——高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課《平面向量的數(shù)量積》案例賞析

1、循本索源 變中出彩高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課平面向量的數(shù)量積案例賞析江蘇省蘇州第十中學(xué) 吳鍔在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，如何真正做到精講精練，提高復(fù)習(xí)效率，是高三數(shù)學(xué)老師所面對(duì)的一個(gè)重要課題從典型的基礎(chǔ)問題入手，通過一題多解、觸類旁通，或一題多變、舉一反三，進(jìn)行有效的變式教學(xué)既是我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)，也是新課程背景下引發(fā)學(xué)生自主、合作、探究的重要途徑下面以本人的一節(jié)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課平面向量的數(shù)量積為例通過對(duì)高考試題的循本索源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究、變中生成的教學(xué)實(shí)況，希望對(duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)有所啟發(fā)一、課堂教學(xué)簡(jiǎn)錄與賞析1一題多變，喚醒知識(shí)問題1 已知，向量a與b的夾角60°，求的值教師：這是08年北京卷的一

2、個(gè)改編題，請(qǐng)同學(xué)們快速給出答案學(xué)生齊答：0教師：很好！我們通過這個(gè)問題的解答，復(fù)習(xí)了向量數(shù)量積的公式：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)解決下面的問題變題1 已知，且向量a與ba垂直，求向量a與b夾角學(xué)生A：將公式變形，由，向量a與b夾角為60°教師：同學(xué)A的解法實(shí)際上給出了求兩個(gè)向量夾角的具體方法那么下面的問題你能解嗎？變題2 已知，向量a與b的夾角60°，求向量a與2ab的夾角學(xué)生B：用同學(xué)A的方法，先求出|2ab|4和a與2ab的，再用公式求出其夾角為60°學(xué)生C：我根據(jù)題意畫了一張圖，發(fā)現(xiàn)向量2a，b和2ab恰好構(gòu)成一個(gè)正三角形，很快就求出來了同時(shí)我根據(jù)這個(gè)圖還可以求出向量a與

3、2ab的夾角為30°教師：C同學(xué)做得非常棒！數(shù)學(xué)結(jié)合的方法開闊了我們的思路，借助于平面幾何知識(shí)的確可以快速解題，也說明我們掌握了向量的本質(zhì)B同學(xué)的解法恰好完成了08年江蘇卷的問題“已知，向量a與b夾角120°，則|5ab| ”教師：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)探究下面的問題變題3 已知，向量a與b的夾角60°，若向量夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍學(xué)生D：我認(rèn)為只要，解得學(xué)生E：D同學(xué)的答案沒有考慮到這兩個(gè)向量是否同向共線，要加上教師：學(xué)生E的補(bǔ)充很重要，事實(shí)上從向量數(shù)量積公式中我們可以知道，向量a，b的夾角為銳角或鈍角，都要考慮a，b不共線教師：前面我們圍繞平面向量數(shù)量積的公式，

4、從不同的角度創(chuàng)造了使用公式的條件下面的問題同學(xué)們能解決嗎？變題4 在直角ABC中，A90°，D為斜邊BC的中點(diǎn)，AB2，AC4，求學(xué)生討論，方法主要有：將向量分解成或建立直角坐標(biāo)系來求解學(xué)生F：我想到了一個(gè)好方法，如圖，過D 作AB的垂線DE，則教師：同學(xué)F的想法太妙了，對(duì)平面向量數(shù)量積的公式的本質(zhì)理解了，事實(shí)上這種方法稱為投影法，它可以把兩個(gè)向量投影到一個(gè)向量上，用長(zhǎng)度來計(jì)算，當(dāng)然還需要觀察兩個(gè)向量的夾角是銳角還是鈍角，以確定符號(hào)賞析：從問題1這個(gè)最基本的問題出發(fā)，通過變式創(chuàng)造了利用平面向量數(shù)量積公式的各個(gè)不同的視點(diǎn)，幫助學(xué)生在解決問題中系統(tǒng)地理解和掌握了公式的本質(zhì)變式教學(xué)變換問題

