線路測(cè)量通用公式的推導(dǎo)及編程

1、線路測(cè)量通用公式的推導(dǎo)及編程何艷維（中鐵五局集團(tuán)第一工程有限公司，湖南 長(zhǎng)沙 410117）摘 要：用定積分的方法推導(dǎo)出求線路中線點(diǎn)坐標(biāo)的積分通式，采用復(fù)化辛卜生（Simpson）公式給出其數(shù)值積分式。在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了求地面點(diǎn)與線路中線相對(duì)位置關(guān)系的公式。并進(jìn)行工程實(shí)例計(jì)算，給出基于CASIO fx-4500P的計(jì)算器程序，大大提高了工作效率。關(guān)鍵詞：測(cè)量；通用公式；編程；曲線元在線路中線及邊線點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算中，我們通常采用切線支距等公式計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，但在不同線型上計(jì)算時(shí)就需要使用不同的公式，計(jì)算公式不具備通用性，給計(jì)算帶來(lái)了不便。在緩和曲線計(jì)算時(shí)，螺旋線方程式的取項(xiàng)數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響隨緩和曲線

2、長(zhǎng)度及圓曲線半徑的不同而不同，取項(xiàng)不當(dāng)會(huì)出現(xiàn)較大計(jì)算誤差，取項(xiàng)太多又會(huì)增加計(jì)算難度。在道路的設(shè)計(jì)、施工、竣工階段，經(jīng)常需要測(cè)定地面點(diǎn)與線路中線的位置關(guān)系，以便為設(shè)計(jì)、施工及竣工提供準(zhǔn)確數(shù)據(jù)。用常規(guī)方法及公式測(cè)定計(jì)算地面點(diǎn)與線路中線的位置關(guān)系難度相當(dāng)大。針對(duì)以上問(wèn)題，筆者用定積分的方法給出了求線路中線點(diǎn)的積分通式，并采用復(fù)化辛卜生公式給出其數(shù)值積分式，進(jìn)而推導(dǎo)出了求地面點(diǎn)與線路中線相對(duì)位置關(guān)系的公式。并進(jìn)行了工程實(shí)例計(jì)算及編程。1求線路中線坐標(biāo)的通用公式推導(dǎo)線路形式多種多樣，但都是由直線、圓曲線及緩和曲線組成。而這3種線型都具有曲率隨弧長(zhǎng)作線性變化這一共性，故可用曲線元代表3種線型中的任意一種。

3、由此易推出已知弧長(zhǎng)l求任意點(diǎn)i的坐標(biāo)的積分通式如下： （1）式中：XA、YA為曲線元起點(diǎn)的坐標(biāo)，i為曲線元上任意點(diǎn)i的切線方位角，其計(jì)算通式為： （2）式中，A為曲線元起點(diǎn)切線方位角，PA為曲線元起點(diǎn)曲率，PB為曲線元終點(diǎn)曲率，L為曲線元長(zhǎng)度，l為任意點(diǎn)距曲線元起點(diǎn)的弧長(zhǎng)。±表示曲線元的偏向，左偏取“-”，右偏取“+”。A、i單位均為度。由于用式（2）代入式（1）所表示的積分是不可積的，故采用復(fù)化辛卜生公式給出其數(shù)值積分式為： （3）式中，m為積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)n的一半，2K-1為曲線元上n等分點(diǎn)（偶數(shù)點(diǎn)）處的切線方位角，2K為曲線元上n/2等分點(diǎn)（奇數(shù)點(diǎn)）處的切線方位角。式（3）即為求

4、線路中線坐標(biāo)的復(fù)化辛卜生公式，也就是通用公式，它具有如下特點(diǎn)：1、適用于直線、圓曲線及各種類(lèi)型的緩和曲線（完整或不完整）；2、計(jì)算精度可人為控制，即隨積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)n的取值不同，其計(jì)算精度也不同，可以根據(jù)實(shí)際情況選用合適的n值以保證計(jì)算精度和提高計(jì)算效率，3、計(jì)算方向是可逆的，即可以沿里程遞增方向計(jì)算也可以沿里程遞減方向計(jì)算。2線路邊線點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算用式（3）求得線路中線點(diǎn)坐標(biāo)后，根據(jù)式（2）所求得的切線方位角，易得出求邊線點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式： （4）式中，S為所求邊線點(diǎn)與中線點(diǎn)之間的距離，Q為邊線點(diǎn)方向與線路切線方向的夾角。±表示邊線點(diǎn)相對(duì)于中線的方向，左邊線點(diǎn)取“-”，右邊線點(diǎn)取“+

