電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的數(shù)值方法研究

1、電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的數(shù)值方法研究王超，陳熙偉，侯文寶中國礦業(yè)大學(xué)電氣工程系，江蘇徐州 (221008)E-mail：摘 要：暫態(tài)穩(wěn)定分析是電力系統(tǒng)安全評估中的重要課題。本文討論了國內(nèi)外有關(guān)暫態(tài)穩(wěn)定分析方法的發(fā)展概況，總結(jié)了各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。選擇數(shù)值法來分析電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定。數(shù)值法具有廣泛的模型適應(yīng)性，計算結(jié)果精確，長期以來被電力部門作為標(biāo)準(zhǔn)使用。 關(guān)鍵詞：暫態(tài)穩(wěn)定；數(shù)值方法；直接法中圖分類號：TM7121引言回顧一個多世紀(jì)以來電力工業(yè)和電力系統(tǒng)的發(fā)展，深感由于經(jīng)濟(jì)發(fā)展和技術(shù)進(jìn)步帶來的巨大變化。從18世紀(jì)的八九十年代電力系統(tǒng)的初創(chuàng)時期，到現(xiàn)如今的大容量遠(yuǎn)距離輸電以及大電網(wǎng)的互聯(lián)運(yùn)輸。電力系統(tǒng)的發(fā)

2、展深深的影響了人類的生活。雖然電力系統(tǒng)向大電網(wǎng)、高電壓和遠(yuǎn)距離輸電發(fā)展，對提高經(jīng)濟(jì)效益、促進(jìn)環(huán)境保護(hù)起到了重要作用，但是也給電力系統(tǒng)的安全運(yùn)行帶來了新的問題，電力系統(tǒng)的穩(wěn)定就是其中之一。如今的電力系統(tǒng)應(yīng)該是安全、可靠、環(huán)保。因此，電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性是一個不可回避的課題。2電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定電力系統(tǒng)穩(wěn)定是指它能夠運(yùn)行于正常運(yùn)行條件下的平衡狀態(tài)，在遭受干擾后能夠恢復(fù)到可以允許的平衡狀態(tài)1。電力系統(tǒng)穩(wěn)定性問題分為兩大類：靜態(tài)穩(wěn)定性和暫態(tài)穩(wěn)定性。靜態(tài)穩(wěn)定是指系統(tǒng)受到小的干擾后，不發(fā)生自發(fā)振蕩和非周期性失步，自動恢復(fù)到起始運(yùn)行狀態(tài)的能力2。暫態(tài)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)突然經(jīng)受大擾動后，各個同步電機(jī)能否繼續(xù)保持同步運(yùn)行

3、的能力。通常所考慮的擾動包括各種短路故障、切除大容量發(fā)電機(jī)或輸電設(shè)備以及某些負(fù)荷的突然變化等1。電力系統(tǒng)遭受大擾動以后所發(fā)生的暫態(tài)過程可能有兩種不同的結(jié)局。一種是暫態(tài)過程逐漸衰減，系統(tǒng)各發(fā)電機(jī)之間相對運(yùn)動逐漸消失（相對速度衰減為零），使系統(tǒng)過渡到一個新的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況，在這個運(yùn)行情況下，各發(fā)電機(jī)仍然保持同步運(yùn)行2。對于這種結(jié)局，我們說電力系統(tǒng)是暫態(tài)穩(wěn)定的。另一種結(jié)局是在暫態(tài)過程中某些發(fā)電機(jī)之間的相對角度隨時間不斷增大，它們之間始終存在著相對轉(zhuǎn)速（也就是說這些發(fā)電機(jī)失去了同步），并且因此產(chǎn)生了系統(tǒng)功率和電壓的強(qiáng)烈振蕩，使一些發(fā)電機(jī)和負(fù)荷不能繼續(xù)運(yùn)行，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)解列。對于這種結(jié)局，我們說電力系統(tǒng)是

