梁的彎曲應(yīng)力

1、第8章 梁的彎曲應(yīng)力梁在荷載作用下，橫截面上一般都有彎矩和剪力，相應(yīng)地在梁的橫截面上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。彎矩是垂直于橫截面的分布內(nèi)力的合力偶矩；而剪力是切于橫截面的分布內(nèi)力的合力。所以，彎矩只與橫截面上的正應(yīng)力相關(guān)，而剪力只與剪應(yīng)力相關(guān)。本章研究正應(yīng)力和剪應(yīng)力的分布規(guī)律，從而對(duì)平面彎曲梁的強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算。并簡(jiǎn)要介紹一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論。8.1 梁的彎曲正應(yīng)力平面彎曲情況下，一般梁橫截面上既有彎矩又有剪力，如圖8.1所示梁的AC、DB段。而在CD段內(nèi)，梁橫截面上剪力等于零，而只有彎矩，這種情況稱為純彎曲。下面推導(dǎo)梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力公式。應(yīng)綜合考慮變形幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力學(xué)關(guān)系等三個(gè)方

2、面。8.1.1 彎曲正應(yīng)力一般公式1、變形幾何關(guān)系為研究梁彎曲時(shí)的變形規(guī)律，可通過(guò)試驗(yàn)，觀察彎曲變形的現(xiàn)象。取一具有對(duì)稱截面的矩形截面梁，在其中段的側(cè)面上，畫兩條垂直于梁軸線的橫線mm和nn，再在兩橫線間靠近上、下邊緣處畫兩條縱線ab和cd，如圖8.2(a)所示。然后按圖8.1(a)所示施加荷載，使梁的中段處于純彎曲狀態(tài)。從試驗(yàn)中可以觀察到圖8 .2(b)情況：（1）梁表面的橫線仍為直線，仍與縱線正交，只是橫線間作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。（2）縱線變?yōu)榍€，而且靠近梁頂面的縱線縮短，靠近梁底面的縱線伸長(zhǎng)。（3）在縱線伸長(zhǎng)區(qū)，梁的寬度減小，而在縱線縮短區(qū)，梁的寬度則增加，情況與軸向拉、壓時(shí)的變形相似。根據(jù)上述

3、現(xiàn)象，對(duì)梁內(nèi)變形與受力作如下假設(shè)：變形后，橫截面仍保持平面，且仍與縱線正交；同時(shí)，梁內(nèi)各縱向纖維僅承受軸向拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。前者稱為彎曲平面假設(shè)；后者稱為單向受力假設(shè)。根據(jù)平面假設(shè)，橫截面上各點(diǎn)處均無(wú)剪切變形，因此，純彎時(shí)梁的橫截面上不存在剪應(yīng)力。根據(jù)平面假設(shè)，梁彎曲時(shí)部分纖維伸長(zhǎng)，部分纖維縮短，由伸長(zhǎng)區(qū)到縮短區(qū)，其間必存在一長(zhǎng)度不變的過(guò)渡層，稱為中性層，如圖8.2(c)所示。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。對(duì)于具有對(duì)稱截面的梁，在平面彎曲的情況下，由于荷載及梁的變形都對(duì)稱于縱向?qū)ΨQ面，因而中性軸必與截面的對(duì)稱軸垂直。綜上所述，純彎曲時(shí)梁的所有橫截面保持平面，仍與變彎后的梁軸正交，并繞中性軸作相

4、對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，而所有縱向纖維則均處于單向受力狀態(tài)。從梁中截取一微段dx，取梁橫截面的對(duì)稱軸為y軸，且向下為正，如圖8.3 (b)所示，以中性軸為y軸，但中性軸的確切位置尚待確定。根據(jù)平面假設(shè)，變形前相距為dx的兩個(gè)橫截面，變形后各自繞中性軸相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度d，并仍保持為平面。中性層的曲率半徑為，因中性層在梁彎曲后的長(zhǎng)度不變，所以又坐標(biāo)為y的縱向纖維ab變形前的長(zhǎng)度為變形后為故其縱向線應(yīng)變?yōu)?（a）可見(jiàn)，縱向纖維的線應(yīng)變與纖維的坐標(biāo)y成正比。2、物理關(guān)系因?yàn)榭v向纖維之間無(wú)正應(yīng)力，每一纖維都處于單向受力狀態(tài)，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，由胡克定律知將(a)式代入上式，得 (b)這就是橫截面上正應(yīng)力變化規(guī)律的

5、表達(dá)式。由此可知，橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而在距中性軸為y的同一橫線上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均相等，這一變化規(guī)律可由圖8.4來(lái)表示。3、靜力學(xué)關(guān)系以上已得到正應(yīng)力的分布規(guī)律，但由于中性軸的位置與中性層曲率半徑的大小均尚未確定，所以仍不能確定正應(yīng)力的大小。這些問(wèn)題需再?gòu)撵o力學(xué)關(guān)系來(lái)解決。如圖8.5所示，橫截面上各點(diǎn)處的法向微內(nèi)力dA組成一空間平行力系，而且由于橫截面上沒(méi)有軸力，僅存在位于x-y平面的彎矩M，因此， (c) (d) (e) 以式(b)代入式(c)，得 (f)上式中的積分代表截面對(duì)z軸的靜矩Sz。靜距等于零意味著z軸必須通過(guò)截面的形心。以式(b)代入式(d)，得

6、(g)式中，積分是橫截面對(duì)y和z軸的慣性積。由于y軸是截面的對(duì)稱軸，必然有Iyz=0,所示上式是自然滿足的。以式(b)代入式(e)，得 （h）式中積分 （i）是橫截面對(duì)z軸（中性軸）的慣性矩。于是，(h)式可以寫成 （8.1）此式表明，在指定的橫截面處，中性層的曲率與該截面上的彎矩M成正比，與EIz成反比。在同樣的彎矩作用下，EIZ愈大，則曲率愈小，即梁愈不易變形，故EIz稱為梁的抗彎剛度。再將式(8.1)代入式(b),于是得橫截面上y處的正應(yīng)力為 （8.2）此式即為純彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式。式中M 為橫截面上的彎矩；Iz 為截面對(duì)中性軸的慣性矩；y 為所求應(yīng)力點(diǎn)至中性軸的距離。當(dāng)彎矩為正時(shí)，梁

