分形幾何的特征及其維數(shù)

1、分形幾何的特征及其維數(shù)王瑞英(德州學(xué)院數(shù)學(xué)系,山東德州253023摘要:本文介紹了分形幾何發(fā)展的三個(gè)階段,分形幾何的特征與維數(shù).關(guān)鍵詞:分形;維數(shù);分維數(shù)中圖分類(lèi)號(hào):O189文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1004-9444(200102-0021-04分形幾何是七十年代發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支,近年來(lái),它在科學(xué)上的地位已變得越來(lái)越重要.分形的思想和方法正日益影響著現(xiàn)代社會(huì)的生活,分形的理論已被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中.1分形幾何發(fā)展的三個(gè)階段收稿日期:20001010作者簡(jiǎn)介:王瑞英(1957,女,漢,山東榮成人,德州學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授,主要從事幾何方面的教學(xué)和研究.21的引入,而且長(zhǎng)度、面積

2、等概念必須重新認(rèn)識(shí),從而產(chǎn)生了Minkow ski容度、Hausdo rff測(cè)度和Hausdorff維數(shù).這些概念指出,為測(cè)量一個(gè)幾何對(duì)象,必須依賴于測(cè)量方式以及測(cè)量所采取的尺度.在分形幾何發(fā)展的第一階段,人們已提出了典型分形對(duì)象及相關(guān)問(wèn)題,并為討論這些問(wèn)題提供了最基本的工具.第二階段大致為1926年至1975年,這一階段更為系統(tǒng)、深入研究深化了第一階段的思想,逐漸形成了理論,并將研究范圍擴(kuò)大到數(shù)學(xué)的許多分支中.Besicovitch等人研究了曲線的維數(shù)、分形集的局部性質(zhì)、分形集的結(jié)構(gòu)以及在數(shù)論、調(diào)和分析、幾何測(cè)度論等方面的應(yīng)用.這些研究結(jié)果極大的豐富了分形幾何的理論,同時(shí)維數(shù)理論也得到了進(jìn)一

3、步發(fā)展并日臻成熟.1928年至1959年先后引入了Bo uliga nd 維數(shù)、覆蓋維數(shù)、熵維數(shù).刻畫(huà)集合“大小”的容量及其容量維數(shù)亦引入到分析中來(lái).同時(shí),維數(shù)的乘積理論、投影理論、位勢(shì)方法、網(wǎng)測(cè)度技巧、隨機(jī)技巧均先后建立并成熟,已使分形幾何的研究具有自己的特色與方法.第三階段為1975年至今,是分形幾何在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用取得全面發(fā)展,并形成獨(dú)立學(xué)科的階段.在此之前雖取得許多重要成果,但主要還是局限于純數(shù)學(xué)理論的研究,與其它學(xué)科未發(fā)生聯(lián)系,同時(shí)物理、地質(zhì)、天文和工程學(xué)等學(xué)科已產(chǎn)生大量與分形幾何有關(guān)的問(wèn)題,迫切需要新的思想與有力的工具來(lái)處理.正是在這種形勢(shì)下,Ma ndelbro t以其獨(dú)特的思想

4、,系統(tǒng)、深入、創(chuàng)造性的研究了海岸線的結(jié)構(gòu)、具強(qiáng)噪聲干擾的電子通訊、月球的表面、銀河系中星體的分布、地貌的生成、湍流的幾何性質(zhì)等典型的自然界中的分形現(xiàn)象,取得了一系列令人矚目的成功.Mandelbro t將前人的研究進(jìn)行總結(jié),集其大成,于1975年以“分形:形狀、機(jī)遇和維數(shù)”為名發(fā)表了他的劃時(shí)代專(zhuān)著.第一次系統(tǒng)地闡述了分形幾何的思想、內(nèi)容、意義和方法.此專(zhuān)著的發(fā)表標(biāo)志著分形幾何作為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科正式誕生.自1975年以來(lái),分形理論無(wú)論是在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)還是在應(yīng)用方面都有快的發(fā)展.在維數(shù)的估計(jì)與算法,分形集的生成結(jié)構(gòu),分形的隨機(jī)理論等方面獲得較深入的結(jié)果.并在自然科學(xué)、材料科學(xué)和工程技術(shù)中取得巨大成功.

5、2分形幾何的特征性質(zhì)及其維數(shù)人們已知,歐氏幾何是關(guān)于直覺(jué)空間形體關(guān)系分析的一門(mén)學(xué)科,它研究的是極度有序的和光滑的、具有特征長(zhǎng)度形體的幾何圖形.如二次曲線、二次曲面是有序且光滑的,長(zhǎng)方形、橢園、球具有特征長(zhǎng)度(所謂特征長(zhǎng)度,是指所考慮的集合對(duì)象所含有的各種長(zhǎng)度的代表者,如球可用它的半徑作為它的特征長(zhǎng)度.然而自然界中更多的是不規(guī)則的無(wú)序、不連續(xù)的形態(tài),被稱之為“幾何混沌”.正如M andelbro t書(shū)中寫(xiě)到“云團(tuán)不是球形的,山脈不是圓錐體,海岸線不是圓弧的,甚至閃電也不是沿直線劃過(guò)天空.”這樣的幾何形體難以用歐氏幾何去研究、刻畫(huà).分形幾何研究的恰是一類(lèi)不規(guī)則的、無(wú)特征長(zhǎng)度的幾何形體.何為分形?事

