奧物-質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)ppt課件

1、第一專題 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)與方法研究 三、平面上兩運(yùn)動(dòng)曲線的交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一、運(yùn)動(dòng)分解的任意性二、曲率半徑的物理求法四、質(zhì)點(diǎn)彈性斜碰的運(yùn)動(dòng)軌跡類比于光的反射一、運(yùn)動(dòng)分解的任意性12rrr12vvv12aaa 不限于正交分解，更不限于沿水平、豎直方向的正交分解. 可以根據(jù)解題需要沿選定方向分解.知識(shí)與方法研究 運(yùn)動(dòng)的分解與合成是不同于參照系變化時(shí)KK）對(duì)運(yùn)動(dòng)描述的伽利略或洛侖茲變換, 是在一個(gè)參照系中進(jìn)行的. 將質(zhì)點(diǎn)所作的運(yùn)動(dòng)視為同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立存在的運(yùn)動(dòng)后的結(jié)果，便稱之為一個(gè)運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)運(yùn)動(dòng). 例1 足球運(yùn)動(dòng)員在球門正前方距離球門s遠(yuǎn)處的O點(diǎn)踢出一球，球從球門高為h的橫梁下邊沿射入球門. 問球以怎

2、樣的角度 射出，才能使射出的初速度v0最??？OCBsh解一建立如圖的坐標(biāo)系，則球到達(dá)球門時(shí)0(cos )svt201(sin )2hvtgt 消去t 得：2220tan2cosgshsv 進(jìn)而得：22022(tan)cosgsvsh2sin2cos2gsshh222.sin(2gshsh）(arctan)hs其中：022v當(dāng)時(shí)， 有最小值.所以.42將v0做水平、豎直的正交分解.v0 xyOCBshxyv0 解二 如圖，建立坐標(biāo)系.則有將v0、g均沿x、y方向進(jìn)行分解.201(cos )( sin )2xvtgt201(sin)( cos )2yvtgt足球到達(dá)B時(shí)，0,y 所以有22201(

3、cos)( sin )2shvtgt2010(sin)( cos )2vtgt消去t 得：222022sin(coscossinsin )cosvshg202sin(2)sincosvg所以22220cossin(2)sinshgv022v當(dāng)時(shí)， 有最小值.此時(shí)1(),2 242g22xsh421.42現(xiàn)在足球在x軸方向、y軸方向的分運(yùn)動(dòng)各是什么運(yùn)動(dòng)？OCBshv0 解三xy建立如圖的坐標(biāo).據(jù)圖中的幾何關(guān)系，對(duì)三角形BOD由正弦定理有：sinsinsin()BDODOB即222012sinsinsin()gtv tsh由左邊的等式得：02sinsinvtg將此代入右邊的等式：222022sin

4、sinsin()vshg所以22220sin2sin() sing shv222sincoscos(2)g sh02v當(dāng)時(shí)， 有最小值.此時(shí)x方向?yàn)閯蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，y方向?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng).1()21()22.42現(xiàn)在足球在x軸方向、y軸方向的分運(yùn)動(dòng)各是什么運(yùn)動(dòng)？DOCBshv0Dxy 題后總結(jié)與思考本題充分說明運(yùn)動(dòng)分解的任意性.如果愿意，還有一種如圖的合理分解方式！g 例2 彈性小球從高h(yuǎn)處自由落下，落到與水平面成角的足夠長的斜面上，碰撞后以同樣大小的速度彈回. （1求每個(gè)彈回點(diǎn)第一點(diǎn)和第二點(diǎn)，第二點(diǎn)和第三點(diǎn)，第n點(diǎn)和第n+1）點(diǎn)間的距離x1-2、x2-3、x3-4、x n-(n+1). （2求當(dāng)

