一個(gè)求回歸直線方程的簡(jiǎn)單方法

1、一個(gè)求回歸直線方程的簡(jiǎn)單方法科技信息高校理科研究一個(gè)求回歸直線方程明簡(jiǎn)單方法華北電力大學(xué)柳燕摘要求回歸直線方程是統(tǒng)計(jì)學(xué)中經(jīng)常用到的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法,大量的數(shù)據(jù)處理也可以有一些簡(jiǎn)單的方法,例如利用常用的數(shù)學(xué)記號(hào),經(jīng)過(guò)推導(dǎo)與整理,便得到了簡(jiǎn)潔易用的公式.關(guān)鍵詞統(tǒng)計(jì)分析回歸直線方程相關(guān)性由于自然界中的許多事物間都包含著某種相互依存的內(nèi)部規(guī)律,這種聯(lián)系反映到數(shù)學(xué)上,就是變量間的關(guān)系.變量的關(guān)系分為兩大類(lèi):有確定性關(guān)系和非確定性關(guān)系.數(shù)學(xué)的任務(wù)之一就是從數(shù)量上來(lái)解釋和分析這些關(guān)系.回歸分析就是一種處理變量與變量間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方法,也是數(shù)據(jù)處理中最為常用的一種統(tǒng)計(jì)方法.它是用數(shù)學(xué)方法從大量觀測(cè)數(shù)據(jù)中找出變量

2、間近似關(guān)系的定量表達(dá)式,并由此利用這個(gè)定量表達(dá)式去研究我們所未知的東西.研究?jī)蓚€(gè)變量間的相互關(guān)系的,稱(chēng)為一元回歸分析,在回歸分析中,最簡(jiǎn)單也是最基本的情形是線性回歸,而一元線性回歸所要找尋的是與變量相匹配的線性回歸直線.這里,我們用計(jì)算器上的統(tǒng)計(jì)鍵就可以輕而易舉地得到這條直線方程.回歸的發(fā)現(xiàn)源自于19世紀(jì)末期對(duì)社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究.那時(shí),統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn),有許多數(shù)據(jù)都與正態(tài)曲線擬合的很好.但是這無(wú)所不在的正態(tài)性卻給高爾登帶來(lái)了一個(gè)困惑,他發(fā)現(xiàn)親子兩代各自的身高數(shù)據(jù),都遵從同一的正態(tài)分布,但理論上,遺傳把一種性態(tài)(例如身高)的優(yōu)勢(shì)傳遞給下一代,則應(yīng)該在后代中出現(xiàn)兩極分化,即高個(gè)子的后代個(gè)子更高,矮個(gè)子的

3、后代個(gè)子更矮,或者說(shuō),高個(gè)子與矮個(gè)子的比例應(yīng)該日漸增加,而中等身材的比例應(yīng)該日漸下降,但事實(shí)卻是一代代的身高始終呈現(xiàn)出穩(wěn)定的正態(tài)分布.怎么解釋這一現(xiàn)象呢?為此,高爾登想出了一個(gè)正態(tài)漏斗試驗(yàn),現(xiàn)在又稱(chēng)為:高爾登釘板試驗(yàn).這個(gè)實(shí)驗(yàn)使高爾登發(fā)現(xiàn)了在親子代間性狀的遺傳中,性狀有向中心回歸的現(xiàn)象,也就是說(shuō),雖然高個(gè)子的后代平均來(lái)說(shuō)要高些,但卻不如其親代那么高,總會(huì)向平均身高的方向回歸一些.這既是回歸的含義,也是回歸這個(gè)概念的出處.接下來(lái)的工作是他在分析一些統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)據(jù)時(shí)注意到,若數(shù)據(jù)都取統(tǒng)計(jì)尺度,則可存在著兩條斜率相同的回歸直線.而其斜率可以作為兩組變量的相關(guān)緊度,就是我們現(xiàn)在所說(shuō)的相關(guān)系數(shù).高爾登利用

4、散點(diǎn)圖去估計(jì)相關(guān)系數(shù),并在圖中指示了這些點(diǎn)理論上落在直線上.這條直線就是我們要求的線性回歸直線.現(xiàn)在求線性回歸直線是一件簡(jiǎn)單的事,有那么多的統(tǒng)計(jì)軟件,數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī),所求的直線也就得到了.這里介紹的是僅憑一個(gè)小小的計(jì)算器上的統(tǒng)計(jì)健,求出回歸直線方程的簡(jiǎn)單方法.設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量x與Y之間存在著某種相關(guān)關(guān)系.對(duì)于x取定的一組值x,作獨(dú)立試驗(yàn),得到Y(jié)所對(duì)應(yīng)的一組值Y,即得到n對(duì)觀測(cè)值x.,Y.),(i=l2-.,n1,又稱(chēng)為一組樣本值.利用散點(diǎn)圖,可以看出這些點(diǎn)之間大致的位置關(guān)系,若近似地呈直線狀,那么它們之間可成一線性關(guān)系,因?yàn)榭梢韵胂?這些點(diǎn)散布在一條直線附近.在這些點(diǎn)附近的直線很多,究竟選取哪一