4、暫態(tài)不穩(wěn)定的1。3. 暫態(tài)穩(wěn)定分析的基本方法目前暫態(tài)穩(wěn)定分析的基本方法可分為兩類：數(shù)值解法和直接法。下面簡要分析各自的優(yōu)缺點(diǎn)。3.1 數(shù)值解法該方法主要是列出描述系統(tǒng)暫態(tài)過程的微分方程和代數(shù)方程組，應(yīng)用各種數(shù)值積分方法進(jìn)行求解，之后再根據(jù)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子間的相對角度變化情況來判斷穩(wěn)定性2。從上個世紀(jì)50年代中期開始，就已經(jīng)有大量研究工作在這方面進(jìn)行。到了70年代中期，數(shù)值解法已發(fā)展的相- 1 -當(dāng)成熟，基本上能滿足電力系統(tǒng)規(guī)劃、設(shè)計和運(yùn)行過程中所進(jìn)行的離線暫態(tài)穩(wěn)定分析對計算速度和精度的要求，并已開發(fā)出了許多適于工程應(yīng)用的計算程序。數(shù)值解法是現(xiàn)今求解暫態(tài)穩(wěn)定問題的主要方法，也是最可靠的方法。其優(yōu)點(diǎn)是系

5、統(tǒng)模型精致，計算結(jié)果準(zhǔn)確，能提供系統(tǒng)中各種變量的時間響應(yīng)；缺點(diǎn)是計算量非常大，耗時長（在線應(yīng)用感興趣的時間僅在幾秒內(nèi)），而且不易求出穩(wěn)定程度的定量信息及對系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)的靈敏度分析5。3.2 直接法直接法主要有三種：基于相關(guān)（主導(dǎo)）不穩(wěn)定平衡點(diǎn)求解的RUEP法（簡稱UEP法）、基于勢能界面搜索的PEBS法及基于單機(jī)無窮大等值和等面積準(zhǔn)則的EEAC法。李亞普諾夫穩(wěn)定性理論是在1892年提出的，它是從一個古典力學(xué)的概念發(fā)展而來。直接法是通過構(gòu)造或定義一個反映系統(tǒng)穩(wěn)定性的暫態(tài)能量函數(shù)（李雅普諾夫函數(shù)），來確定系統(tǒng)的臨界能量（李雅普諾夫函數(shù)的臨界值），并以此為穩(wěn)定判別的標(biāo)準(zhǔn)。由于直接法不是從時域的系統(tǒng)運(yùn)

6、動軌跡去看穩(wěn)定問題，而是從系統(tǒng)能量及其轉(zhuǎn)化的角度去看穩(wěn)定問題，因此可快速進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。該方法在近二三十年得到了迅速的發(fā)展。直接法的優(yōu)點(diǎn)是能提供系統(tǒng)穩(wěn)定程度的定量信息，提供系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，對極限參數(shù)計算速度快，可快速掃描系統(tǒng)暫態(tài)過程。缺點(diǎn)是采用的模型比較粗略，計算結(jié)果具有保守性5。由于數(shù)值仿真法和直接法兩者各有優(yōu)缺點(diǎn)，至今無法彼此替代。本文中我們將采用數(shù)值仿真法來分析電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定。4. 電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的數(shù)值解電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的數(shù)值解法就是通過求解微分代數(shù)方程組，即以系統(tǒng)受擾動前的運(yùn)行狀態(tài)為初始條件，對微分方程和代數(shù)方程采用某種數(shù)值解法，來推算系統(tǒng)受擾動后的動態(tài)過程。由已推倒出數(shù)學(xué)模型：

7、dx=f(x，y) （1） dt0=g(x，y) （2）在忽略發(fā)電機(jī)定子繞組和電網(wǎng)中電磁暫態(tài)過程影響的情況下，由電力系統(tǒng)各元件的數(shù)學(xué)模型和各元件間的相互關(guān)系，可列出描述全系統(tǒng)暫態(tài)過程的微分方程和代數(shù)方程組，其一般形式已經(jīng)由（1）和（2）兩式給出，微分方程式（1）由下列各部分組成3：（1）描述個發(fā)電機(jī)暫態(tài)和次暫態(tài)電勢變化的微分方程。（2）各發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程式。（3）描述各發(fā)電機(jī)勵磁系統(tǒng)暫態(tài)過程的微分方程。它們根據(jù)勵磁系統(tǒng)的類型和結(jié)構(gòu)，可由相應(yīng)的傳遞函數(shù)框圖求得。（4）描述各原動機(jī)調(diào)速系統(tǒng)暫態(tài)過程的微分方程。（5）負(fù)荷中感應(yīng)電動機(jī)的暫態(tài)過程方程式。它們包括轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程式及暫態(tài)電勢變化方程式。-