6、實(shí)上目前還沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義,只能給出描述性的定義.粗略的說(shuō),分形是對(duì)沒(méi)有特征長(zhǎng)度但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的總稱.Mandelbrot最先引入分形(fractal一詞,意為破碎的,不規(guī)則的,并建議將分形定義為整體與局部在某種意義下的對(duì)稱性的集合,或者具有某種意義下的自相似的集合.Falconer認(rèn)為,分形的定義應(yīng)該以生物學(xué)家給出“生命”的類(lèi)似方法給出,即不尋求分形的確切簡(jiǎn)明的定義,而是尋求分形的特性,將分形看成具有如下性質(zhì)的集合F:1F具有精細(xì)結(jié)構(gòu),即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體.2F是不規(guī)則的,以致于不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述.3F通常具有某種自相似性,或許是近似的或許是統(tǒng)計(jì)意義下

7、的.4F在某種方式下定義的“分維數(shù)”通常大于F的拓?fù)渚S數(shù).5F的定義常常是非常簡(jiǎn)單的,或許是遞歸的.Von Koch曲線的構(gòu)造過(guò)程見(jiàn)圖1.設(shè)E0是單位長(zhǎng)線段,E1是由E0除去中間13的線段,而代之以底向上作等邊三角形的另外兩條邊所得到的圖形,它包含4個(gè)線段.對(duì)于E1的每個(gè)邊都重復(fù)上述過(guò)程來(lái)構(gòu)造E2,依此類(lèi)推,得到一個(gè)曲線序列En,其中E k是把E k-1的每個(gè)線段中間13用等邊三角形的另外22兩邊取代得到的,當(dāng)K充分大時(shí),E k和E k-1只是在精細(xì)的細(xì)節(jié)上不同,當(dāng)K時(shí),E k趨于一個(gè)極限曲線F,稱Von Koch曲線.觀察該曲線可以發(fā)現(xiàn),不論多小的部分,若把它放大得到與原來(lái)相同的圖形,即曲線

8、F具有局部與整體的相似性.它由四個(gè)與F相似的部分組成,其相似因子為14,而每部分又由4個(gè)更小的但仍與F相似的部分組成,相似因子為142上述的相似性稱為自相似性.曲線F不管取多么小的尺度,60°的尖角依然出現(xiàn),只是邊長(zhǎng)減小,這表明F的復(fù)雜性不隨尺度的減小而消失.F難以用經(jīng)典方法刻畫(huà),它即不是某些簡(jiǎn)單幾何條件的點(diǎn)的軌跡,也不能作為任一簡(jiǎn)單方程解的集合.F的長(zhǎng)度為無(wú)窮大,面積為零.因此不能用通常的測(cè)度來(lái)度量它的“大小”.同時(shí)F可以由簡(jiǎn)單的遞歸方式生成.與之相類(lèi)似,Canto r三分集的構(gòu)造見(jiàn)圖 2.Vo n Koch曲線和Canto r三分集被看成是分形的典型例子.Falco ner關(guān)于分

9、形的觀點(diǎn)已被多數(shù)人接受.關(guān)于分維數(shù)已有多種定義.Hausdo rff維數(shù)、容量維數(shù)、相似維數(shù)、Liapunov維數(shù)等等.以相似維數(shù)為例,這一維數(shù)的引入受線段、正方形、立方體維數(shù)的啟示.如果把線段、正方形、立方體的邊分成二段,則線段被分成二段,正方形被分成四個(gè)小正方形,立方體被分成8個(gè)小立方體;被分后的線段、正方形、立方體可以看成是由2、4、8個(gè)與整體相似的圖形組成.2、4、8可以改寫(xiě)成21、22、23,這里指數(shù)與相應(yīng)圖形的拓?fù)渚S數(shù)是一致的.不失一般性,當(dāng)某圖形是由把全體縮小為1a的b個(gè)相似圖形構(gòu)成時(shí)(b=aD,那么D=log Nlog(1r.Von Koch曲線是把全體縮小成13時(shí)4個(gè)相似形構(gòu)

10、成,因此它的相似維數(shù)為D=log4log3=1.2618.目前還沒(méi)有對(duì)所有分形都適用的維數(shù)定義,統(tǒng)稱那些取非整數(shù)值的維數(shù)為分維數(shù),或分形維數(shù).大多數(shù)的定義是基于“尺度W下的度量”這一思想.設(shè)F是一分形集,對(duì)于每個(gè)W>0,忽略尺度小于W的不規(guī)則性,并且考察測(cè)量值M W(F在W0時(shí)的狀況.如果存在兩個(gè)非負(fù)常數(shù)c和s,使得M W(F滿足冪定律M W(Fc W-s則稱F具有“維數(shù)”s,而c可以看作集F的s維尺度.23 Von Koch曲線圖1Cantor三分集圖2參考文獻(xiàn):1謝和平等.分形應(yīng)用中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法M.北京:科學(xué)出版社,1997.33文志英等.分形幾何和分維數(shù)簡(jiǎn)介J.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),1995,(4CHARACTERS OF FRACTAL GEOMTRY ANDFRACTAL DIMENSIONSW AN G Rui-ying(Dezhou University,Dezhou Shandong253023Abstract:This paper presentes the introductio ns to the dev