矩陣的特征值與特征向量畢業(yè)論文

1、. . . . 矩陣的特征值與特征向量 摘 要 本文介紹了矩陣的特征值與特征向量的一些基本性質(zhì)與定理，通過分析基本性質(zhì)和定理來得出它們的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。接下來還介紹了一類特殊矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量，這讓讀者對(duì)矩陣的特征值與特征向量有更進(jìn)一步的理解。最后給出了矩陣的特征值與特征向量在實(shí)際中的應(yīng)用例子。這讓我們明白研究它們不僅僅因?yàn)樗鼈兪菍W(xué)術(shù)知識(shí)，更是為了將它們應(yīng)用到實(shí)際中去，解決實(shí)際問題，讓我們的社會(huì)得到更快的發(fā)展。通過閱讀這篇文章，可以使讀者在以后的學(xué)習(xí)中對(duì)矩陣的求解更容易掌握。關(guān)鍵詞：矩陣、特征值、特征向量、正交、線性相關(guān)、線性無關(guān)、特征多項(xiàng)式- 17 - /

2、 22Matrix eigenvalue and eigenvectorZhong Yueyuan(Scienceand information sciencedepartment 2009 level ofmathematics and applied mathematicsat ShaoyangUniversity in Hunan.)AbstractThis paper introduces the value and some basic properties and theorems of eigenvectors of the matrix characteristic, thro

3、ugh the analysis of the basic properties and theorems to derive basic solving method for them, and extends to some special method. Then it introduces the characteristics of a class of special matrix - the real symmetric matrix value andthecharacteristicvector, the reader of matrices have further und

4、erstanding and feature vector.Finally gives the matrix eigenvalue and eigenvector of the application in the actual example.Let us understand this study them not only because they are the academic knowledge, but also to apply them to practice, to solve practical problems, to make our society develop

5、quickly. By reading this article, readers can learn in the future to solve the matrix is easier to grasp.Keyword :Matrix,eigenvalue,eigenvector,orthogonal,linear correlation,linear independence,characteristic polynomial目 錄中文摘要.Abstract.引言.11 矩陣的特征值與特征向量.11.1 矩陣的特征值與特征向量的定義與基本理論.11.2 求解矩陣的特征值與特征向量方法

6、.42實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量.72.1 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)、定理與對(duì)角化.72.2 對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量.93 矩陣的特征值與特征向量的舉例應(yīng)用.103.1 用特征值理論求解Fibonacci數(shù)列通項(xiàng).113.2在研究經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染中的應(yīng)用.124 結(jié)論.15參考文獻(xiàn).16致.17引言 矩陣是高等代數(shù)課程的一個(gè)基本概念，是研究高等代數(shù)的基本工具。線性空間、線性變換等,都是以矩陣作為手段；由此演繹出豐富多彩的理論畫卷。求解矩陣的特征值和特征向量，是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常碰到的問題。一般的線性代數(shù)教材中，都是先計(jì)算特征多項(xiàng)式，然后求得特征值，再通過解線性方程組得到對(duì)應(yīng)的特征向量。特征多項(xiàng)式和

7、特征根在整個(gè)矩陣?yán)碚擉w系中具有舉足輕重的作用，并且在實(shí)際中也有廣泛的應(yīng)用。1 矩陣的特征值與特征向量1.1 矩陣的特征值與特征向量的定義與基本理論定義1 設(shè)一個(gè)階方陣，是一個(gè)數(shù)，如果方程(1.1) 存在非零解向量，則稱為的一個(gè)特征值，相應(yīng)的非零解向量稱為屬于特征值的特征向量。(1) 式也可寫成，(1.2)這是個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式 (1.3) 即 上式是以為未知數(shù)的一元次方程，稱為方多項(xiàng)式陣的特征方程。其左端是的次多項(xiàng)式，記作，稱為方陣的特征。=|AE|=顯然，的特征值就是特征方程的解。特征方程在復(fù)數(shù)圍恒有解，其個(gè)數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。