7、下部纖維伸長(zhǎng)，故產(chǎn)生拉應(yīng)力，上部纖維縮短而產(chǎn)生壓應(yīng)力；彎矩為負(fù)時(shí)，則與上相反。在利用（8.2）式計(jì)算正應(yīng)力時(shí)，可以不考慮式中彎矩M和y 的正負(fù)號(hào)，均以絕對(duì)值代入，正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力可以由梁的變形來(lái)判斷。應(yīng)該指出，以上公式雖然是純彎曲的情況下，以矩形梁為例建立的，但對(duì)于具有縱向?qū)ΨQ面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圓形截面梁等仍然可以使用。同時(shí)，在實(shí)際工程中大多數(shù)受橫向力作用的梁，橫截面上都存在剪力和彎矩，但對(duì)一般細(xì)長(zhǎng)梁來(lái)說(shuō)，剪力的存在對(duì)正應(yīng)力分布規(guī)律的影響很小。因此，（8.2）式也適用于非純彎曲情況。8.1.2 最大彎曲正應(yīng)力由式(8.2)可知，在y=ymax即橫截在由離中性軸最

8、遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，彎曲正應(yīng)力最大，其值為式中，比值Iz/ymax僅與截面的形狀與尺寸有關(guān)，稱為抗彎截面系數(shù)，也叫抗彎截面模量。用Wz表示。即為 （8.3）于是，最大彎曲正應(yīng)力即為 （8.4）可見(jiàn)，最大彎曲正應(yīng)力與彎矩成正比，與抗彎截面系數(shù)成反比。抗彎截面系數(shù)綜合反映了橫截面的形狀與尺寸對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響。圖8.6中矩形截面與圓形截面的抗彎截面系數(shù)分別為 (8.5) (8.6)而空心圓截面的抗彎截面系數(shù)則為 (8.7)式中=d/D，代表內(nèi)、外徑的比值。至于各種型鋼截面的抗彎截面系數(shù)，可從型鋼規(guī)格表中查得（見(jiàn)附錄）。例8.1 圖8.7所示懸臂梁，自由端承受集中荷載F作用，已知：h=18cm，b=12cm

9、，y=6cm，a=2m，F(xiàn)=1.5KN。計(jì)算A截面上K 點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力。解 先計(jì)算截面上的彎矩截面對(duì)中性軸的慣性矩則A 截面上的彎矩為負(fù)，K 點(diǎn)是在中性軸的上邊，所以為拉應(yīng)力。8.2 平面圖形的幾何性質(zhì)構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生的應(yīng)力和變形，都與構(gòu)件的截面的形狀和尺寸有關(guān)。反映截面形狀和尺寸的某些性質(zhì)的一些量，如拉伸時(shí)遇到的截面面積、扭轉(zhuǎn)時(shí)遇到的極慣性矩和這一章前面遇到的慣性矩、抗彎截面系數(shù)等，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)。為了計(jì)算彎曲應(yīng)力和變形，需要知道截面的一些幾何性質(zhì)?，F(xiàn)在來(lái)討論截面的一些主要的幾何性質(zhì)。8.2.1形心和靜矩若截面形心得坐標(biāo)為yC和zC（C 為截面形心），將面積得每一部分看成平行力系，

10、即看成等厚、均質(zhì)薄板的重力，根據(jù)合力矩定理可得形心坐標(biāo)公式 （a）靜矩又稱面積矩。其定義如下，在圖8.8中任意截面內(nèi)取一點(diǎn)M（z,y）,圍繞M點(diǎn)取一微面積dA，微面積對(duì)z軸的靜矩為ydA，對(duì)y軸的靜矩為zdA，則整個(gè)截面對(duì)z和y軸的靜矩分別為： (b)有形心坐標(biāo)公式知： (c)上式中yC和zC是截面形心C的坐標(biāo)，A是截面面積。當(dāng)截面形心的位置已知時(shí)可以用上式來(lái)計(jì)算截面的靜矩。從上面可知，同一截面對(duì)不同軸的靜矩不同，靜矩可以是正負(fù)或是零；靜矩的單位是長(zhǎng)度的立方，用m3 或cm3 、mm3等表示；當(dāng)坐標(biāo)軸過(guò)形心時(shí)，截面對(duì)該軸的靜矩為零。當(dāng)截面由幾個(gè)規(guī)則圖形組合而成時(shí)，截面對(duì)某軸的靜矩，應(yīng)等于各個(gè)圖

11、形對(duì)該軸靜矩的代數(shù)和。其表達(dá)式為 (d) (e)而截面形心坐標(biāo)公式也可以寫成 (f) (g)8.2.2慣性矩、慣性積和平行移軸定理在圖8.8中任意截面上選取一微面積dA，則微面積dA對(duì)z軸和y軸的慣性矩為z2dA和Y2dA。則整個(gè)面積對(duì)z軸和y軸的慣性矩分別記為Iz和Iy，而慣性積記為Izy，則定義： (h) (i)極慣性矩定義為： (j)從上面可以看出，慣性矩總是大于零，因?yàn)樽鴺?biāo)的平方總是正數(shù)，慣性積可以是正、負(fù)和零；慣性矩、慣性積和極慣性矩的單位都是長(zhǎng)度的四次方，用m4 或cm4 、mm4等表示。同一截面對(duì)不同的平行的軸，它們的慣性矩和慣性積是不同的。同一截面對(duì)二根平行軸的慣性矩和慣性積雖

12、然不同，但它們之間存在一定的關(guān)系。下面討論二根平行軸的慣性矩、慣性積之間的關(guān)系。圖8.9所示任意截面對(duì)任意軸對(duì)z´軸和y´軸的慣性矩、慣性積分別為Iz´、Iy´ 和Izy 。過(guò)形心C有平行于z´、y´的兩個(gè)坐標(biāo)軸z和y，截面對(duì)z、y軸的慣性矩和慣性積為Iz、Iy 和Izy。對(duì)oz´y´坐標(biāo)系形心坐標(biāo)為C（a,b）。截面上選取微面積dA，dA的形心坐標(biāo)為則按照慣性矩的定義有上式中第一項(xiàng)為截面對(duì)過(guò)形心坐標(biāo)軸y軸的慣性矩；第三項(xiàng)為面積的a2倍；而第二項(xiàng)為截面過(guò)形心坐標(biāo)軸y軸靜矩乘以2a 。根據(jù)靜矩的性質(zhì)，對(duì)過(guò)形心軸的靜矩

