整數r和q。考慮一個的正則有理陣(4.40)它

13、的實現可直接有得到：(4.41)這種能控標準型實現可由式(4.40)中的系數直接讀出。有許多方法可以求出正則傳遞矩陣的實現。例如，習題4.9給出了一種與(4.33) 不同的rq維實現。令是的第i列，是輸入向量u的第i個元素。這樣則可表示為如圖4.4(a)所示。這樣我們可以分別實現的每一列，然后再把這些實現合在一起就可得到的實現。顯然，我們也可以對的每一個元素分別實現然后在將它們結合在一起得到的實現，詳見參考文獻6之158-160頁。圖4.4 的列實現與行實現MATLAB函數 a,b,c,d=tf2ss(num,den) 對任一單輸入多輸出的傳遞矩陣生成一個形如(4.41)的能控標準型實現。使用這一函數，無須象(4.31)那樣對分解（分解為常陣與嚴格正則有理陣），但我們仍須計算出它的最小公分母，而不必首一。下例將對(4.38)的每一列應用tf2ss，然后在再將它們合在一起，從而構造出的實現。例4.7 考慮（4.38）中的正則有理陣，其首列為=鍵入：n1=4,-2,-20;0,0,1；d1=2,5,2；a,b,c,d=tf2ss(n1,d1)得到首列的如下實現(4.42)同樣，用函數tf2ss還可以生成第2