8、因此，階矩陣有個(gè)特征值。設(shè)階矩陣的特征值為由多項(xiàng)式的根與系數(shù)之間的關(guān)系,不難證明 （）（）.若為的一個(gè)特征值，則一定是方程的根, 因此又稱特征根，若為方程的重根，則稱為的重特征根。方程的每一個(gè)非零解向量都是相應(yīng)于的特征向量，于是我們可以得到求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：計(jì)算的特征多項(xiàng)式； 第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值； 第三步：對(duì)于的每一個(gè)特征值，求出齊次線性方程組：的一個(gè)基礎(chǔ)解系則的屬于特征值的全部特征向量是 。 定義2設(shè)是數(shù)域上線性空間的一個(gè)線性變換。如果對(duì)應(yīng)中的一個(gè)數(shù)，存在中的非零向量，使得(1.4)那么就叫做的一個(gè)特征值，而叫做的屬于特征根的一個(gè)特

9、征向量。顯然，如果是的屬于特征值的一個(gè)特征向量，那么對(duì)于任意,都有 (1.5)這樣，如果是的一個(gè)特征向量，那么由所生成的一維子空間在之下不變；反過來，如果的一個(gè)一維子空間在之下不變，那么中每一個(gè)非零向量都是的屬于同一特征值的特征向量。其中（1）式的幾何意義是：特征向量與它在下的象保持在同一直線L（）上，時(shí)方向一樣，時(shí)方向相反，時(shí)，例1在V3中，是關(guān)于過原點(diǎn)的平面H的反射，它是一個(gè)線性變換。那么H中的每個(gè)非零向量都是的屬于特征值1的特征向量，V就是平面H。與H垂直的非零向量都是的屬于特征值 -1的特征向量，即V-1就是直線L（見圖1）。 圖1定理1 屬于不同特征值的特征向量一定線性無關(guān)。證明 設(shè)

10、是矩陣的不同特征值，而分別是屬于 的特征向量，要證是線性無關(guān)的。我們對(duì)特征值的個(gè)數(shù)m 作數(shù)學(xué)歸納法證明。 當(dāng)時(shí),由于特征向量不為零,所以結(jié)論顯然成立。 當(dāng)時(shí),假設(shè)時(shí)結(jié)論成立。 由于是的不同特征值,而是屬于的特征向量,因此如果存在一組實(shí)數(shù)，使(1.6)則上式兩邊乘以得(1.7)另一方面, ,即(1.8)(4)(5)有。由歸納假設(shè),線性無關(guān),因此(1.9) 而互不一樣，所以。于是（1.9）變?yōu)橐?于是?？梢娋€性無關(guān)。1.2 求解矩陣的特征值與特征向量的方法 在求矩陣的特征值與特征向量之前，我們來討論一下特征值與特征向量的關(guān)系，它們的關(guān)系如下：（1）如果關(guān)于某個(gè)基的矩陣是,那么的特征值一定是的特征根

11、，但的特征根卻不一定是特征值，的個(gè)特征根中屬于數(shù)域F的數(shù)才是的征特值；（2）的特征向量是V中滿足（1）式的非零向量，而A的特征向量是中的滿足的非零列向量；（3）若F是A的特征根，則A的中屬于的就是的屬于的特征向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)。下面我們來介紹兩種求矩陣的特征值與特征向量的方法：1.2.1 同步求解法定義l 把矩陣的下列三種變換稱為行列互逆變換： 1互換i，j兩行，同時(shí)互換i，j列； 2第i行乘非零數(shù)k，同時(shí)第i列乘1k； 3第i行k倍加入第j行，同時(shí)第j列一k倍加入第i列。定理1 設(shè)是秩為的階矩陣，且其中B是秩為的列滿秩矩陣，則矩陣P所含的個(gè)列向量就是齊次線性方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系（證

12、明略）。定理 2 矩陣的特征矩陣經(jīng)列的初等變換可化為下三角的矩陣，且的主對(duì)角線上元素乘積的多項(xiàng)式的根恰為的所有特征值（證明略）。例l 求的特征值與特征向量解：所以，特征值,特征向量分別為。例2 求矩陣的特征值與特征向量解： 由定理1，令，得矩陣A的特征值為。當(dāng)時(shí)，(AE)已是標(biāo)準(zhǔn)上三角形矩陣，由定理2得 得特征向量, 當(dāng)時(shí)，同理，特征向量為1.2.2 初等變換法定理3 齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩數(shù)，非奇異矩陣的后n-r列便構(gòu)成線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 證明： 又。 從而即的后列，即的諸列為方程組的列向量。 因?yàn)闉榉瞧娈惥仃?，所以的列線性無關(guān)，故它們構(gòu)成方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。如何求矩陣，從而