8、 2 -4.1 微分方程組和代數(shù)方程組的求解方法應(yīng)用數(shù)值解法計算暫態(tài)穩(wěn)定時，在每一個積分步長內(nèi)必須同時求解微分方程和代數(shù)方程，這就需要在一般單純求解微分方程組的數(shù)值積分方法基礎(chǔ)上加以擴(kuò)展。為此有兩種不同的方法：交替求解法和聯(lián)立求解法5。4.1.1 交替求解法交替求解法中把描述系統(tǒng)狀態(tài)的微分方程和代數(shù)方程分開來求解。首先求解微分方程，再將微分方程的數(shù)值解帶入代數(shù)方程中求解代數(shù)方程。交替求解法是目前暫態(tài)穩(wěn)定分析所采用的主要方法，其中微分方程的數(shù)值積分方法和代數(shù)方程的求解方法原則上可以分別進(jìn)行選擇。數(shù)值積分方法的選取主要應(yīng)考慮方法的計算速度、精度、數(shù)值穩(wěn)定性和對剛性微分方程組的適應(yīng)性。已經(jīng)研究和使用

9、過的方法很多，包括顯式歐拉法、改進(jìn)歐拉法、顯式龍格庫塔法、隱式梯形積分法、預(yù)測校正法和隱式多步法等，它們各自有不同的特點(diǎn)。目前一般認(rèn)為隱式梯形積分法對于計算速度、精度、數(shù)值穩(wěn)定性和對剛性微分方程組的適應(yīng)性等要求都較為滿意，并且在發(fā)生不連續(xù)時無需重新起步。4.1.2 聯(lián)立求解法聯(lián)立求解法僅適用于各種隱式積分方法。聯(lián)立求解法的基本原理是在t到t+t的積分步長內(nèi)，將微分方程式（1）按照所采用的數(shù)值積分方法化成相應(yīng)的差分方程，一起組成兩組代數(shù)方程式，再對它們進(jìn)行聯(lián)立求解，從而同時得出x(t+(t)和y(t+(t)。聯(lián)立求解的方法通常采用牛頓拉夫遜法。由于聯(lián)立求解法的計算工作量很大，目前應(yīng)用的比較少。4

10、.2 微分方程的數(shù)值積分方法電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析中需要求解的微分方程是初始值已知的非線性常微分方程：&=f(x,y) x其中x為n個應(yīng)變量的狀態(tài)向量，我們的目的是在x等于x0的初始條件下求解狀態(tài)變量x在時刻t的值。求解常微分的數(shù)值積分法主要可分為顯式積分法和隱式積分法。4.2.1 顯式積分法顯式積分法中，微分方程的狀態(tài)變量x在任意時刻t對應(yīng)的值是從前一時段的x的值計算得來的。即（n+1）步的xn+1是由已知的xn和f(xn,yn)顯式計算而來的。在求得時刻t的狀態(tài)變量x(t)的值后，再求解代數(shù)方程得到網(wǎng)絡(luò)方程的解Y(t)，從而完成一個步長的計算。1. 歐拉法考慮一階微分方程：dx=f(

11、x,t) （3） dt在t=t0時刻x=x0。下圖1是應(yīng)用歐拉法的原理圖：- 3 -在x=x0,t=t0時，我們可以用切線來近似代表真解的曲線，其斜率為：因而：x=在t=t0+t處的x的值為：x1=x0+x=x0+dxdt=f(x0,t0) （4） x=x0dxdtt （5） x=x0dxdtt （6）x=x0歐拉法就相當(dāng)于用x的泰勒級數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)附近展開式的前兩相。t2t3&0t+&&0&&0 x1=x0+x+&+K （7） xx2!3!在用歐拉法決定了對應(yīng)t=t1,x=x1后，我們可以采用另一較短時間步長t，決定對應(yīng)于t2=t1+t的