5、條是最佳的呢?這可用最小二乘法解決,即取與觀測(cè)數(shù)據(jù)離差的平方和最小的那條直線,這條直線就稱(chēng)為Y與x的回歸直線.不妨設(shè)Y=a+bX,對(duì)應(yīng)于每個(gè)記Y,=a+bx,則離差的平方和:Q(a,b1=(y.一0:(y,一bx),l=Iixl于是將求回歸直線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求Q(a,b)的最小值問(wèn)題.即求使一aQ(a,b):2一a-b【i)(一1):0曲:時(shí)的與baQ(.a,b)一:22(yi-a-bxi)(一xJ=0OD_=】引入記號(hào):_-I1i=l,_=ni=y.,r=12,s2=12(x.一x-)fa+b則上式可整理并變形為_(kāi)a窆2ibI從而解得:b:,a=7-bS1這個(gè)經(jīng)過(guò)變形整理后的公式,僅含有樣本均值

6、和樣本方差的形式:i,取s,用計(jì)算器上的統(tǒng)計(jì)鍵完全可以輕易地算出.確定了a,b之后,所求的回歸直線方程也就有了:Y=a+bX.例如某種水生植物生長(zhǎng)的時(shí)間與身長(zhǎng)間的關(guān)系如下生長(zhǎng)時(shí)間x(天)510203040506090120身長(zhǎng)Y(厘米)48l31617l9252946試求它們之間的回歸直線.先作散點(diǎn)圖,從圖中大致可以判斷這些點(diǎn)之間的關(guān)系呈線性關(guān)系.令回歸直線方程為:y=a+bx用計(jì)算器中的統(tǒng)計(jì)鍵可得出樣本均值,y-,及樣本方差S,這里,2247.2,7=19.67,_-1344.4,Sl=35.8故一b=Sl1344.4-47.22x19.67:0.324635.8a=y-b_19.670.3

7、246x47.2=4.35故所求的回歸直線方程為:y=4.35+0.3246x.這個(gè)過(guò)程比一般教科書(shū)上給的方法要簡(jiǎn)便易用,而且也不繁瑣,單純從求回歸直線方程而言,應(yīng)該已經(jīng)化到了最簡(jiǎn).其實(shí)數(shù)學(xué)就是這樣,當(dāng)你很好地利用它的記號(hào)時(shí),它有時(shí)會(huì)給你帶來(lái)意想不到的簡(jiǎn)潔與規(guī)律.(上接第86頁(yè))芯片成本,數(shù)據(jù)傳輸?shù)目炻?3,鍵盤(pán)模塊無(wú)線式評(píng)分器需要由一個(gè)界面來(lái)進(jìn)行信息的錄入,我們選擇了鍵盤(pán)電路來(lái)達(dá)到這一要求.鍵盤(pán)電路有很多種,有的很復(fù)雜,需要的技術(shù)含量很高.而無(wú)線通信評(píng)審系統(tǒng)的鍵盤(pán)不需要太復(fù)雜.具體要求如下:(1)具有0至9,上翻,下翻,完畢,確定,刪除,棄權(quán)等鍵.(2)若輸入數(shù)字錯(cuò)誤,可按刪除鍵修改,按確

8、定鍵數(shù)據(jù)傳送到無(wú)線數(shù)據(jù)采集器.(3)采用4位大液晶顯示.(4)電池供電,具有3級(jí)電池電量顯示.(5)具有數(shù)據(jù)發(fā)送成功指示.(6)室內(nèi)接收距離:200米,室外接收距離:300米.4,顯示模塊在儀器儀表電路設(shè)計(jì)中,人機(jī)交互界面是必不可少的環(huán)節(jié),現(xiàn)階段儀器儀表中通常使用的是LCD技術(shù),LCD顯示技術(shù)獲得廣泛應(yīng)用的原因是:(1)價(jià)格低廉;(2)顯示信息清晰醒目;(3)對(duì)儀器儀表系統(tǒng)資源占用相對(duì)較少;(4)能量消耗相對(duì)較小,電源電路簡(jiǎn)單.利用智能型LCD顯示控制器,可以構(gòu)成較復(fù)雜的儀器儀表人機(jī)顯示界面,相對(duì)提高人機(jī)界面的友好程度,減少對(duì)儀器儀表系統(tǒng)軟硬件資源的占用,提高儀器工作的可靠性,因而是儀器儀表系統(tǒng)人機(jī)界面的一種良好的構(gòu)成方案.5,看門(mén)狗在控制系統(tǒng)中,由于微機(jī)電路本身的特點(diǎn),它一旦因干擾或電源電壓不正常使程序失控,即使干擾消除,電壓恢復(fù)正常,微機(jī)也不會(huì)自動(dòng)恢復(fù)正常,必須要人工干涉.而在許多場(chǎng)合系統(tǒng)控制的工作是處于無(wú)人職守的狀態(tài),這時(shí)就需要看門(mén)狗電路,它能在異常狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的自動(dòng)復(fù)位.此評(píng)分器通過(guò)無(wú)線通信芯片來(lái)接收和發(fā)送數(shù)據(jù),由LCD液晶電路來(lái)顯示數(shù)據(jù),由鍵盤(pán)電路來(lái)錄入信息,并通過(guò)一個(gè)看門(mén)狗電路來(lái)對(duì)此進(jìn)行監(jiān)測(cè)