第三十九講 平面及其方程

1、第三十九講 平面及其方程重點：求平面的方程難點：特殊平面的方程的求法平面和直線是空間最簡單的幾何圖形。本節(jié)和下節(jié)將以向量為工具討論平面與直線的方程。一、平面的點法式方程與平面垂直的非零向量稱為該平面的法向量。顯然，平面的法向量有無窮多個，而且平面上的任意一個向量都與該平面的法向量垂直。由立體幾何知道，過空間一點可以作而且只可以作一個垂直于一條已知直線的平面。下面我們來求該平面的方程。設(shè)平面p過點， 是平面的法向量（圖）。在平面上任取一點，則點在平面的充要條件是 ，即=0。因為 ，所以 （1）該方程稱方程為平面的點法式方程。例1 求過點(2，1，1)且垂直于向量的平面方程。解 取已知向量作為平面

2、的法向量，由因為所求平面過點(2，1，1)，故所求平面的方程為 ，即 。例2 求過點、和的平面的方程。解 先求平面的法向量。由于向量于向量、都垂直，而=-3,4,-6、=-2,3,-1，所以可取它們的向量積為，即 =，根據(jù)平面的點法式方程，得所求平面的方程 。即 。二、平面的一般方程方程（1）可化為 （2）其中。這是、的一次方程，所以平面可用、的一次方程來表示。反之，任意的、的一次方程（2）是否都表示平面呢（式中、不全為零）？方程（2）是一個含有三個未知數(shù)的方程，所以有無窮多組解。設(shè)、是其中的一組解，則有 。用方程（2）減去上式，得 。這就是方程（1）。它表示過點，且以為法向量的平面。由此可知

3、、的一次方程（2）都表示平面，其中系數(shù)、表示法向量的坐標。方程（2）稱為平面的一般方程。下面討論方程（2）的一些特殊情況。（1）當時，方程（2）成為，它表示一個通過坐標原點平面。（2）當時，方程（2）成為，法向量垂直于軸，方程表示一個平行于軸的平面；當時，方程，它所表示的平面通過軸。（3）當時，方程（2）成為，法線方向同時垂直于軸和軸，方程表示一個平行于坐標平面；當時，方程為，它表示坐標面。對于其它情況，讀者可以類似地進行討論。例3 求通過軸和點的平面的方程。解 因為所求平面通過軸，故設(shè)所求平面的方程為 。由于點在所求平面上，所以點的坐標都滿足該方程，于是有 解得。將代入方程并消去，得 即為所

4、求的平面方程。例4 求過點、的平面的方程（其中）。解 設(shè)所求的平面方程為因為點、在所求的平面上，所以它們的坐標都滿足該方程，于是有 解此方程組，得 將解代入平面方程并消去（），得 （3）方程（3）叫做平面的截距式方程，其中，分別叫做平面在軸、軸、軸上的截距。三、兩平面之間的夾角兩平面法向量的夾角（通常指銳角），稱為兩平面的夾角。設(shè)平面p1、p2的方程分別為 和 。它們的夾角為q。由于兩平面的法向量分別為和，由兩向量夾角余弦公式，得 = （4）這就是兩平面夾角的余弦的計算公式。例5 求兩平面與的夾角q。解 由公式（4）有 =所以，q=。四、兩平面的相關(guān)位置由立體幾何我們知道，兩平面的位置關(guān)系有三種：相交、平行和重合。在空間解析幾何中，我們可以根據(jù)兩平面的方程來判斷兩平面的位置關(guān)系。設(shè)兩平面的方程為p1： p2：則（1）平面p1與p2相交&