5、斜面以u(píng)勻速向上運(yùn)動(dòng)并在1中原處與小球第一次相碰時(shí)的x1-2的數(shù)值.解h 小球第一次與斜面相碰前、后的速度大小為102.vghxyo 則小球在兩個(gè)碰點(diǎn)之間的在x、y方向的分運(yùn)動(dòng)均是勻變速直線運(yùn)動(dòng).10vgxgyg于是1010s2,insinxvvgh1010cos2cos .yvvgh以斜面為參照系.建立如圖所示的坐標(biāo)系.10 xv10yv 第一次碰后第二次碰前的運(yùn)動(dòng)方程為：11010sin( sin )xxxvvg tvgt11010cos( cos )yyyvvg tvgt221101011(sin )( sin )22xxxvtg tvtgt221101011(cos )( cos )2

6、2yyyvtg tvtgthxyo10vgxgyg10 xv10yv令 y 1=0，可得第一與第二次碰撞的時(shí)間間隔為101 22vtg代入x1的計(jì)算式后可得2101 24sinvxg2 2ghg22hg8sinhhxy10vgxgyg10 xv10yv 每相鄰兩次相碰的時(shí)間間隔均相等，于是22 32012xxxvtg t8 sin8 sinhho 據(jù)勻變速直線的特點(diǎn)可知在每次碰前碰后瞬間在y方向的速度大小均相等， 為22123 2sin2sin(22hhghggg）12 sin4 sinhh1 2+8 sinxh 據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知在相鄰的相等時(shí)間內(nèi)位移的增量相等，8sin .nh(1

7、)8 sin1)8 sinnnxhnh（碰撞與第(n+1)次碰撞之間的間距為所以第n次102cos .yvgh1 222.httg為1 28sinxh第二次碰撞前后x方向分速度為20101 2=sin +( sin )xvvgt3 2singhhxyo10vgxgyg10 xv10yv 題后思考 能否建立水平方向的 x 坐標(biāo)與豎直方向的y 坐標(biāo)解本題？能否建立斜面方向的x坐標(biāo)與豎直方向的y坐標(biāo)求解？ （2求當(dāng)斜面以u(píng)勻速向上運(yùn)動(dòng)時(shí)在原處與小球第一次相碰時(shí)的x1-2的數(shù)值. 此時(shí)，仍以斜面為參照系. 則小球第一次與斜面相碰時(shí)速度大小便由（1中的v10變成了(v10+u). 所以將1中相關(guān)式子中的

8、v10代換為v10+u）， 便能得到對(duì)應(yīng)的結(jié)果.于是2101 24()sinvuxg24( 2)sin .ghugu2101 24sinvxg讓質(zhì)點(diǎn)做某種軌跡為給定的曲線的運(yùn)動(dòng)確定質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)軌跡上某處的v和a心由向心加速度公式求在選擇質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，盡量考慮如何方便 得到曲線某處的v和a心 二、曲率半徑的物理求法1、從曲率圓的角度看質(zhì)點(diǎn)作平面光滑曲線運(yùn)動(dòng)的速度和加速度aaa切心22va 心|dvadt切表示由速度大小變化引起的速度變化之快慢程度表示由速度方向變化引起的速度變化之快慢程度yop1p1va切a心ax2、由運(yùn)動(dòng)學(xué)求曲率半徑的思路：這樣的運(yùn)動(dòng)在橢圓的頂點(diǎn)處的v和a心是易求得的. 例3 試

9、求橢圓 的頂點(diǎn)處的曲率半徑.22221xyAB解橢圓的參數(shù)方程為cosxAtsinyBtxy0AB可以選擇質(zhì)點(diǎn)沿橢圓軌道的運(yùn)動(dòng)為：在x方向和y方向的分運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng).(其簡諧振動(dòng)方程即為以上橢圓的參數(shù)方程)sincos;xyvAtvBt 22cossinxyaAtaBt 于是有在圖中頂點(diǎn)A處：0 xv yvBvB2xaA 0ya 2xaaA心xy0AB所以2Ava心va心同理可得2BAB222BA2BAvB2xaaA心 求滾輪線上任意點(diǎn)處曲率半徑.解為方便計(jì)，讓輪子做勻速的純滾動(dòng).設(shè)輪心O相對(duì)地面的速度為v0 . P點(diǎn)相對(duì)于輪心勻速平動(dòng)參照系o 的加速度為：00a 由于，0.aaa故0.