5、”。3地面點(diǎn)與線路中線相對(duì)位置關(guān)系的公式推導(dǎo)3.1計(jì)算原理從線路中線坐標(biāo)的通用公式推導(dǎo)可知，求地面點(diǎn)與線路中線相對(duì)位置關(guān)系即為求地面點(diǎn)與線路中線曲線元的相對(duì)位置關(guān)系。如圖1，AB為一曲線元，點(diǎn)P為一地面點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為已知或可用儀器測(cè)得。過(guò)點(diǎn)P作垂線PP，lP為垂足點(diǎn)P到起點(diǎn)A之間的弧長(zhǎng)，DP為點(diǎn)P與線路中線的垂距，由圖可知，點(diǎn)P與線路中線相對(duì)位置可由2個(gè)唯一的量lP和DP確定。由于點(diǎn)P可能位于中線的左邊或右邊，所以為了區(qū)分，DP也分正負(fù)，當(dāng)P點(diǎn)位于線路左邊時(shí)取負(fù)值，反之取正值。圖1 地面點(diǎn)與曲線元相對(duì)位置關(guān)系由此，根據(jù)DP的符號(hào)，可以確定點(diǎn)P相對(duì)于線路的邊向，而DP的值則確定了點(diǎn)P與中線的垂

6、距，點(diǎn)P相對(duì)于線路的里程LP可由曲線元起點(diǎn)的里程LA和弧長(zhǎng)lP計(jì)算得：LP=LA+lP因此，確定地面點(diǎn)與線路中線的相對(duì)位置關(guān)系就轉(zhuǎn)化為求DP和lP了。直接求解DP和lP十分困難，在此采用趨近原理來(lái)達(dá)到計(jì)算目的。如圖2，已知曲線元起點(diǎn)A的坐標(biāo)（XA，YA），過(guò)點(diǎn)A的切線方位角A，起點(diǎn)A和終點(diǎn)B的曲率KA和KB，曲線元的長(zhǎng)度L，地面點(diǎn)P的坐標(biāo)（XP，YP），現(xiàn)求lP 和DP。圖2 DP與LP的趨近計(jì)算原理在lP 和DP兩個(gè)量中，如果求得lP ，即可用式（3）求得P的坐標(biāo)，由此可方便求出DP。因此問(wèn)題的關(guān)鍵在于求lP ，在此趨近也就是指lP 趨近。由圖可知，曲線元的法線有無(wú)窮條，但通過(guò)點(diǎn)P的法線卻只

7、有一條（點(diǎn)P為圓心時(shí)除外），即PP，因此，只要求得P點(diǎn)到曲線元的某一法線的距離為0，則問(wèn)題得解。取點(diǎn)P到起點(diǎn)A法線的垂距l(xiāng)1的絕對(duì)值作為lP的近似值代入式（3）可求得曲線元上一點(diǎn)P1，再以P點(diǎn)到通過(guò)P1點(diǎn)法線的垂距l(xiāng)2加上l1作為新的lP的近似值代入式（3）。為了確保循環(huán)收斂，l2的符號(hào)必須滿(mǎn)足：當(dāng)P1點(diǎn)位于P點(diǎn)后（l1lP）時(shí)，l2取正值，當(dāng)P1點(diǎn)位于P點(diǎn)前（l1lP）時(shí)，l2取負(fù)值。根據(jù)點(diǎn)到直線的垂距公式得：（5）當(dāng)通過(guò)曲線元上點(diǎn)的法線方位角法指向左邊樁時(shí)，l2的符號(hào)正好滿(mǎn)足以上要求，因此，規(guī)定法指向左邊樁，即法=切-90°。如此，用新的lP的近似值代入式（3）后，又得一點(diǎn)P2。