13、為零，所以第二項(xiàng)為零。這樣上式可以寫為 (k)同理可得： (l) (m)也就是說(shuō)，截面對(duì)于平行于形心軸的慣性矩，等于該截面對(duì)形心軸的慣性矩再加上其面積乘以兩軸間距離的平方；而截面對(duì)于平行于過(guò)形心軸的任意兩垂直軸的慣性積，等于該面積對(duì)過(guò)形心二軸的慣性積再加上面積乘以相互平行的二軸距之積。這就是慣性矩和慣性積的平行移軸定理。例8.2 計(jì)算圖8.10 所示T 形截面的形心和過(guò)它的形心z軸的慣性矩。解 （1）確定截面形心位置選參考坐標(biāo)系oz´y´，如圖8.10所示。將截面分解為上面和下面兩個(gè)矩形部分，截面形心C的縱坐標(biāo)為（2）計(jì)算截面慣性矩上面矩形與下面矩形對(duì)形心軸z的慣性矩分別為

14、8.3 梁的彎曲剪應(yīng)力當(dāng)進(jìn)行平面彎曲梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，一般來(lái)說(shuō)，彎曲正應(yīng)力是支配梁強(qiáng)度計(jì)算的主要因素，但在某些情況上，例如，當(dāng)梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，這時(shí)梁的最大彎矩比較小，而剪力卻很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，這時(shí)剪應(yīng)力可達(dá)到相當(dāng)大的數(shù)值，剪應(yīng)力就不能忽略了。下面介紹幾種常見(jiàn)截面上彎曲剪應(yīng)力的分布規(guī)律和計(jì)算公式。8.3.1矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力圖8.11(a)所示矩形截面梁，在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)承受荷載作用。設(shè)橫截面的高度為h，寬度為b，為研究彎曲剪應(yīng)力的分布規(guī)律，現(xiàn)作如下假設(shè)：橫截面上各點(diǎn)處的剪應(yīng)力的方向都平行于剪力，并沿截面寬度均勻分布。有相距dx的橫截面從梁中切取一微

15、段，如圖8.12(a)。然后，在橫截面上縱坐標(biāo)為y處，再用一個(gè)縱向截面m-n，將該微段的下部切出，如圖8.12(b)。設(shè)橫截面上y處的剪應(yīng)力為，則由剪應(yīng)力互等定理可知，縱橫面m-n上的剪應(yīng)力在數(shù)值上也等于。因此，當(dāng)剪應(yīng)力確定后，也隨之確定。如圖8.12(a)所示，由于存在剪力FQ，截面1-1與2-2的彎矩將不相同，分別為M和M+dM ,因此，上述兩截面的彎曲正應(yīng)力也不相同。設(shè)微段下部橫截面m1與n2的面積為,在該兩截面上由彎曲正應(yīng)力所構(gòu)成的軸向合力分別為N1與N2，則由微段下部的軸向平衡方程x=0可知，由此得 (a)由圖8-12(c)可知 式中，積分代表截面對(duì)z軸的靜矩，并用Sz*表示，因此有

16、 (b) (c)將式(b)和式(c)代入式(a)，于是得 （8.8）式中：Iz代表整個(gè)橫截面對(duì)中性軸矩z的慣性距；而Sz*則代表y處橫線一側(cè)的部分截面對(duì)z軸的靜距。對(duì)于矩形截面，如圖8.13所示，其值為將上式及Iz=bh3/12代入式(8.8)得 （8.9）由此可見(jiàn)：矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布(圖8.13)；在截面的上、下邊緣()，剪應(yīng)力=0；在中性軸(y=0),剪應(yīng)力最大，其值為 （8.10）8.3.2 工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力工字形截面梁由腹板和翼緣組成。其橫截面如圖8.14所示。中間狹長(zhǎng)部分為腹板，上、下扁平部分為翼緣。梁橫截面上的剪應(yīng)力主要分布于腹板上，翼緣部分的剪應(yīng)

17、力情況比較復(fù)雜，數(shù)值很小，可以不予考慮。由于腹板比較狹長(zhǎng)，因此可以假設(shè)：腹板上各點(diǎn)處的彎曲剪應(yīng)力平行于腹板側(cè)邊，并沿腹板厚度均勻分布。腹板的剪應(yīng)力平行于腹板的豎邊，且沿寬度方向均勻分布。根據(jù)上述假設(shè)，并采用前述矩形截面梁的分析方法，得腹板上y處的彎曲剪應(yīng)力為：式中，Iz為整個(gè)工字形截面對(duì)中性軸z的慣性矩，Sz*為y處橫線一側(cè)的部分截面對(duì)該軸的靜矩，b為腹板的厚度。由圖8.14(a)可以看出，y處橫線以下的截面是由下翼緣部分與部分腹板的組成，該截面對(duì)中性軸z的靜矩為因此，腹板上y處的彎曲剪應(yīng)力為 （8.11）由此可見(jiàn)：腹板上的彎曲剪應(yīng)力沿腹板高度方向也是呈二次拋物線分布，如圖8.14(b)所示。

18、在中性軸處(y=0)，剪應(yīng)力最大，在腹板與翼緣的交接處(y=±h/2)，剪應(yīng)力最小，其值分別為或 （8.12） （8.13）從以上兩式可見(jiàn)，當(dāng)腹板的寬度b遠(yuǎn)小于翼緣的寬度B，max與min實(shí)際上相差不大，所以可以認(rèn)為在腹板直剪應(yīng)力大致是均勻分布的?？捎酶拱宓慕孛婷娣e除剪力FQ，近似地得表示腹板的剪應(yīng)力，即 （8.14）在工字形截面梁的腹板與翼緣的交接處，剪應(yīng)力分布比較復(fù)雜，而且存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，為了減小應(yīng)力集中，宜將結(jié)合處作成圓角。8.3.3 圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力對(duì)于圓截面梁，在矩形截面中對(duì)剪應(yīng)力方向所作的假設(shè)不再適用。由剪應(yīng)力互等定理可知，在截面邊緣上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方向必與圓周相切

19、，因此，在水平弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)上的剪應(yīng)力的作用線相交于y軸上的某點(diǎn)p，如圖8.15(a)。由于對(duì)稱，AB中點(diǎn)C的剪應(yīng)力必定是垂直的，因而也通過(guò)p點(diǎn)。由此可以假設(shè)，AB弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的作用線都通過(guò)p點(diǎn)。如再假設(shè)AB弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的垂直分量y是相等的，于是對(duì)y來(lái)說(shuō)，就與對(duì)矩形截面所作的假設(shè)完全相同，所以，可用公式來(lái)計(jì)算，即 （8.15）式中，b為AB弦的長(zhǎng)度，Sz*是圖8.15(b)中陰影部分的面積對(duì)z軸的靜矩。在中性軸上，剪應(yīng)力為最大值max。其值為 （8.16）式中，F(xiàn)Q/A是梁橫截面上平均剪應(yīng)力。 例8.3 梁截面如圖8.16(a)所示，橫截面上剪力FQ=15KN。試計(jì)算該截面的最大彎曲剪應(yīng)