10、aaaP點(diǎn)相對(duì)地面參照系的加速度為輪邊緣上任意一點(diǎn)P相對(duì)輪心O的線速度為多大？相對(duì)地面的速度為多大？v0oPoooo20vaR，例4方向指向輪心o點(diǎn)a0v0v0=2cos2vv 則圖中P點(diǎn)相對(duì)輪心o的速度為0v ，相對(duì)地面速度為0=2cos.2vv其中指向曲率圓心o的分量為cos2naao0=2cos2vvo0vna20cos2vR設(shè)P點(diǎn)的曲率圓半徑為，a0=2cos2vvoo0v20(2cos)2.nva則向心加速度為由此即得=4 cos.2r討論：在滾輪線最高點(diǎn)：在滾輪線最低點(diǎn)：=0，= ，02vv，=0.0v ，naov0PPPooo0v0=2cos2vv0v=4 . rcos2naa于

11、是有 題后總結(jié)此兩題的解法屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)的求法，曲率半徑還有動(dòng)力學(xué)的求法這將在以后研究.三、平面上兩光滑運(yùn)動(dòng)曲線包括直線的交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 注 意交點(diǎn)并非曲線上的一個(gè)固定點(diǎn)(一個(gè)質(zhì)元，一個(gè)點(diǎn)記號(hào))，而是兩條曲線相交而成的幾何點(diǎn).1、幾種交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況2、如何求交點(diǎn)的速度決不能 ！12Pvvv（3直線與曲線的交點(diǎn)P12v1v2（2曲線與曲線的交點(diǎn)Pv20v10 v1=v10v2平動(dòng)純滾動(dòng)（1直線與直線的交點(diǎn) Pv10 v20110vv220vv（1由速度的定義出發(fā)求（2從相對(duì)運(yùn)動(dòng)出發(fā)求 如圖，一平面內(nèi)有l(wèi)1、l2兩細(xì)桿，相交成角. 細(xì)桿分別以垂直于自身?xiàng)U長的速度勻速運(yùn)動(dòng). 求兩桿的交點(diǎn)P相對(duì)于紙面的速率.

12、解一AB由定義出發(fā)求速度l1l2Pv1v2P2P3設(shè)經(jīng)過時(shí)間t, 交點(diǎn)P勻速直線運(yùn)動(dòng)至P1處.21csccsc ,PPAPvt1232csccscPPPPPBvt2212122122cos()PPP PPPP P PP在圖中：由余弦定理有所以1P22121 22coscscvvv vt 22121 22coscscvvvv1PPPvt如何求得 ？1PP2 PP ，12PP1PP例5 l1l2Pv1v2P1ABP2P3解二由相對(duì)運(yùn)動(dòng)出發(fā)求速度先求出交點(diǎn)相對(duì)于桿l1的速率v1：在圖中：1122APPPAP所以11APvt 進(jìn)一步得交點(diǎn)P相對(duì)于地面的速率：21csccotvtvt32PPAPcscc

13、otPBAP12cotcscvv22121 22coscscvvvv2211Pvvv22112(cotcsc )vvv 如圖, 在o-xy平面內(nèi)有一個(gè)圓, 在y軸上放一根細(xì)桿,從t=0開始, 細(xì)桿以速度v0朝x軸正方向勻速平動(dòng). 試求細(xì)桿與第一象限內(nèi)的圓弧的交點(diǎn)的向心加速度與時(shí)間t的關(guān)系.xyOv0解一 設(shè)在t 時(shí)刻交點(diǎn)在P點(diǎn)，經(jīng)過小量時(shí)間t，交點(diǎn)由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P1點(diǎn).P0而121323PPPPP P那么1PPR當(dāng)很小時(shí)，有122 (cos )2PPR由、消去 ：121,cosPPPP將22 20cosRv tR代入即得022 20Pv RvRv t所以22022 20.PPv RvaRRv t