8、同理，用P點(diǎn)到過(guò)P2點(diǎn)的法線的垂距l(xiāng)3加上l1及l(fā)2作為新的LP近似值，代入式（3），求得一點(diǎn)P3，如此循環(huán)，當(dāng)P點(diǎn)到通過(guò)曲線元上一點(diǎn)Pn的法線的垂距為0或小于某一微小值（即達(dá)到所需精度要求）時(shí)，這時(shí)的即為所求的lP值，用lP代入式（3）易求出P。根據(jù)P和P的坐標(biāo)，經(jīng)反算可求得DP，為了達(dá)到前面所說(shuō)的當(dāng)P點(diǎn)位于線路左邊時(shí)DP取負(fù)值，反之取正值的目的，DP值用如下公式計(jì)算： （6）如此就能保證DP的符號(hào)“左負(fù)右正”，同時(shí)，也可根據(jù)DP的符號(hào)判斷P點(diǎn)是位于線路的左側(cè)還是右側(cè)。3.2計(jì)算步驟1、用下式求得點(diǎn)P到通過(guò)A點(diǎn)的法線的垂距的絕對(duì)值l1：2、以l1作為lP的近似值，即以l1作為l代入式（3），

9、求得曲線元上一點(diǎn)P1的坐標(biāo)（XP1，YP1）。3、將P1點(diǎn)的坐標(biāo)代入式（5）求得P點(diǎn)到過(guò)P1點(diǎn)的法線的垂距l(xiāng)2，式中法可用式（2）求得切后減90°得到。4、以（l1+l2）作為新的lP的近似值代入式（3）可求得曲線元上一點(diǎn)P2的坐標(biāo)（XP2，YP2）。5、用求得的P2的坐標(biāo)和法代替P1的坐標(biāo)和法代入式（5），求得點(diǎn)P到過(guò)P2點(diǎn)的法線的垂距l(xiāng)3。6、如果l3的絕對(duì)值為0或小于某一微小值（即達(dá)到所需精度要求），則即為所求的lP值，如果l3的絕對(duì)值不能滿(mǎn)足精度要求，則重復(fù)45步直到ln的絕對(duì)值滿(mǎn)足精度要求，最終得：7、用lP代替l，代入式（2）和式（3），求得曲線元上點(diǎn)P的切線方位角切和坐

10、標(biāo)（XP，YP），由切減90°得法線方位角法。8、將P的坐標(biāo)和法線方位角代入式（6）得DP，按DP的符號(hào)“左負(fù)右正”的規(guī)律判斷P點(diǎn)相對(duì)于線路中線的邊向，而P點(diǎn)相對(duì)于線路中線的樁號(hào)LP=LA+lP。4工程實(shí)例計(jì)算4.1求線路中、邊樁坐標(biāo)圖3為某公路一卵形曲線線路，相關(guān)要素如圖，相關(guān)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。表1 某公路線路設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)表主點(diǎn)樁號(hào)坐標(biāo)切線方位角XY°K0+153.3237970.5662853.12677-36-53.2K0+203.3237975.7882902.60596-42-48.1K0+312.6587900.9892968.837180-14-20.9K0+360

11、.8337857.4242951.506226-14-34.4K0+425.1827850.2292891.940299-58-53.1K0+485.1827897.3442856.352334-21-32圖3 某公路線路圖4.1.1計(jì)算K0+302.658中、邊樁坐標(biāo)由K0+216.308起計(jì)算K0+312.658中樁坐標(biāo)，積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)n取8。曲線元起點(diǎn)曲率PA=0，終點(diǎn)曲率PB=1/75=0.0133，用式（2）計(jì)算各等分點(diǎn)處切線方位角如表2：表2 K0+216.308K0+312.658方位角計(jì)算表樁號(hào)n/2等分點(diǎn)n等分點(diǎn)K0+228.352144-00-40.3K0+240.3961

12、45-44-10.7K0+252.439148-36-41.6K0+264.483152-38-12.7K0+276.527157-48-44.3K0+288.571164-08-16.2K0+300.614171-36-48.3用式（3）計(jì)算K0+312.658中樁坐標(biāo)如下：X=7987.176+(312.658-216.308)/4/6×cos143°2610.1+4×(cos144°0040.3+cos148°3641.6+cos157°4844.3+cos171°3648.3)+2×(cos145°

13、;4410.7+cos152°3812.7+cos164°0816.2)+cos180°1420.9=7900.990Y=2929.851+(312.658-216.308)/4/6×sin143°2610.1+4×(sin144°0040.3+sin148°3641.6+sin157°4844.3+sin171°3648.3)+2×(sin145°4410.7+sin152°3812.7+sin164°0816.2)+sin180°1420.9

