青島版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第三章圓的知識(shí)

1、知識(shí)體系知識(shí)體系圓圓基本性質(zhì)基本性質(zhì)概概念念對(duì)對(duì)稱稱性性垂垂徑徑定定理理圓心角、圓心角、弧、弦之弧、弦之間的關(guān)系間的關(guān)系定理定理圓周角與圓周角與圓心角的圓心角的關(guān)系關(guān)系弧長(zhǎng)、扇形面積和圓錐弧長(zhǎng)、扇形面積和圓錐的側(cè)面積相關(guān)計(jì)算的側(cè)面積相關(guān)計(jì)算l在在一個(gè)平面一個(gè)平面內(nèi)，線段內(nèi)，線段OAOA繞它繞它固固定的一個(gè)端點(diǎn)定的一個(gè)端點(diǎn)O O旋轉(zhuǎn)一周，另一旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)A A隨之隨之旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形所形成的圖形叫做圓。叫做圓。l固定的端點(diǎn)固定的端點(diǎn)O O叫做叫做圓心圓心，線段，線段OAOA叫做叫做半徑半徑，以點(diǎn)，以點(diǎn)O O為圓心的圓，為圓心的圓，記作記作O O，讀作，讀作“圓圓O O”籃球是圓

2、嗎？籃球是圓嗎？圓必須在一個(gè)平面內(nèi)圓必須在一個(gè)平面內(nèi)以以3cm為半徑畫圓，能畫多少個(gè)？為半徑畫圓，能畫多少個(gè)？以點(diǎn)以點(diǎn)O為圓心畫圓，能畫多少個(gè)？為圓心畫圓，能畫多少個(gè)？由此，你發(fā)現(xiàn)半徑和圓心分別有什么作用？由此，你發(fā)現(xiàn)半徑和圓心分別有什么作用？半徑確定圓的大小；圓心確定圓的位置半徑確定圓的大??；圓心確定圓的位置圓是圓是“圓周圓周”還是還是“圓面圓面”？圓是一條封閉曲線圓是一條封閉曲線圓周上的點(diǎn)與圓心有什么關(guān)系？圓周上的點(diǎn)與圓心有什么關(guān)系？圓圓是到定點(diǎn)（圓心）的距離是到定點(diǎn)（圓心）的距離等于等于定長(zhǎng)（半徑）的定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的集合。點(diǎn)的集合。圓的內(nèi)部圓的內(nèi)部是到圓心的距離是到圓心的距離小于小于半

3、徑的點(diǎn)的集合。半徑的點(diǎn)的集合。圓的外部圓的外部是到圓心的距離是到圓心的距離大于大于半徑的點(diǎn)的集合。半徑的點(diǎn)的集合。由此，你發(fā)現(xiàn)由此，你發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是由什么來決定是由什么來決定的呢？的呢？如果圓的半徑為如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為點(diǎn)到圓心的距離為d，則：，則： 點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上 d=r 點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi) dr過三點(diǎn)的圓過三點(diǎn)的圓：確定一條直線的條件是什么？：確定一條直線的條件是什么？：是否也存在由幾個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓呢？：是否也存在由幾個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓呢？：經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)，能作出多少個(gè)圓？：經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)，能作出多少個(gè)圓？ 經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)，如何作圓，能作多少個(gè)？經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)，如何作圓，

4、能作多少個(gè)？ 經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)，如何作圓，能作多少個(gè)？經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)，如何作圓，能作多少個(gè)？OCAB經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心外心，三角形叫做圓的三角形叫做圓的內(nèi)接三角形內(nèi)接三角形。問題問題1：如何作三角形的外接圓？：如何作三角形的外接圓？如何找三角形的外心？如何找三角形的外心？問題問題2：三角形的外心一定：三角形的外心一定 在三角形內(nèi)嗎？在三角形內(nèi)嗎？OCABC90OCABABC是銳角三角形是銳角三角形OCABABC是鈍角三角形是鈍角三角形及其推論及其推論想一想想一想：將一個(gè)圓沿著任一條直徑