14、心（其中 ）0Rv t由速度定義出發(fā)解答.2 cos()sin22Rsin()sinRR所以1121cosPPPPtt，00.cosPvtv 當(dāng)時(shí)便有PP1P2P3（1小量分析例6 解二由相對(duì)運(yùn)動(dòng)出發(fā)解.vPv.v設(shè) 為交點(diǎn)相對(duì)于細(xì)桿的速度那么0Pvvv0vv因?yàn)椋?.Pvvv所以便是以 、 為邊的矩形的對(duì)角線所以便有0cosPvv進(jìn)一步便可得到交點(diǎn) P 的向心加速度.xyOv0PP0P3v02022 20.Pv RaRv t心（2微分求解xyOPP0P3v0如下圖，由幾何關(guān)系得3sinPPR兩邊求導(dǎo)得3()( sin )d PPdRdtdt0cosvR 而,PvR由上式即得0.cosPvvP

15、v進(jìn)一步可得向心加速度.2022 20.Pv RaRv t心（3平面兩光滑曲線交點(diǎn)速度的最簡求法2v1v1l2l21v22v12v11v如圖，L1、L2的交點(diǎn)P相對(duì)地面的速度為 .Pv121212 vvPLLPP、 分別為交點(diǎn) 在 參照系、參照系中的“座位”點(diǎn)、 相對(duì)地面的速度.分別作L1、L2的切線l1、l2.交點(diǎn)P在L1參照系中以速度 沿l1運(yùn)動(dòng)，1v則據(jù)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)的關(guān)系有11Pvvv在地面參照系中沿l1、l2方向分解 1:v11112vvv在地面參照系中沿l1、l2方向分解 2:v22122vvv由圖可知1221Pvvv請(qǐng)說出該式的物理涵義？交點(diǎn)P在L2參照系中以速度

16、沿l2運(yùn)動(dòng)，2v22Pvvv則據(jù)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)的關(guān)系有Pv2v1v1L2LP重解例5：l1l2Pv1v2121cscvv212cscvv由余弦定理求合：22122112 212cos()Pvvvv vv112vv221vPv22121 22coscsc .vvvv重解例6：xyOv0PP0v0v01001cosvv，所以01Pvv進(jìn)一步便可得到交點(diǎn) P 的向心加速度. 題后總結(jié)該方法僅局限于光滑平面運(yùn)動(dòng)曲線的交點(diǎn)！此方法并不限于兩曲線作平動(dòng)的情況.100.v0=.cosv 參考資料： 李衛(wèi)平.平面內(nèi)兩運(yùn)動(dòng)光滑曲線交點(diǎn)速度計(jì)算之“速度分解-合成法的證明及應(yīng)用舉例.物理教師2019年

17、第4期）.四、質(zhì)點(diǎn)彈性斜碰的運(yùn)動(dòng)軌跡類比于光的鏡面反射NijijN 例7 如圖，光滑水平面上兩塊剛性擋板OM、ON成15夾角交于O點(diǎn)，小球在OM的內(nèi)側(cè)與O相距l(xiāng)=20cm的P點(diǎn)處，以與MO成30角方向的初速朝ON板運(yùn)動(dòng)，初速度大小為v0=10cm/s. 試問小球能否回到P處？若能，則須經(jīng)多少時(shí)間回到P處？解小球作的是勻速折線運(yùn)動(dòng).MNPOl300150 將光線經(jīng)鏡面反射后的行進(jìn)對(duì)應(yīng)處理為光線沿原入射方向的行進(jìn). 因此光線在兩平面鏡之間的不斷反射可對(duì)應(yīng)為光線沿PP直線傳播. 可將小球的運(yùn)動(dòng)類比為光線在平面鏡M、N之間的反射.由于4 1560POP ，因此光線能夠沿原路返回到P點(diǎn).090 .PP