13、得到，從上面的證明過程可以看出，需要進(jìn)行如下計(jì)算：因矩陣的秩為，有列線性無關(guān)向量組，于是矩陣經(jīng)一系列的初等變換成為，其中秩,由此便得到。例3 已知,求矩陣A的特征根與特征向量。解：=由知，的特征根。 當(dāng)時(shí)， ， 特征向量。 當(dāng)時(shí)， ， 特征向量 。2 對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量2.1 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)、定理與對(duì)角化定義1 如果有n階矩陣A，其各個(gè)元素都為實(shí)數(shù)，且（轉(zhuǎn)置為其本身），則稱A為實(shí)對(duì)稱矩陣。定理 1 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值恒為實(shí)數(shù)，從而它的特征向量都可取為實(shí)向量。定理 2 實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值的特征向量是正交的。證明 設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣的兩個(gè)不同的特征值，即是分別屬于的特征向量，則 ，根據(jù)積

14、的性質(zhì)有 又所以因 ，故 ，即與正交。定理 3 設(shè)為階對(duì)稱矩陣，是的特征方程的重根，則矩陣的 秩從,從而對(duì)應(yīng)特征值恰有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。定理 4 設(shè)為階對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣，使，其中是 以的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。例 1 設(shè) ，求一個(gè)正交矩陣，使為對(duì)角矩陣. 解： 所以的特征值對(duì)于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系,因此屬于的標(biāo)準(zhǔn)特征向量為 對(duì)于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系這兩個(gè)向量恰好正交，將其單位化即得兩個(gè)屬于的標(biāo)準(zhǔn)正交向量,于是得正交矩陣易驗(yàn)證 。2.2 對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量實(shí)對(duì)稱矩陣是矩陣的一種特殊形式，我們?cè)趯W(xué)矩陣的時(shí)候已經(jīng)學(xué)會(huì)怎樣求解矩陣的特征值與特征向量。下面，

15、分別用初等行變換和初等列變換來解實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量，以便大家更好地了解實(shí)對(duì)稱矩陣。定理1 n階矩陣A的特征矩陣經(jīng)列的初等變換可成為下三角矩陣：(2.1)其中的根就是的特征多項(xiàng)式的根。例1 求的特征值與特征向量。 解: 所以，特征值分別為；特征向量分別為例2 求矩陣的特征值與特征向量。解: 特征值為（三重根），。當(dāng)時(shí)， 特征向量。3 矩陣的特征值與特征向量的舉例應(yīng)用 上面幾章已經(jīng)對(duì)矩陣的特征值與特征向量的理論知識(shí)進(jìn)行了學(xué)習(xí)，現(xiàn)在我們要解決的是怎樣將理論知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中去，以達(dá)到學(xué)以致用的效果。下面就讓我們一起來學(xué)習(xí)矩陣的特征值與特征向量在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用。3.1 用矩陣特征值理論求

16、解Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用，為此，美國數(shù)學(xué)會(huì)從年起出版了斐波那契數(shù)列季刊，專門刊載這方面的研究成果。在1202年，裴波那契在一本書中提出一個(gè)問題：如果一對(duì)兔子出生一個(gè)月后開始繁殖，每個(gè)月生出一對(duì)后代，現(xiàn)有一對(duì)新生兔子，假定兔子只繁殖，沒有死亡，問第K 個(gè)月月初會(huì)有多少對(duì)兔子？以“對(duì)”為單位，每月兔子組對(duì)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，這便是著名的Fibonacci數(shù)列:0,1,1,2,3,5,，滿足條件(3.1