14、=2968.838用式（4）計(jì)算K0+312.658右側(cè)5m邊樁坐標(biāo)如下：XB=7900.990+5×cos(180°1420.9+90°)=7901.001YB=2968.838+5×sin(180°1420.9+90°)=2963.8384.1.2計(jì)算K0+360.833中、邊樁坐標(biāo)由K0+425.182起計(jì)算K0+360.833中樁坐標(biāo)，積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)n取4。曲線元起點(diǎn)曲率PA=1/50=0.02，終點(diǎn)曲率PB=1/50=0.02，用式（2）計(jì)算各等分點(diǎn)處切線方位角如表3：表3 K0+425.182K0+360.833方位角計(jì)算

15、表樁號(hào)n/2等分點(diǎn)n等分點(diǎn)K0+409.095101-32-48.4K0+393.00883-06-43.8K0+376.92064-40-39.1用式（3）計(jì)算K0+360.833中樁坐標(biāo)如下：X=7850.229+(425.182-360.833)/2/6×cos119°5853.1+4×(cos101°3248.4+cos64°4039.1)+2×cos83°0643.8+cos46°1434.4=7857.425Y=2891.940+(425.182-360.833)/2/6×sin119

16、6;5853.1+4×(sin101°3248.4+sin64°4039.1)+2×sin83°0643.8+sin46°1434.4=2951.510用式（4）計(jì)算K0+360.833右側(cè)5m邊樁坐標(biāo)如下：XB=7857.425+5×cos(226°1434.4+90°)=7861.036YB=2951.510+5×sin(226°1434.4+90°)=2948.0524.2確定地面點(diǎn)與線路中線相對(duì)位置關(guān)系用求線路中、邊樁坐標(biāo)所用線路計(jì)算，相關(guān)要素見(jiàn)圖3，相關(guān)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)見(jiàn)表

17、1，現(xiàn)測(cè)得若干地面點(diǎn)坐標(biāo)如表4，如3.2計(jì)算步驟計(jì)算得結(jié)果一并列于表4：表4 確定地面點(diǎn)與線路中線相對(duì)位置關(guān)系計(jì)算結(jié)果表點(diǎn)號(hào)所測(cè)地面點(diǎn)坐標(biāo)（m）lP（m）DP（m）樁號(hào)邊向P17967.9302889.96837.0668.384K0+190.389右P27955.1092959.00957.260-9.516K0+260.583左P37884.1552957.91819.5388.499K0+332.196右P47839.7112936.73220.557-7.332K0+381.390左P57869.3402882.44321.1188.415K0+446.300右由以上算例可以看出，通用

18、公式的順、逆運(yùn)算都很方便，而且可以任取其中的一段進(jìn)行計(jì)算，這對(duì)于計(jì)算不完整的曲線顯得尤為方便。計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)曲線半徑的大小和曲線的長(zhǎng)度選取合適的n值，以達(dá)到計(jì)算準(zhǔn)確和簡(jiǎn)便的目的。對(duì)于一般曲線，n取46即可，對(duì)于小半徑曲線，視計(jì)算長(zhǎng)度而定，長(zhǎng)度越長(zhǎng)n也要相應(yīng)取大，一般不少于8。5程序的編寫(xiě)為了提高計(jì)算效率，保證計(jì)算的準(zhǔn)確性，根據(jù)已推導(dǎo)的計(jì)算公式，編寫(xiě)了基于CASIO fx-4500P的計(jì)算器程序，程序如下：5.1求線路中、邊樁坐標(biāo)程序F1 XPSL1 I=L(B-A)/GL2 J=N+90(I+2A)L/L3 M=N+22.5(I/4+2A)L/:P=N+67.5(3I/4+2A)L/:K=N+45(I/2+2A)L/L4 X=E+L(cosN+4(cosM+cosP)+2cosK+cosJ)/12L5 Y=F+L(sinN+4(sinM+sinP)+2sinK+sinJ)/12L6 U=X+Scos(J+Q) V=Y+Ssin(J+Q) 程序中符號(hào)意義：L計(jì)算點(diǎn)至曲線元起點(diǎn)距離；A曲線元起點(diǎn)曲率（曲率=1/R，直線曲率為0），曲線左偏為負(fù)、右偏為正；B曲線元終點(diǎn)曲率（曲率=1/R，直線曲率為0），曲線左偏為負(fù)、右偏為正；G曲線元長(zhǎng)度；J計(jì)算點(diǎn)切線方位角；N曲線元起點(diǎn)切線方位角；X計(jì)算點(diǎn)中樁X坐標(biāo)；Y計(jì)算點(diǎn)中樁Y坐標(biāo)；E曲線元起點(diǎn)中樁X坐標(biāo)；F曲