條件分布與條件期望(二)

1、數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 概率統(tǒng)計(jì)教研室3.5 條件分布與條件期望(二) 三、連續(xù)場(chǎng)合的全概率公式和貝葉斯公式有了條件分布密度函數(shù)的概念，我們可以順便給出連續(xù)隨機(jī)變量場(chǎng)合的全概率公式和貝葉斯公式。1. 全概率公式的密度函數(shù)形式因?yàn)?所以 同理 2. 貝葉斯公式的密度函數(shù)形式例 設(shè)，在的條件下服從正態(tài)分布，即試求的（無(wú)條件）密度函數(shù)。解：因?yàn)?， 所以 故 令，則上式可化為所以，、條件數(shù)學(xué)期望定義 條件分布的數(shù)學(xué)期望（若存在）稱(chēng)為條件數(shù)學(xué)期望，其定義如下：注意：條件期望是的函數(shù)，他與無(wú)條件期望的區(qū)別不僅僅在于計(jì)算公式上，而且還在于其含義上。比如，表示中國(guó)成年人的身高，則表示中國(guó)成年人的平均身高。若用表示中

2、國(guó)成年人的足長(zhǎng)（腳趾到腳跟的長(zhǎng)度），則表示足長(zhǎng)為的中國(guó)成年人的平均身高。我國(guó)公安部門(mén)研究發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式對(duì)公安部門(mén)破案起著重要的作用。例如，測(cè)的案犯嫌疑人留下的足印長(zhǎng)為25.3cm，則由此公式可以推算出此案犯嫌疑人的身高約為174cm。以上公式的得出并不復(fù)雜，一般認(rèn)為人的身高和足長(zhǎng)可以當(dāng)作一個(gè)二位正態(tài)變量來(lái)處理，即由例知，的條件下，所以 這是的線性函數(shù)。再用統(tǒng)計(jì)的方法（第六章），從大量實(shí)際數(shù)據(jù)中得出的估計(jì)值，就可以算得公式因?yàn)闂l件期望是條件分布的數(shù)學(xué)期望，所以它具有數(shù)學(xué)期望的一切性質(zhì)，例如其他性質(zhì)類(lèi)似（留作課間作業(yè)，上課時(shí)檢查）。 令 還可以將看作是時(shí)，的一個(gè)取值，由此看出，本身也是一個(gè)隨機(jī)變量。

3、引進(jìn)表示法不僅使得前面定義的得到統(tǒng)一的處理，還可以得出下面的結(jié)果定理 （重期望公式）設(shè)是二維隨機(jī)變量，且存在，則.證明 （僅對(duì)連續(xù)場(chǎng)合進(jìn)行證明，離散場(chǎng)合的證明類(lèi)似） 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，并令， 所以 重期望公式是概率論中較為深刻的結(jié)論，在實(shí)際中很有用。例如，要求一個(gè)取值在很大范圍上得的指標(biāo)的均值，會(huì)遇到計(jì)算上的各種困難。為此，我們可以先找一個(gè)與有關(guān)的量，用的不同取值把大范圍劃分成若干個(gè)小區(qū)域，先在小區(qū)域上求的均值，再對(duì)此類(lèi)平均求加權(quán)平均，既可得大范圍上的的均值。比如：要求全校學(xué)生的平均身高，可先求出每個(gè)班級(jí)學(xué)生的平均身高，然后再對(duì)每個(gè)班級(jí)的平均身高做加權(quán)平均，其權(quán)重就是班級(jí)人數(shù)在全

4、校學(xué)生中所占的比例。重期望公式的具體使用如下（1） 如果是一個(gè)離散隨機(jī)變量，（2） 如果是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，例 一礦工被困在有三個(gè)門(mén)的礦井里，第一個(gè)門(mén)通一坑道，沿此坑道走3個(gè)小時(shí)可到達(dá)安全區(qū)域；第二個(gè)門(mén)通一坑道，沿此坑道走5個(gè)小時(shí)又回到原處；第三個(gè)門(mén)通一坑道，沿此坑道走7個(gè)小時(shí)也回到原處。假定此礦工總是等可能地在三個(gè)門(mén)中選擇一個(gè)，試求他平均要用多少時(shí)間才能到達(dá)安全區(qū)域。解：設(shè)該礦工需要小時(shí)到達(dá)安全區(qū)域，則的可能取值為要寫(xiě)出的分布列很困難，所以直接求比較困難。為此令 =“第一次所選的門(mén)”，即表示“選擇第個(gè)門(mén)”則 因?yàn)?，所以 故。即該礦工平均要個(gè)小時(shí)才能到達(dá)安全區(qū)域。注：本題做法帶有某種普遍性，

5、應(yīng)該認(rèn)真體會(huì)其中的方法，下題解法相同。例 口袋中有編號(hào)為的個(gè)球，從中任取個(gè)球。若取到號(hào)球，則得分，且停止摸球；若取到號(hào)球（），則得分，且將此球放回，重新摸球。如此下去，試求得到的平均總分?jǐn)?shù)。解：令 ， 則 因?yàn)?，而當(dāng)時(shí)，所以 解之得 例 設(shè)電力公司每月可以供應(yīng)某工廠的電力服從上的均勻分布，而該工廠每月實(shí)際需要的電力服從上的均勻分布。如果工廠能從電力公司得到足夠的電力，則每電可以創(chuàng)造30萬(wàn)元的利潤(rùn)，若工廠從電力公司得不到足夠的電力，則不足部分由工廠通過(guò)其他途徑解決，由其他途徑得到的電力每電只有10萬(wàn)元的利潤(rùn)，試求該廠每個(gè)月的平均利潤(rùn)。解：依題意可知，設(shè)=“工廠每個(gè)月的利潤(rùn)”則在給定時(shí)，僅是的函數(shù)，于是，當(dāng)時(shí)，的條件期望為 當(dāng)時(shí)，的條件期望為用的分布對(duì)條件期望再做一次平均，得所以該廠每月的平均利潤(rùn)為。例3.5.10 （隨機(jī)個(gè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望）設(shè)是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量只取正整數(shù)值，且與獨(dú)立.求證注：本題的結(jié)論很重要，能夠解決很多實(shí)際問(wèn)題。下面列舉兩個(gè)例子（1） 設(shè)一天內(nèi)到達(dá)某商場(chǎng)的顧客數(shù)是僅取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，且。又設(shè)進(jìn)入此商場(chǎng)的第個(gè)顧客的購(gòu)物金額為，可以認(rèn)為諸是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且（元）。假設(shè)與相互獨(dú)立是合理的，則此商場(chǎng)