5、對(duì)折，兩：將一個(gè)圓沿著任一條直徑對(duì)折，兩側(cè)半圓會(huì)有什么關(guān)系？側(cè)半圓會(huì)有什么關(guān)系？性質(zhì)：性質(zhì)：圓是圓是軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形，任何一條，任何一條直徑直徑所在所在的直線都是它的的直線都是它的對(duì)稱軸對(duì)稱軸。OCDABOCDAB觀察右圖，有什么等量關(guān)系？觀察右圖，有什么等量關(guān)系？OBCDAEAO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AC弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD弧BD，弧AC弧BC, AEBE 。OBCDAE垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？OCDBAOCDBAO

6、CDBAOCDE注意：定理中的兩個(gè)條件注意：定理中的兩個(gè)條件（直徑，垂直于弦）缺一不（直徑，垂直于弦）缺一不可！可！OABE若圓心到弦的距離用若圓心到弦的距離用d表示，表示，半徑用半徑用r表示，弦長(zhǎng)用表示，弦長(zhǎng)用a表示，表示，這三者之間有怎樣的關(guān)系？這三者之間有怎樣的關(guān)系？2222adrOABCDAC、BD有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ACBD依然成依然成立嗎立嗎？OABCDOABCDFEEA_, EC=_。FDFBOABCD：_ AC=BD.OA=OBOABCD：_ AC=BD.OC=OD如圖，P為 O的弦BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PAAB2，PO5，求 O的半徑。MAPBO關(guān)于弦的問題，常常需關(guān)于弦的問

7、題，常常需要要過圓心作弦的垂線段過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的這是一條非常重要的輔輔助線助線。圓心到弦的距離、半徑、圓心到弦的距離、半徑、弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)構(gòu)成構(gòu)成直角三角形直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。角形的問題。（1）平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑的直徑垂直垂直于弦于弦，并且，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦所對(duì)的兩條??；（2 2）弦的垂直平分線弦的垂直平分線經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心，并且，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦所對(duì)的兩條弧；（3 3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂垂直平分弦直平分弦并且并且平分弦所對(duì)的另一條弧平分弦所對(duì)的另一條弧

8、。OBCDAE如圖如圖，CD為為 O的直徑的直徑，ABCD，EFCD，你能得到什么結(jié)論？你能得到什么結(jié)論？圓的兩條圓的兩條平行弦平行弦所夾的弧相等所夾的弧相等。FOBAECD圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對(duì)稱軸。圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性，即圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能與原來的圖形重合。：頂點(diǎn)在圓心的角。：頂點(diǎn)在圓心的角。（如：（如：AOB）C：從圓心到弦的距離。：從圓心到弦的距離。（如：（如：OC）OAB圓心角所對(duì)的弧相等，圓心角所對(duì)的弧相等， 圓心角圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦相等， 圓心角圓心角所對(duì)弦的弦心距相等。所對(duì)弦的弦心距相等。在同圓或等圓中

9、，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等的其余各組量都分別相等。在同圓或等圓中在同圓或等圓中( (前提前提) )圓心角相等圓心角相等（條件）（條件）OBACDF圓心角：如圓心角：如BOA圓內(nèi)角：如圓內(nèi)角：如BCA圓周角：如圓周角：如BDA圓外角：如圓外角：如BFA角的頂點(diǎn)角的頂點(diǎn)在圓心在圓心角的頂點(diǎn)在圓周上角的頂點(diǎn)在圓周上是否頂點(diǎn)在圓周上是否頂點(diǎn)在圓周上的角就是圓周角呢的角就是圓周角呢? ?OBACOBCAOCAB定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它

10、所對(duì)的圓心角的一半。也可以理解為：一條弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周角的二倍；圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。 弧相等，圓周角是否相等？反過來呢？ 什么時(shí)候圓周角是直角？反過來呢？ 直角三角形斜邊中線有什么性質(zhì)？反過來呢？推論推論1 1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等； 同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。思考：思考：1 1、“同圓或等圓同圓或等圓”的條件能否去掉？的條件能否去掉？2 2、判斷正誤：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)、判斷正誤：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個(gè)圓周角中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的圓周角中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。其余各組量也相等。OBACDOCBAFEDOBADEC推論推論2 2半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是9090；9090的圓周角所對(duì)的弦是直徑。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論推論3 3如果三角形一邊上的中線等于這條邊如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 什么時(shí)候圓周角是直角