20、力，以及腹板與翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力。截面的慣性矩Iz=8.84×106m4。解（1）最大彎曲剪應(yīng)力。最大彎曲剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上。中性軸一側(cè)的部分截面對(duì)中性軸的靜矩為所以，最大彎曲剪應(yīng)力為（2）腹板、翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力。由圖8.16(b)可知，腹板、翼緣交接線一側(cè)的部發(fā)截面對(duì)中性軸z的靜矩為所以，該交接處的彎曲剪應(yīng)力為8.4 梁的強(qiáng)度條件在一般情況下，梁內(nèi)同時(shí)存在彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力，為了保證梁的安全工作，梁最大應(yīng)力不能超出一定的限度，也即，梁必須要同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。以下將據(jù)此建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。8.4.1 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件最大彎曲正應(yīng)

21、力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，而該處的剪應(yīng)力一般為零或很小，因而最大彎曲正應(yīng)力作用點(diǎn)可看成是處于單向受力狀態(tài)，所以，彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 （8.16）即要求梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力max不超過(guò)材料在單向受力時(shí)的許用應(yīng)力。對(duì)于等截面直梁，上式變?yōu)?（8.17）利用上述強(qiáng)度條件，可以對(duì)梁進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度校核、截面選擇和確定容許荷載。8.4.2 彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件最大彎曲剪應(yīng)力通常發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處，而該處的彎曲正應(yīng)力為零，因此，最大彎曲剪應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)，相應(yīng)的強(qiáng)度條件為 （8.18）即要求梁內(nèi)的最大彎曲剪應(yīng)力max不超過(guò)材料在純剪切時(shí)的許用剪應(yīng)力。對(duì)于等截面直梁，上式變?yōu)?(8.19

22、)在一般細(xì)長(zhǎng)的非薄壁截面梁中，最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大彎曲剪應(yīng)力。因此，對(duì)于一般細(xì)長(zhǎng)的非薄壁截面梁，通常強(qiáng)度的計(jì)算由正應(yīng)力強(qiáng)度條件控制。因此，在選擇梁的截面時(shí)，一般都是按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇，選好截面后再按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。但是，對(duì)于薄壁截面梁與彎矩較小而剪力卻較大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷載作用在支座附近的梁等，則不僅應(yīng)考慮彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，而且彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件也可能起控制作用。例8.4 圖8.17(a)所示外伸梁，用鑄鐵制成，橫截面為T字形，并承受均布荷載q作用。試校該梁的強(qiáng)度。已知荷載集度q=25N/mm，截面形心離底邊與頂邊的距離分別為y1=95mm和y2=95mm，慣性矩

23、Iz=8.84×10-6m4，許用拉應(yīng)力t=35MPa，許用壓應(yīng)力c=140Mpa。解（1）危險(xiǎn)截面與危險(xiǎn)點(diǎn)判斷。梁的彎矩如圖8.17(b)所示，在橫截面D與B上，分別作用有最大正彎矩與最大負(fù)彎矩，因此，該二截面均為危險(xiǎn)截面。截面D與B的彎曲正應(yīng)力分布分別如圖8.17(c)與(d)所示。截面D的a點(diǎn)與截面B的d點(diǎn)處均受壓；而截面D的b點(diǎn)與截面B的c點(diǎn)處均受拉。由于|MD|>|MB|，|ya|>|yd|,|因此|a|>|d|即梁內(nèi)的最在彎曲壓應(yīng)力c,max發(fā)生在截面D的a點(diǎn)處。至于最大彎曲拉應(yīng)力t,max, 究竟發(fā)生在b點(diǎn)處，還是c點(diǎn)處，則須經(jīng)計(jì)算后才能確定。概言之，

24、a,b,c三點(diǎn)處為可能最先發(fā)生破壞的部位。簡(jiǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。（2）強(qiáng)度校核。由式(8.2 )得a,b,c三點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力分別為由此得可見(jiàn)，梁的彎曲強(qiáng)度符合要求。例8.5 懸臂工字鋼梁AB圖8.18(a)，長(zhǎng)l=1.2m，在自由端有一集中荷載F，工字鋼的型號(hào)為18號(hào)，已知鋼的許用應(yīng)力=170Mpa，略去梁的自重，(1)試計(jì)算集中荷載F的最大許可值。(2)若集中荷載為45 kN，拭確定工字鋼的型號(hào)。解（1）梁的彎矩圖如圖818(c)所示，最大彎矩在靠近固定端處，其絕對(duì)值為Mmax=Fl=1.2F N·m由附錄中查得，18號(hào)工字鋼的抗彎截面模量為Wz=185×103mm3由公式(8

25、.16)得1.2F(185×10-6)(170×106)因此，可知F的最大許可值為103N=26.2kN(2)最大彎矩值Mmax=Fl=1.2×45×103N·m=54×103N·m按強(qiáng)度條件計(jì)算所需抗彎截面系數(shù)為查附錄可知，22b號(hào)工字鋼的抗彎截面模量為325cm3 ，所以可選用22b號(hào)工字鋼。例8.6 例8.5中的18號(hào)工字鋼懸臂梁，按正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算，在自由端可承受的集中荷載F=26.2KN。已知鋼材的抗剪許用應(yīng)力=100Mpa。試按剪應(yīng)力校核梁的強(qiáng)度，繪出沿著工字鋼腹板高度的剪應(yīng)力分布圖，并計(jì)算腹板所擔(dān)負(fù)的剪力FQ1

26、。解（1）按剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核。截面上的剪力FQ =26.2kN。由附錄查得18號(hào)工字鋼截面的幾個(gè)主要尺寸如圖8.19(a)所示，又由表查得Iz=1660×104mm4,由公式(517),得腹板上的最大剪應(yīng)力可見(jiàn)工字鋼的剪應(yīng)力強(qiáng)度是足夠的。（2）沿腹板高度剪應(yīng)力的計(jì)算。將工字鋼截面簡(jiǎn)化如圖8.19(b)所示，圖中h1=1802×10.7=158.6(mm)b1=d=6.5mm由公式(8.14)得腹板上最大剪應(yīng)力的近似值為這個(gè)近似值與上面所得26.2Mpa比較，略偏小，誤差為3.9%。腹板上的最小剪應(yīng)力在腹板與翼緣的連接處，翼緣面積對(duì)中性軸的靜矩為由公式(8.8)得腹板上的最小

