線性代數(shù)第二章習(xí)題部分答案（本）-

1、第二章向量組的線性相關(guān)性§2-1 §2-2 維向量,線性相關(guān)與線性無關(guān)(一一、填空題1.設(shè), 其中, 則. 2.設(shè) 則線性組合.3.設(shè)矩陣,設(shè)為矩陣的第個(gè)列向量, 則.二、試確定下列向量組的線性相關(guān)性 1.解:設(shè)則即 ,線性無關(guān)。 2.線性相關(guān) 三、設(shè)有向量組,問取何值時(shí)該向量組線性相關(guān)。解:設(shè)則即 所以, 線性相關(guān); , 線性無關(guān) 四、設(shè)線性無關(guān),線性相關(guān),求向量用線性表示的表示式。解:因?yàn)榫€性相關(guān),所以存在不全為零的, 使得即+b=.又 因?yàn)榫€性無關(guān),所以+,于是, b=.五、已知向量組,令 ,求證向量組線性相關(guān)。解:因?yàn)?所以,向量組線性相關(guān)。§2-2線性相

2、關(guān)與線性無關(guān)(二一、設(shè)線性相關(guān),線性相關(guān),問是否一定線性相關(guān)?并舉例說明之。 解:取,. 線性相關(guān)。 取,. 線性無關(guān)。二、舉例說明下列各命題是錯(cuò)誤的:1.若向量組是線性相關(guān)的,則可由線性表示。解:取.2.若有不全為0的數(shù),使 成立,則是線性相關(guān),是線性相關(guān). 解:取,.3.若只有當(dāng)全為0時(shí),等式 才能成立,則是線性無關(guān),是線性無關(guān)。 解:取,.4.若是線性相關(guān),是線性相關(guān),則 有不全為0的數(shù),使 同時(shí)成立。 解:取,.三、設(shè)向量組線性相關(guān),且,證明存在某個(gè)向量,使能由線性表示。證明:因?yàn)橄蛄拷M線性相關(guān),所以存在不全為零的, ,使得。設(shè),中 最后一個(gè)不為零的數(shù)是,即,又 因?yàn)?所以,。即有,使

3、得 ,于是, ,命題得證。四、已知,證明:(1能由線性表示。(2不能由線性表示。 證明:(1因?yàn)?所以線性無關(guān),由定 理1知也線性無關(guān);又因?yàn)?所以, 線性相關(guān),由定理3得能由線性表示。 (2反證法。假設(shè)能由線性表示。再利用(1的結(jié)果,可推出能由線性表示,由定理2得線性相關(guān),與矛盾。所以,不能由線性表示。 五、設(shè),且向量線性無關(guān),證明向量組線性無關(guān)。 證明:設(shè),則 而向量線性無關(guān),所以, 所以,向量組線性無關(guān)。§2-3 極大無關(guān)組(一一、證明n階單位矩陣的秩為n.證明:n階單位矩陣的列向量組為 , 設(shè), 則 所以,線性無關(guān),秩為n,則n階單位矩陣的秩為n. 二、設(shè)矩陣其中 則.證明:

4、設(shè)矩陣的列向量組為 設(shè), 則 所以,線性無關(guān),秩為n,則.三、求下列向量組的秩 1.R=3 2. 解:A=(= 所以,R (=2, 為極大無關(guān)組。 四、設(shè)是一組維向量,已知維單位坐標(biāo)向量 能由它們線性表示,證明線性無關(guān)。證明:因?yàn)榫S單位坐標(biāo)向量能由線性表 示,所以,而 ,所以, 于是,線性無關(guān)。五、設(shè)是一組維向量,證明它們線性無關(guān)的充分 必要條件是:任一維向量都可由它們線性表示。證明:充分性:如果任一維向量都可由線性表示, 則維單位坐標(biāo)向量能由線性表示,利用 上一題的結(jié)果,線性無關(guān)。必要性:如果線性無關(guān),對(duì)于任一維向量. 如果,則,所以,向量能由 線性表示。 如果,則這n+1個(gè)n維向量線性相關(guān)

5、,而線性無關(guān),由定理3得向量能由 線性表示。 (另證:如果線性無關(guān),而的維數(shù)是n,所以 為的一組基,所以中的一維向量都可由它們線 性表示。§2-3 極大無關(guān)組(二一、設(shè)為同階矩陣,求證 。證明:設(shè)A的列向量組為,極大無關(guān)組為 ;B的列向量組為,極大無關(guān)組 為. 則A+B的列向量組為能由(A,B的列向量組線性表示, 所以,. 又(A,B的列向量組能由 線性表示,所以,. 二、設(shè)向量組能由向量組線性表示 其中為矩陣,且線性無關(guān)。證明線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣的秩為.證明:必要性. 已知線性無關(guān). 則, 設(shè)矩陣矩陣,則B=AK,所以,r=,得. 充分性. 已知,則K的列向量組線性無關(guān)。設(shè)

6、 線性無關(guān)。三、設(shè)證明:向量組與向量組等價(jià)。證明:因?yàn)樗?向量組可以由向量組線性表示。把各式相加后得 可得所以,向量組可以由向量組線性表示。由上,向量組與向量組等價(jià)。四、已知3階矩陣與3維列向量滿足,且向 量組線性無關(guān),記,求3階矩陣使 . 解:設(shè), A 由向量組線性無關(guān)得.§2-4§2-5 向量空間,內(nèi)積與標(biāo)準(zhǔn)正交基一、設(shè), , ,問是不是向量空間,為什么?答:是,不是,是 二、驗(yàn)證:為的 一個(gè)基, 并把用這個(gè)基線性表示.解:(= 所以， . 三、 證明 中不存在 n+1 個(gè)線性無關(guān)的向量，從而 中不存 在 n+1 個(gè)兩兩正交的非零向量。 證明：因?yàn)?向量。 又因?yàn)閮蓛烧坏姆橇阆蛄勘厥蔷€性無關(guān)的，所以， 不存在 n+1 個(gè)兩兩正交的非零向量。 中 的維數(shù)是 n，所以 中不存在 n+1 個(gè)線性無關(guān)的 四、 把下列向量組規(guī)范正交化 解： ; ; ; 所以， . 六、證明下列各題 (1 為