17、)試著求出通項(xiàng)?，F(xiàn)在我們運(yùn)用矩陣的工具來求數(shù)列的通項(xiàng)。解：由關(guān)系式令則上述關(guān)系式可以寫成矩陣形式(3.2)由（3.2）式遞推可得 (3.3)于是求的問題歸結(jié)為求，即求的問題。由得A的特征值 ， 對(duì)應(yīng)于的特征向量分別為(3.4)令 于是(3.5)將 ， 代入（3.5）得 (3.6)對(duì)應(yīng)于任何整數(shù)k,由（6）式求得的都是正整數(shù)，當(dāng)K=20時(shí)，=6765，即20個(gè)月后有6765對(duì)兔子，此例中利用矩陣的特征值理論，方便地求出Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式。3.2 在研究經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染之間關(guān)系中的應(yīng)用 經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染是當(dāng)今世界亟待解決的兩個(gè)突出問題。為研究某地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染之間的關(guān)系，

18、可建立如下數(shù)學(xué)模型：設(shè)分別為某地區(qū)目前的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，分別為該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，且有如下關(guān)系：令 , 則上述關(guān)系的矩陣形式為。此式反映了該地區(qū)當(dāng)前和若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平之間的關(guān)系。如 則由上式得 由此可預(yù)測該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平。一般地，若令分別為該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，則經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型為令則上述關(guān)系的矩陣形式為由此，有由此可預(yù)測該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平。面作進(jìn)一步地討論： 由矩陣 的特征多項(xiàng)式得A 的特征值為對(duì)，解方程得特征向量對(duì)，解方程得特征向量顯然,線性無關(guān)。下面分三種

19、情況分析：情況一一個(gè)性質(zhì):若是矩陣A的屬于特征值的特征向量,則也是的屬于特征值的特征向量。 由(*)與特征值與特征向量的性質(zhì)知，即 或此式表明：在當(dāng)前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的前提下，t年后，當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平達(dá)到較高程度時(shí)，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢。情況二 ，所以不討論此種情況。情況三，不是特征值,所以不能類似分析。但是可以由唯一線性表示出來 。由(*)與特征值與特征向量的性質(zhì)得即 由此可預(yù)測該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平。因無實(shí)際意義而在情況二中未作討論，但在情況三的討論中仍起到了重要作用。由經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型易見，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中獲得了成功

20、的應(yīng)用。4 結(jié)論通過本章的學(xué)習(xí)，我們對(duì)矩陣的特征值與特征向量的定義、性質(zhì)有了更深的了解，并且學(xué)會(huì)用不同的方法計(jì)算特征值與特征向量。將矩陣應(yīng)用到實(shí)際生活中去，解決實(shí)際問題，這才是我們學(xué)習(xí)各種理論知識(shí)的最終目的。學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)，聯(lián)系實(shí)際，通過數(shù)學(xué)的工具來解決生活上問題。離開數(shù)學(xué)別的科學(xué)研究是寸步難行的，所以我們必須重視數(shù)學(xué)，深入研究數(shù)學(xué)，從而促進(jìn)所有科學(xué)的發(fā)展。 在這篇文章中，由于知識(shí)的有限，還存在很多的不足，對(duì)矩陣的特征值與特征向量的研究還不夠深入，需要所有從事數(shù)學(xué)研究的老師和學(xué)者的共同努力，加強(qiáng)理論知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)： 1 志浩編著.矩陣特征值問題M. 科學(xué)技術(shù).1980 2 廷俊.

21、矩陣特征值與特征向量的同步求解法J.聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). 2006，3:2-3. 3 何翼. 求矩陣的特征值與特征向量的新方法J. 學(xué)院學(xué)報(bào). 2009,3:4-5. 4 邵麗麗. 矩陣的特征值和特征向量的應(yīng)用研究J. 學(xué)院學(xué)報(bào). 2006,5:1-3.5 紅玉.矩陣特征值的理論與應(yīng)用J. 大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). 2009,1:7-8.6 霓.矩陣特征值和特征向量的一些應(yīng)用J. 中國科技信息. 2007,11:13-6.7 王英瑛.矩陣特征值和特征向量求法的探討J. 理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). 2008,3:5-6.8 國琪. 矩陣特征值與特征向量的同步求解J. 師學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).1996,S1:5-7. 9 亞亞,程國. 一種改進(jìn)的求方陣特征值的方法J. 學(xué)院學(xué)報(bào). 2008,