27、剪應(yīng)力為得出了max和min值可作出沿著腹板高度的剪應(yīng)力分布圖如圖8.19(c)所示。（3）腹板所擔(dān)負(fù)剪力的計(jì)算。腹板所擔(dān)負(fù)的剪力FQ1等于圖8.19(c)所示剪力分布圖的面積A1乘以腹板厚度b1。剪力分布圖面積可以用圖8.19(c)中虛線將面積分為矩形和拋物線弓形兩部分，得由此得可見(jiàn)，腹板所擔(dān)歲的剪力占整個(gè)截面剪力FQ的96.6%。8.5 提高梁強(qiáng)度的措施前面已指出，在橫力彎曲中，控制梁強(qiáng)度的主要因素是梁的最大正應(yīng)力，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件 為設(shè)計(jì)梁的主要依據(jù)，由這個(gè)條件可看出，對(duì)于一定長(zhǎng)度的梁，在承受一定荷載的情況下，應(yīng)設(shè)法適當(dāng)?shù)匕才帕核艿牧?，使梁最大的彎矩絕對(duì)值降低，同時(shí)選用合理的截面形狀

28、和尺寸，使抗彎截面模量W值增大，以達(dá)到設(shè)計(jì)出的梁滿足節(jié)約材料和安全適用的要求。關(guān)于提高梁的抗彎強(qiáng)度問(wèn)題，分別作以下幾方面討論。8.5.1 合理安排梁的受力情況在工程實(shí)際容許的情況下，提高梁強(qiáng)度的一重要措施是合理安排梁的支座和加荷方式。例如，圖8.20(a)所示簡(jiǎn)以梁，承受均布載荷q作用，如果將梁兩端的鉸支座各向內(nèi)移動(dòng)少許，例如移動(dòng)0.2l，如圖8.20(b)，則后者的最大彎矩僅為前者的1/5。又如，圖8.21(a)所示簡(jiǎn)支梁AB，在跨度中點(diǎn)承受集中荷載P作用，如果在梁的中部設(shè)置一長(zhǎng)為1/2的輔助梁CD 如圖8.21(b)，這時(shí)，梁AB內(nèi)的最大彎矩將減小一半。上述實(shí)例說(shuō)明，合理安排支座和加載方式

29、，將顯著減小梁內(nèi)的最大彎矩。8.5.2選用合理的截面形狀從彎曲強(qiáng)度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較小的截面面積，卻能獲得較大抗彎截面系數(shù)的截面。截面形狀和放置位置不同Wz/A比值不同，因此，可用比值Wz/A來(lái)衡量截面的合理性和經(jīng)濟(jì)性，比值愈大，所采用的截面就愈經(jīng)濟(jì)合理?，F(xiàn)將跨中受集中力作用的簡(jiǎn)支梁為例，其截面形狀分別為圓形、矩形和工字形三種情況作一粗略比較。設(shè)三種梁的面積、跨度和材料都相同，容許正應(yīng)力為170MPa。其抗彎截面系數(shù)Wz和最大承載力比較見(jiàn)表8.1。表8.1 幾種常見(jiàn)截面形狀的Wz和最大承載力比較截面形狀尺寸Wz最大承載力圓形.矩形.工字鋼.×從表中可以看出，矩形截面比

30、圓形截面好，工字形截面比矩形截面好得多。從正應(yīng)力分布規(guī)律分析，正應(yīng)力沿截面高度線性分布，當(dāng)離中性軸最遠(yuǎn)各點(diǎn)處的正應(yīng)力，達(dá)到許用應(yīng)力值時(shí)，中性軸附近各點(diǎn)處的正應(yīng)力仍很小。因此，在離中性軸較遠(yuǎn)的位置，配置較多的材料，將提高材料的應(yīng)用率。根據(jù)上述原則，對(duì)于抗拉與抗壓強(qiáng)度相同的塑性材料梁，宜采用對(duì)中性軸對(duì)稱的截面，如工字形截面等。而對(duì)于抗拉強(qiáng)度低于抗壓強(qiáng)度的脆性材料梁，則最好采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面，便如T字形和槽形截面等。8.5.3 采用變截面梁一般情況下，梁內(nèi)不同橫截面的彎矩不同。因此，在按最大彎矩所設(shè)計(jì)的等截面梁中，除最大彎矩所在截面外，其余截面的材料強(qiáng)度均未得到充分利用。因此，在工程實(shí)際中

31、，常根據(jù)彎矩沿梁軸線的變化情況，將梁也相應(yīng)設(shè)計(jì)成變截面的。橫截面沿梁軸線變化的梁，稱為變截面梁。如圖.22（）(b)所示上下加焊蓋板的板梁和懸挑梁，就是根據(jù)各截面上彎矩的不同而采用的變截面梁。如果將變截面梁設(shè)計(jì)為使每個(gè)橫截面上最大正應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力值，這種梁稱為等強(qiáng)度梁。顯然，這種梁的材料消耗最少、重量最輕，是最合理的。但實(shí)際上，由于自加工制造等因素，一般只能近似地做到等強(qiáng)度的要求。圖.22（）（d）所示的車輛上常用的疊板彈簧、魚(yú)腹梁就是很接近等強(qiáng)度要求的形式。8.6 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論8.6.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念以前有關(guān)各章中求的應(yīng)力，是選過(guò)所求應(yīng)力點(diǎn)的橫截面上的應(yīng)力，這樣求得的應(yīng)力實(shí)

32、際上是橫截面上的應(yīng)力。但過(guò)一點(diǎn)可以選取無(wú)數(shù)個(gè)斜截面。顯然斜截面上也有應(yīng)力，包括正應(yīng)力和剪應(yīng)力，其大小和方向一般與橫截面上的應(yīng)力不同，有時(shí)可能首先達(dá)到危險(xiǎn)值，使材料發(fā)生破壞。實(shí)踐也給于了證明。如混凝土梁的彎曲破壞，除了在跨中底部發(fā)生豎向裂縫外，在其它底部部位還會(huì)發(fā)生斜向裂縫。又如鑄鐵受壓破壞，裂縫是沿著與桿軸成45º角的地方向。為了對(duì)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，必須了解構(gòu)件受力后在通過(guò)它的哪一個(gè)截面和哪一點(diǎn)的上的應(yīng)力最大。因此必須研究通過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)的各個(gè)不同截面上的應(yīng)力情況，即必須研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。為了研究某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，可圍繞該點(diǎn)取出一微小的正六面體單元體來(lái)研究。因單元體的邊長(zhǎng)是無(wú)窮小的

