多元函數(shù)微積分學(xué)ppt課件

1、第八章第八章 多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)8.1 8.1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)8.2 8.2 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念8.3 8.3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分8.5 8.5 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值8.6 8.6 二重積分二重積分8.4 8.4 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法 區(qū)域區(qū)域（1鄰域鄰域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域（2 2區(qū)域區(qū)域8.1 8.1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)平面方程平面方程AxByCzD0一般式：截距式：xyz1abc球面方程球面方程標(biāo)準(zhǔn)式：

2、一般式：2222000(xx )(yy )(zz )R222xyzAxByCzD0練練 習(xí)習(xí) 一一例例1 1：已知平面與：已知平面與 軸、軸、 軸、軸、 軸的截距依次軸的截距依次為為3，4，5，則平面方程為，則平面方程為。xyz例例2: 2: 球心為球心為3 3，4 4，5 5半徑為半徑為6 6的球面方的球面方程為程為。8.2 多元函數(shù)的概念一、 多元函數(shù)的定義二、 二元函數(shù)的極限 三、二元函數(shù)的連續(xù)性一、多元函數(shù)的定義一、多元函數(shù)的定義定義定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù).類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)1.求下列函數(shù)的定義域練練 習(xí)

3、習(xí) 二二xyyxyxf2),(22 )3, 2(f, 那么那么2. 設(shè)設(shè)_.二、二元函數(shù)的極限說(shuō)明：說(shuō)明：（1定義中定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似定義定義 . 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)( )f P定義在定義在 D 上上,00lim()()PPf Pf P 0( )f PP在在點(diǎn)點(diǎn)如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù)上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在則稱此函數(shù)在 D 上上000(,),P xyD 如果存在如果存在否則稱為

4、不連續(xù)否則稱為不連續(xù),0P此時(shí)此時(shí)稱為間斷點(diǎn)稱為間斷點(diǎn) .則稱則稱 二元函數(shù)二元函數(shù)連續(xù)連續(xù).連續(xù)連續(xù), 三、二元函數(shù)的連續(xù)性 8.3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、 偏導(dǎo)數(shù)二、 全微分一、偏導(dǎo)數(shù)重點(diǎn)）一、偏導(dǎo)數(shù)重點(diǎn)）1、00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 223zxxyy(1,2)例例1 求求 在點(diǎn)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù). yzx )1, 0( xx例例2 2 求函數(shù)求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解解 xz,1 yyx yzln .yxx2 2、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)),(

5、22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx13323 xyxyyxz22,zx 2,zy x 2,zx y 22yz 例例3 3設(shè)設(shè)求求例4. 求函數(shù)2xyze 解解 :zx

6、22zx zy 2 zx y 2xye 22xye 2xye 22xye 的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù). 2 zy x 22xye 22zy 24xye 二、全微分概念二、全微分概念例5. 計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) (2,1) 處的全微分處的全微分. x yze 解解:zx 22,2(2,1)(2,1)zzeexy22(2,1)2dze d xe d y 例例6. 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)的全微分的全微分. sin2yzyuxezy ,x yyex yxe2(2)ed xd y解解: du 1(cos )d22yzyzey 1 dx dyzyez 練練 習(xí)習(xí) 三三,xyze ,zy ,zx xyz 222,zx

7、求求1 1、設(shè)、設(shè)3ln()zxy 11( , ).dz2 2、知、知,zy ,zx 求求arctan,yzx 2,.zzxx y 3 3、求求設(shè)設(shè)22,zy 考慮：多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可考慮：多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可 微三者之間的關(guān)系？微三者之間的關(guān)系？多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo) 8.4 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法一、 鏈鎖法則 二、 隱函數(shù)求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則鏈?zhǔn)椒▌t）（重點(diǎn)）一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則鏈?zhǔn)椒▌t）（重點(diǎn)）以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為全導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).dtdzzvutt

8、解解dzz duz dvdtu dtvdt sintveutcossinttetet (cossin ).tettzvuttzuvyxyx解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例9. 設(shè) sin ,zuvt .dzdtztvuttdzdttv e (cossin )costettt z duu dt z dvvdt zt 求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù),tue cos ,vt 解解:sinut cost 練練 習(xí)習(xí) 四四練習(xí)四答案練習(xí)四答案0),()1( yxF隱函數(shù)的

9、求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式二、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則重點(diǎn)）二、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則重點(diǎn)）解解令令那那么么,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),()2( zyxF解解令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx .2yzFzyyFz 22arctanyxyx dydx1、設(shè)、設(shè), 求求練練 習(xí)習(xí) 四四,.zzxy2、求由方程、求由方程 0zexyz確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 8.5 多元函數(shù)的極值與最值 一、 多元函數(shù)的極值與最值 二、無(wú)條件極

10、值 （重點(diǎn)） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；1、二元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). .一、多元函數(shù)的極值與最值一、多元

11、函數(shù)的極值與最值(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無(wú)極值處無(wú)極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件例例如如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是是函函數(shù)數(shù)xyz 的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：注意：又又

12、0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，練 習(xí) 五1、33( , )3f x yxyxy 求求的的極極值值。3、最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù)函數(shù) f 在閉域上連續(xù)在閉域上連續(xù)函數(shù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí)時(shí), )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )根據(jù)根據(jù) 二、條件極值極值問(wèn)題極值問(wèn)題無(wú)條件極值無(wú)條件極值:條條 件件 極極 值值 :對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制還有其它條件限制練 習(xí) 六例1、設(shè)某廠生產(chǎn)兩產(chǎn)品，產(chǎn)量為 總利潤(rùn)為