12、x2如下：x2=x1+dxdtt （8）x=x1連續(xù)使用這個方法，x對應(yīng)不同時間t的值就可以決定。2. 改進(jìn)歐拉法標(biāo)準(zhǔn)歐拉法會產(chǎn)生誤差，因?yàn)樗玫氖情g隔開始處的微分值，盡管它應(yīng)用于整個間隔。改進(jìn)歐拉法試圖通過使用間隔兩端微分的平均值來克服這個問題。- 4 -改進(jìn)歐拉法包括以下步驟：（1）預(yù)報步：用一步起始的微分來預(yù)報每一步末尾的值：x1=x0+pdxdtt （9）x=x0（2）校正步：用預(yù)報值計算每一步末尾的微分，而且這個微分和起始步的微分的平均值用來給出校正值：dx1 x=x0+2dte1x=x0dx+dtt （10） x=x1p5. 暫態(tài)穩(wěn)定數(shù)值分析的基本流程數(shù)值解法的一般過程可以用圖2所

13、示框圖來表示，其中各框的作用和內(nèi)容簡單說明如下。 在計算暫態(tài)穩(wěn)定前先要進(jìn)行潮流計算，以便得出擾動前系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況。由潮流計算結(jié)果求得各節(jié)點(diǎn)電壓、電流和各發(fā)電機(jī)及負(fù)荷的功率后，直接計算出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況下的非狀態(tài)變量y(0)和狀態(tài)變量x(0)，后者將作為求解微分方程式的初始條件。這是圖中框和框的內(nèi)容。框是根據(jù)各元件所采用的數(shù)學(xué)模型形成相應(yīng)的微分方程，并根據(jù)所用網(wǎng)絡(luò)求解方法形成相應(yīng)的代數(shù)方程。從框開始，進(jìn)入暫態(tài)過程計算。在一般暫態(tài)穩(wěn)定計算程序中，積分步長t通常固定不變，并將第一個故障或操作的時刻取t=0（框）。在此情況下，由于狀態(tài)變量不能突變，因此有x(0)=x0以后，每經(jīng)過一個步長的計算，時

14、間t依次累加t，即框。2tL）開始的一個積分步長內(nèi)的暫態(tài)過框到框。是從各個離散時刻t（t = 0，t，程計算。首先，在框中判斷，時刻是否發(fā)生故障或操作。如果發(fā)生，則需根據(jù)故障或操作的具體內(nèi)容對微分方程或代數(shù)方程進(jìn)行修改（框），例如，修改網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣。而且，如果是發(fā)生網(wǎng)絡(luò)故障或操作，還需重新求解網(wǎng)絡(luò)方程并計算故障或操作后瞬間的y(t)（框和框），因?yàn)榉菭顟B(tài)變量在發(fā)生故障或操作瞬間將產(chǎn)生突變?？蚴接嬎銜簯B(tài)穩(wěn)定的核心部分，其內(nèi)容是根據(jù)，時刻的y(t)和x(t)（應(yīng)用多步積分法時還需用到以前時刻的取值），采用前面介紹的某種交替求解法或聯(lián)立求解法計算，t+t時刻的y(t+t)和x(t+t)。然后，在框

15、中進(jìn)行穩(wěn)定性判斷。如果已經(jīng)判斷出系統(tǒng)為不穩(wěn)定，便可以停止計算并輸出計算結(jié)果（框），否則經(jīng)過框?qū)r間向前推進(jìn)t，進(jìn)行下（框）。tmax一步長的計算，直至所計算的暫態(tài)過程持續(xù)時間達(dá)到預(yù)先給定的時間tmax為止的給定值與分析要求有關(guān)，如果只希望判斷第一搖擺周期的穩(wěn)定性，則通常取tmax=11.5s；而如希望判斷第二、三搖擺周期的穩(wěn)定性，則取tmax=35s。至于框中穩(wěn)定性的判斷，目前一般以任意兩臺電機(jī)轉(zhuǎn)子間的相對角度超過180，作為失去穩(wěn)定的判據(jù)4。根據(jù)暫態(tài)穩(wěn)定數(shù)值分析的基本流程圖，進(jìn)行軟件編程。°- 5 - 6 - 6. 算例 以上介紹了有關(guān)暫態(tài)穩(wěn)定分析方法的數(shù)值法與直接法。 并且詳細(xì)介