33、量，可以認(rèn)為：作用在單元體的各個(gè)方面上的應(yīng)力都是均勻分布的；在任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力是相等的、且代表著通過(guò)所研究的點(diǎn)并與上述平面平行的面上的應(yīng)力。因此單元體三對(duì)平面上的應(yīng)力就代表通過(guò)所研究的點(diǎn)的三個(gè)互相垂直截面上的應(yīng)力，只要知道了這三個(gè)面上的應(yīng)力，則其他任意截面上的應(yīng)力都可通過(guò)截面法求出，這樣，該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)就可以完全確定。因此，可用單元體的三個(gè)互相垂直平面上的應(yīng)力來(lái)表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。圖8.23表示一軸向拉伸桿，若在任意A兩點(diǎn)處各取出一單元體，如選的單元體的一個(gè)相對(duì)面為橫截面，則在它們的三對(duì)平行平面上作用的應(yīng)力都可由前面的公式算出，故可以說(shuō)A點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是完全確定的。其它點(diǎn)也是一樣。又如圖

34、8.24表示一受橫力彎曲的梁，若在A、B、C、D等點(diǎn)各取出一單元體，如單元體的一個(gè)相對(duì)面為橫截面，則在它們的三對(duì)平行平面上的應(yīng)力也可有前面的公式算出，故這些點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)也是完全確定的。根據(jù)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)中各應(yīng)力在空間的不同位置，可以將應(yīng)力狀態(tài)分為空間應(yīng)力狀態(tài)和平面應(yīng)力狀態(tài)。全部應(yīng)力位于同一平面內(nèi)時(shí)，稱為平面應(yīng)力狀態(tài)；全部應(yīng)力不在同一平面內(nèi)，在空間分布，稱為空間應(yīng)力狀態(tài)。過(guò)某點(diǎn)選取的單元體，其各面上一般都有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。根據(jù)彈性力學(xué)中的研究，通過(guò)受力構(gòu)件的每一點(diǎn)，都可以取出一個(gè)這樣的單元體，在三對(duì)相互垂直的相對(duì)面上剪應(yīng)力等于零，而只有正應(yīng)力。這樣的單元體稱為主單元體，這樣的單元體面稱為主平面。

35、主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。 我們通常用字母1、2和3代表分別作用在這三對(duì)主平面上的主應(yīng)力，其中1代表數(shù)值最大的主應(yīng)力，3代表數(shù)值最小的主應(yīng)力，容易知道，在圖8.23中的點(diǎn)A及圖8.24中的A、C兩點(diǎn)處所取的單元體的各平行平面上的剪應(yīng)力都等于零，這樣的單元體稱為主單元體，主平面上的正應(yīng)力即為主應(yīng)力。實(shí)際上，在受力構(gòu)件內(nèi)所取出的主應(yīng)力單元體上，不一定在三個(gè)相對(duì)面上都存在有主應(yīng)力，故應(yīng)力狀態(tài)又可分下列三類：（1）單向應(yīng)力狀態(tài)。在三個(gè)相對(duì)面上三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零。如圖8.23中點(diǎn)A和圖8.24中A、C兩點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都屬于單向應(yīng)力狀態(tài)。（2）雙向應(yīng)力狀態(tài)（平面應(yīng)力狀態(tài)）。在三個(gè)相對(duì)面上三

36、個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)主應(yīng)力不等于零。如圖8.24所示B、D兩點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。在平面應(yīng)力狀態(tài)里，有時(shí)會(huì)遇到一種特例，此時(shí)，單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，這種狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。例如，在純扭轉(zhuǎn)變形中，如選取橫截面為一個(gè)相對(duì)面的單元體就是這種情況。（3）三向應(yīng)力狀態(tài)（空間應(yīng)力狀態(tài)）。其三個(gè)主應(yīng)力都不等于零。例如列車車輪與鋼軌接觸處附近的材料就是處在三向應(yīng)力狀態(tài)下，如圖8.25所示。通常我們也將單向應(yīng)力狀態(tài)稱為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，而將二向應(yīng)力狀態(tài)及三向應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。要進(jìn)行構(gòu)件的強(qiáng)度分析，需要知道確定的應(yīng)力狀態(tài)中的各個(gè)主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力以及它們的方位。求解的方法就是選取一單元體，用截面法截

37、取單元體，利用靜力平衡方程求解各個(gè)方位上的應(yīng)力。具體求法和相關(guān)規(guī)律可參閱相關(guān)資料。限于篇幅，這里不再贅述。8.6.2 強(qiáng)度理論各種材料因強(qiáng)度不足而引起的失效現(xiàn)象是不同的。塑料材料，如普通碳鋼，以發(fā)生屈服現(xiàn)象、出現(xiàn)塑性變形為失效的標(biāo)志。脆性材料，如鑄鐵，失效現(xiàn)象是突然斷裂。在單向受力情況下，出現(xiàn)塑性變形時(shí)的屈服極限s和發(fā)生斷裂時(shí)的強(qiáng)度極限b，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。S和b可統(tǒng)稱為失效應(yīng)力。失效應(yīng)力除以安全因數(shù)，便得到許用應(yīng)力，于是建立強(qiáng)度條件可見(jiàn)，在單向應(yīng)力狀態(tài)下，失效狀態(tài)或強(qiáng)度條件以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)是容易建立的。因?yàn)橐环矫鏄?gòu)件內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)比較簡(jiǎn)單，另一方面要用接近這類構(gòu)件受力情況的試驗(yàn)裝置求失效應(yīng)力值比較容易