18、O所以PPMNPOlP300150P 所以小球從P點(diǎn)出發(fā)到又回到P點(diǎn)，總的路程即為PP=2PP.所經(jīng)歷的時(shí)間為02PPtv002 cos30lv2 3( ) s本題還有另一種常規(guī)解法：1、看小球多次彈碰后是否會(huì)與桿正碰2、確定在什么位置正碰3、算出所有折線段的總長4、計(jì)算時(shí)間但這種解法需解三角形！試一試，看能否用此法解答.題后總結(jié)與思考這種解法的實(shí)質(zhì)就是將折線運(yùn)動(dòng)等效變?yōu)橹本€運(yùn)動(dòng)從而使問題得以簡化. 例7 如圖，OABC是一桌球臺(tái)面. 取OA為 x 軸，OC為y 軸，P是紅球，坐標(biāo)為(x, y), Q是白球，坐標(biāo)為x, y ), (圖中未畫出Q球在臺(tái)面上的位置）. 已知OA=BC=25分米，A

19、B=OC=12分米. ABCOPQxy(x, y) 解NM （1若P球的坐標(biāo)為：x=10分米，y=8分米. 問Q球的位置在什么范圍內(nèi)時(shí)，可使擊出的Q球順次與AB、BC、CO和OA四壁碰撞反彈，最后擊中P球？ （2P球有沒有一些位置是Q球無論從什么位置動(dòng)身，按上述次序從四壁反彈后都無法擊中的？如沒有，加以證明；如有，找出這些位置的范圍.（白球Q同四壁的碰撞均為彈性碰撞，兩球體積很小，可看作質(zhì)點(diǎn).）如右圖，你能不能讓白球與桌璧N M 彈性相碰后擊中紅球?ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)給球桌各頂點(diǎn)及紅球的位置標(biāo)注上坐標(biāo)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-

20、8)P3(-10,32)P4(60,32)（1）1、如果白球?qū)χR像點(diǎn)P1擊在OA上就能擊中P；如果白球?qū)χR像點(diǎn)P2擊在CO上就能射向P1;如果白球?qū)χR像點(diǎn)P3擊在OC上就能射向P2；如果白球?qū)χR像點(diǎn)P4擊在BA上就能射向P3.ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)F 2、為了保證白球能對(duì)著P4點(diǎn)且擊在BA上，白球應(yīng)該放在什么區(qū)域？ 3、白球放在該區(qū)域是否能保證經(jīng)BA反彈后能擊在BC上？ 4、白球是否擊在BC上任何地方都能反彈后又擊在CO上？比如放在圖中所示的點(diǎn)處？ABCO

21、PQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E 5、白球應(yīng)該對(duì)著P3擊在BC上的什么地方才能保證經(jīng)BC反彈后能擊在CO上？作直線P2OP交CB于E點(diǎn)，E點(diǎn)坐標(biāo)為(15,12).(15,12)F白球放在這里行嗎？ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E (15,12)D (25,4) 6、白球應(yīng)該對(duì)著P4擊在BA上的什么地方才能保證經(jīng)BA反彈后能擊在EC上？作直線P3E交BA于D點(diǎn)

22、， D點(diǎn)坐標(biāo)為(25,4).ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E(15,12)QD(25,4)(20,0) 7、白球應(yīng)該放在什么區(qū)域才能保證對(duì)著P4擊在DA上？H作直線P4D，交AO于H， H點(diǎn)的坐標(biāo)(20,0).ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E(15,12)DH(25,4)(20,0)最終結(jié)論：白球應(yīng)放在三角形DAH以內(nèi)的區(qū)域. （但不能放在HD、DA邊上） （2P球有沒有一些位置是Q球無論從什么位置出發(fā)，按上述次序從四壁反彈后都無法擊中的？如沒有，加以證明；如有，找出這些位置的范圍. ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E (15,12)QDH(25,4)(20,0) 問題可轉(zhuǎn)換為：P 球有沒有一些位置，使1問的解答中求得的三角形DAH不存在或者說面積縮小為零）？ABCO