16、紹了數(shù)值分析法的歐 拉法與改進(jìn)歐拉法，本文采用數(shù)值解法中的改進(jìn)歐拉法，分析以下的算例。 例：簡單電力系統(tǒng)的接線如圖 3 所示。設(shè)輸電線路某一回路的始端發(fā)生兩相短路接地， 計算其保持暫態(tài)穩(wěn)定而要求的極限切除角度，計算極限切除時間，并做出在 0.15s 切除故障 時的 t 曲線（用改進(jìn)歐拉法計算 t 曲線，取 h=0.05）。 G U=115kV P0 =220MW 240MW 10.5kV cos 300MVA 10.5/242kV 230km 280MVA 220/121kV cos 0 =0.98 = 0.80 U S (%)=14 x = x 2 = 0.42 / km x = 4x 圖

17、3 簡單電力系統(tǒng)接線圖 U S = 14 V xd ' = 0.30 解：選取基準(zhǔn)值，計算參數(shù)。取 S B =220MVA， U B ( 220 ) =209kV。求得正常運(yùn)行時等值 電路和負(fù)序、零序等值電路中參數(shù)，并先后計算出故障后的功率特性，故障切除后的功率特 性，以及計算切除時間，用改進(jìn)歐拉法計算 t 曲線，（詳細(xì)計算過程略）。 由計算所得及程序所得數(shù)據(jù)繪制出圖 4 所示的 t 曲線。由圖 4 可以直觀的判斷系統(tǒng) 的暫態(tài)穩(wěn)定性：當(dāng) 0.2s 切除故障對應(yīng)的 迅速增加并且超過 180 ，系統(tǒng)一定不穩(wěn)定；另外 ° 兩條 t 曲線在 5s 內(nèi)基本是等幅振蕩，因求解曲線是在假設(shè)

18、系統(tǒng)無阻尼的條件下，而實(shí)際 運(yùn)動的系統(tǒng)是存在阻尼，所以實(shí)際的 t 曲線振幅會越來越小，系統(tǒng)是暫態(tài)穩(wěn)定的。 （°） 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0. 3 0. 6 0. 9 1. 2 1. 5 1. 8 2. 1 2. 4 2. 7 3. 3 3. 6 3. 9 4. 2 4. 5 4. 8 故障切除時間： 0.2s 故障切除時間： 0.15s 故障切除時間： 0.1s t(s) 0 圖4 由程序所計算的數(shù)據(jù)繪出的發(fā)電機(jī) -7- 3 t 曲線 7. 總結(jié)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析是考察系統(tǒng)突然經(jīng)受大擾動后，各個同步電機(jī)能否繼續(xù)保持同步運(yùn)行的能力，暫態(tài)穩(wěn)

19、定對于電力系統(tǒng)的安全可靠運(yùn)行具有極其重要的意義。目前暫態(tài)穩(wěn)定析的基本方法有數(shù)值解法和直接法。本文介紹了兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，而對數(shù)值解法做了具體的介紹，我們采用了改進(jìn)歐拉法來分析電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性。具體在建立數(shù)學(xué)模型的同時，根據(jù)給出的算法，用C語言編程，并給出算例。從計算結(jié)果的分析可以看出，運(yùn)用改進(jìn)歐拉法基本達(dá)到了我們所要求的目的。參考文獻(xiàn)1 李光琦. 電力系統(tǒng)暫態(tài)分析(第三版)M. 北京:中國電力出版社,2007.1.12 夏道止. 電力系統(tǒng)分析M. 北京:中國電力出版社,1995,11.3 國家電力調(diào)度通信中心. 電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定導(dǎo)則學(xué)習(xí)與輔導(dǎo)M.北京:中國電力出版社2001.904 袁季修. 電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定控制M.北京:中國電力出版社,19965 湯涌. 電力系統(tǒng)穩(wěn)定計算隱式積分交替求解J. 電網(wǎng)技術(shù),1997,2,Vol.21No. 2Study on Transient Stability Analysis of Power Systemwith the Numerical MethodWang Chao, Chen Xiwei, Hou WenbaoDepartment of Electrical Engineering, China University of Mnining and Techmology, Xuzhou(221008)AbstractTra