38、實(shí)現(xiàn)。實(shí)際構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)往往不是單向應(yīng)力狀態(tài)。實(shí)現(xiàn)接近復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的實(shí)驗(yàn)，要比單向拉伸或壓縮困難得多，有的是很難用試驗(yàn)的辦法來(lái)確定失效應(yīng)力的。況且，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)中應(yīng)力組合的方式和比值，又有各種可能。如果像單向拉伸一樣，靠實(shí)驗(yàn)來(lái)確定失效狀態(tài)，建立強(qiáng)度條件，則必須對(duì)各種各樣的應(yīng)力狀態(tài)一一進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，確定失效應(yīng)力，然后建立強(qiáng)度條件。由于技術(shù)上的困難和工作上的繁重，往往是難以實(shí)現(xiàn)的。經(jīng)過(guò)人們大量的生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)，人們發(fā)現(xiàn)，盡管失效現(xiàn)象比較復(fù)雜，但經(jīng)過(guò)歸納，強(qiáng)度不足引起的失效現(xiàn)象主要有兩種形式：一種是斷裂，包括拉斷、壓壞和剪斷；另一種是塑性流動(dòng)，即構(gòu)件發(fā)生較大的塑性變形，從而影響正常使用。但是

39、，要確定哪一種材料在達(dá)到危險(xiǎn)狀態(tài)時(shí)必定是斷裂或塑性流動(dòng)，那一類構(gòu)件在達(dá)到危險(xiǎn)狀態(tài)時(shí)必定是拉斷或是剪斷是不可能的。因?yàn)橛赏环N材料制成的構(gòu)件在不同的荷載作用下，或者同一類構(gòu)件所處的荷載條件相同，但材料不同，所達(dá)到的危險(xiǎn)狀態(tài)不一定都相同，即失效的情況不一定一樣。例如，低碳鋼制成的構(gòu)件在單向應(yīng)力狀態(tài)下會(huì)發(fā)生明顯的塑性流動(dòng)，即材料發(fā)生屈服，但在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，有時(shí)會(huì)發(fā)生脆性斷裂，而無(wú)明顯的塑性流動(dòng)。又如受扭的圓桿，若該桿由木材做成，則沿縱截面剪斷，而由鑄鐵制成時(shí)，則沿45º方向拉斷。為了解決強(qiáng)度問(wèn)題，人們?cè)陂L(zhǎng)期的生產(chǎn)活動(dòng)中，綜合分析材料的失效現(xiàn)象和資料，對(duì)強(qiáng)度失效提出各種假說(shuō)。這些假說(shuō)認(rèn)為，

40、材料之所以按某種方式失效，是應(yīng)力、應(yīng)變或變形能等因素中某一因素引起的，可以根據(jù)材料受簡(jiǎn)單拉伸或壓縮時(shí)達(dá)到危險(xiǎn)狀態(tài)（失效狀態(tài)）的某一因素，作為衡量在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下達(dá)到危險(xiǎn)狀態(tài)的強(qiáng)度準(zhǔn)則，由此建立起強(qiáng)度條件。這些假說(shuō)通常稱為強(qiáng)度理論。利用強(qiáng)度理論，便可由簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件。強(qiáng)度理論既然是推測(cè)強(qiáng)度失效原因的一些假說(shuō)，它是否正確，適用于什么情況，必須由生產(chǎn)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)。經(jīng)常是適用于某種材料的強(qiáng)度理論，并不適用于另一種材料；在某種條件下適用的理論，卻又不適用于另一種條件。下面只介紹了工程中常用的強(qiáng)度理論及相應(yīng)的強(qiáng)度條件。這些都是在常溫、靜載荷下，適用于均勻、連續(xù)、各向同性材

41、料的強(qiáng)度理論。當(dāng)然，強(qiáng)度理論遠(yuǎn)不止這幾種。而且，現(xiàn)有的各種強(qiáng)度理論還不能說(shuō)已經(jīng)圓滿地解決所有強(qiáng)度問(wèn)題。在這方面仍然有待探索和發(fā)展。1、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）：這一理論認(rèn)為最大拉應(yīng)力是引起斷裂的主要因素。即認(rèn)為無(wú)論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，則材料就發(fā)生強(qiáng)度失效。這一極限值用單向應(yīng)力狀態(tài)來(lái)確定。這一理論也可以表述為：材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下達(dá)到危險(xiǎn)狀態(tài)的標(biāo)志是它的最大拉應(yīng)力1達(dá)到該材料在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)最大拉應(yīng)力的危險(xiǎn)值。根據(jù)這一理論，其強(qiáng)度條件為1 （8.20）式中：1材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的最大拉應(yīng)力。材料在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的許用拉應(yīng)力。鑄鐵等脆性材料在單向拉伸下，斷

42、裂發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面。脆性材料的扭轉(zhuǎn)也是沿拉應(yīng)力最大的斜面發(fā)生斷裂。這些都與最大拉應(yīng)力理論相符。實(shí)踐證明，此理論對(duì)于某些脆性材料受拉伸而斷裂的情況比較符合，但對(duì)塑性材料受拉時(shí)就不符合。這一理論沒(méi)有考慮其他兩個(gè)應(yīng)力的影響，且對(duì)沒(méi)有拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)(如單向壓縮、三向壓縮等)不適用。2、最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)：這一理論認(rèn)為最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。即認(rèn)為無(wú)論什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變1達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限，材料即發(fā)生斷裂。1的極限值是由單向拉伸來(lái)確定。設(shè)單向拉伸直到斷裂仍可用胡克定律計(jì)算應(yīng)變，則拉斷時(shí)伸長(zhǎng)線應(yīng)變的極限值為。按照這一理論，任意應(yīng)力狀態(tài)下，只要1

43、達(dá)到極限值，材料就發(fā)生斷裂。故得斷裂準(zhǔn)則為 (a)由廣義胡克定律有 （b）代入(a)式得斷裂準(zhǔn)則 (c)于是第二強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件是 (8.21)式中：材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的三個(gè)主應(yīng)力。材料在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的許用拉應(yīng)力，即b除以安全因數(shù)得到許用應(yīng)力。這一理論理論能很好的解釋石料或混凝土等脆性材料受軸向壓縮時(shí)，沿縱向發(fā)生的斷裂破壞，因?yàn)樽畲罄瓚?yīng)變發(fā)生在橫向。3、最大剪應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）：這一理論認(rèn)為最大剪應(yīng)力是引起塑性屈服的主要因素，只要最大剪應(yīng)力max達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生屈服。即認(rèn)為無(wú)論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，材料達(dá)到危險(xiǎn)狀態(tài)的標(biāo)志是它的最大剪應(yīng)力達(dá)到該材料在簡(jiǎn)單拉伸或壓縮時(shí)

44、最大剪應(yīng)力的危險(xiǎn)值。單向拉伸下，當(dāng)與軸線成45。的斜截面上的max=s/2時(shí)（這時(shí)，橫截面上的正應(yīng)力為s）,出現(xiàn)塑性屈服?？梢?jiàn)，s/2就是導(dǎo)致屈服的最大剪應(yīng)力的極限值。在任意應(yīng)力狀態(tài)下： (d)于是得屈服準(zhǔn)則 (e)即 (f)按第三強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條件為 (8.22)式中：材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力。材料在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的許用拉應(yīng)力。 最大剪應(yīng)力理論較為滿意地解釋了塑性材料的屈服現(xiàn)象，因?yàn)橐话闼苄圆牧线_(dá)到的危險(xiǎn)狀態(tài)是塑性流動(dòng)，而這正是剪應(yīng)力引起的。例如，低碳鋼拉伸時(shí)，沿與軸線成45。的方向出現(xiàn)滑移線，是材料內(nèi)部這一方向滑移的痕跡。沿這一方向的斜面上剪應(yīng)力也恰為最大值。在機(jī)械和鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中常用此

45、理論。4、形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論)：彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形，在變形過(guò)程中，荷載在相應(yīng)位移上做功。根據(jù)能量守恒定律可知，如果所加的外力是靜荷載，則靜荷載所做的功全部轉(zhuǎn)化為積蓄在彈性體內(nèi)部的位能，即所謂應(yīng)變能。處在外力作用下的單元體，其體積和形狀一般均發(fā)生改變，故應(yīng)變能又可分解為形狀改變能和體積改變能。單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱比能，而單位體積內(nèi)的形狀改變能稱之為形狀改變比能。第四強(qiáng)度理論認(rèn)為形狀改變比能是引起塑性屈服的主要因素。即認(rèn)為無(wú)論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，只要單元體形狀改變比能uf達(dá)到材料在簡(jiǎn)單拉伸或壓縮時(shí)單元體的形狀改變比能的危險(xiǎn)值（某一極限值）時(shí)，材料就發(fā)生塑性屈服。單向拉伸時(shí)，屈服應(yīng)

46、力為s，相應(yīng)的形狀改變比能。這就是導(dǎo)致屈服的形狀改變比能的極限值。故形狀改變比能屈服準(zhǔn)則為 （g）在單向應(yīng)力狀態(tài)下，。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，單元體的形狀改變比能為: 代入(g)式，整理后得屈服準(zhǔn)則為于是，按第四強(qiáng)度理論得到其強(qiáng)度條件為 (8.23)式中：材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的三個(gè)主應(yīng)力。材料在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的許用拉應(yīng)力。 實(shí)踐證明，形狀改變比能屈服準(zhǔn)則對(duì)如鋼、銅、鋁等幾種塑性材料比較符合，比第三強(qiáng)度理論更接近實(shí)際情況。所以，在機(jī)械和鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中常用這一理論。5、莫爾強(qiáng)度理論莫爾認(rèn)為：最大剪應(yīng)力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略(莫爾摩擦定律)。綜合最大剪應(yīng)力及最大正應(yīng)力的因素，莫爾得

47、出的強(qiáng)度理論。在不同應(yīng)力狀態(tài)下，材料破壞面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力 在坐標(biāo)系中確定了一條曲線，稱之為極限曲線。當(dāng)一定時(shí)，越大越容易破壞，即極限曲線上的點(diǎn)必為破壞時(shí)三向應(yīng)力圓中外圓上的點(diǎn)。我們把一點(diǎn)處材料破壞時(shí)的最大應(yīng)力圓稱為極限應(yīng)力圓。莫爾認(rèn)為，材料在各種不同的應(yīng)力狀態(tài)下，發(fā)生破壞時(shí)的所有極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線為材料的極限曲線；無(wú)論一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)如何，只要最大應(yīng)力圓與極限曲線相切，材料就發(fā)生強(qiáng)度失效，其切點(diǎn)對(duì)應(yīng)該破壞面。莫爾強(qiáng)度條件為 (8.24)式中：材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力。材料在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力。 當(dāng)時(shí)，莫爾強(qiáng)度理論即為最大拉應(yīng)力理論；當(dāng)時(shí)，為單向拉壓強(qiáng)度條件；若，則其成為

48、最大剪應(yīng)力理論。對(duì)于拉壓強(qiáng)度不同的脆性材料，如鑄鐵、巖石和土體等，在以壓為主的應(yīng)力狀態(tài)下，該理論與試驗(yàn)結(jié)果符合的較好。綜合以上強(qiáng)度理論所建立的強(qiáng)度條件，可以寫出統(tǒng)一的形式：r (8.25)式中，r稱為相當(dāng)應(yīng)力。它由三個(gè)主應(yīng)力按一定形式組合而成。按照第一強(qiáng)度理論到第四強(qiáng)度理論和莫爾強(qiáng)度理論的順序，相當(dāng)應(yīng)力分別為本章小結(jié)1、梁平面彎曲時(shí)，橫截面上一般有兩種內(nèi)力剪力和彎矩 。與此相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力也有兩種剪應(yīng)力和正應(yīng)力。剪應(yīng)力與截面相切，而正應(yīng)力與截面垂直。2、梁平面彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式為：正應(yīng)力在橫截面上沿高度成線性分布，在中性軸處正應(yīng)力為零，截面上下邊緣處正應(yīng)力最大。3、梁平面彎曲時(shí)剪應(yīng)力計(jì)算公式為：這個(gè)公式是由矩形截面梁推出的，但也可推廣應(yīng)用于關(guān)于梁縱向?qū)ΨQ面對(duì)稱的其它截面形式。如工字形、T形截面梁等。對(duì)不同截面梁計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意代入相應(yīng)的和。剪應(yīng)力沿截面高度呈二次拋物線規(guī)律分布，中性軸處的剪應(yīng)力最大。4、梁的強(qiáng)度計(jì)算中，正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件必須同時(shí)滿足。其公式為：對(duì)于一般梁正應(yīng)力強(qiáng)度條件起控制作用，剪應(yīng)力是次要的。即滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件時(shí)，一般剪應(yīng)力強(qiáng)度條件也能得到滿足。因此，在應(yīng)用強(qiáng)度條件解決強(qiáng)度校核、選取截面和確定容許荷載問(wèn)題時(shí)，一般都先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行計(jì)算，然后再用剪應(yīng)力強(qiáng)度條件校核。5、截面幾何性質(zhì)中，需要掌握形心位置、靜矩和慣性矩的計(jì)算。主要