5、的條件和結(jié)論，變換問題的形式，但不改變問題的本質(zhì)，使本質(zhì)的東西更全面使學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)不只是停留于事物的表象，而能自覺地從本質(zhì)看問題，同時(shí)學(xué)會(huì)比較全面地看問題，注意從事物之間的聯(lián)系的矛盾上來理解事物的本質(zhì)，在一定程度上可以克服和減少思維僵化及思維惰性，從而可以更深刻地理解課堂教學(xué)的內(nèi)容用問題串構(gòu)筑數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)的方法是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的非常有效的策略2解后反思，變中出彩問題2 在平面坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)（1）求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；（2）設(shè)實(shí)數(shù)t滿足，求t的值教師：本題是10年江蘇卷的題目，請(qǐng)同學(xué)們思考解決方案學(xué)生討論，對(duì)于（1），焦點(diǎn)主要是要不要求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，還

6、是用向量表示對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量對(duì)于（2），焦點(diǎn)主要是坐標(biāo)代人運(yùn)算還是用運(yùn)算法則學(xué)生相互評(píng)點(diǎn)方法的優(yōu)劣，教師適時(shí)點(diǎn)撥，達(dá)成共識(shí)教師：請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步思考下面的問題變題1 在問題2的條件下，設(shè)，當(dāng)最小時(shí)，求的值學(xué)生討論，共識(shí)為將平方后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值學(xué)生G：受問題1研究的啟發(fā)，可以從研究向量的幾何意義入手解決，如圖，要使取得最小值，只有向量與垂直就可以了，解題速度會(huì)快很多，即，教師：這是一個(gè)創(chuàng)造性的解法，同學(xué)G的方法可以推廣到一般的情形，即，取得最小值其實(shí)問題2（2）的幾何意義也與它一樣由此可見很多處理問題的方法是相通的請(qǐng)看08年天津卷中的問題變題2 在平行四邊形ABCD

7、中，求學(xué)生H：?jiǎn)栴}2（1）的討論，給我影響很深，求具體點(diǎn)的坐標(biāo)比較麻煩，我用向量表示，即，很快求得，從而教師：很好，那到一個(gè)不熟悉的題目時(shí)，我們要多想想以前有沒有類似的問題，可不可以化歸為以前所研究過得問題，這是一種數(shù)學(xué)意識(shí)我們?cè)倏?1年遼寧卷的問題變題3 若a，b，c均為單位向量，且，求的最大值學(xué)生思考，討論學(xué)生I通過實(shí)物投影展示解法：受前面的啟發(fā)，由，我把問題置于直角坐標(biāo)系中舉行研究，不妨設(shè)，由，代入可化簡(jiǎn)得，且，向量c在如圖所示的圓弧上運(yùn)動(dòng)，又向量，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C與A或B重合時(shí)，的最大值為1教師：同學(xué)I的解法非常美，通過建系，揭示了問題的幾何背景，達(dá)到了數(shù)與形的完美結(jié)合，拓展了向量研究的

8、空間，體現(xiàn)了同學(xué)們?cè)谙蛄垦芯恐械膭?chuàng)新精神這種探究方法可以在解決平面向量綜合問題中得到充分應(yīng)用賞析：運(yùn)用變式教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神創(chuàng)新，即通過舊的知識(shí)，新的組合，得出新的結(jié)果的過程“新”可以是與別人不一樣的，也可以是自己新的提高，它突出與眾不同創(chuàng)新學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的“問題”意識(shí)，學(xué)生有疑問，才會(huì)去思考，才能有所創(chuàng)新在課堂中運(yùn)用變式教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生多側(cè)面，多角度，多渠道地思考問題，讓學(xué)生多探討，多爭(zhēng)論，能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維創(chuàng)造性，大大地激發(fā)了學(xué)生的興趣，從而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力教師：根據(jù)所給具體問題的條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是我們數(shù)學(xué)解題研究的重要課題，讓我們一起來討論11年湖南卷中的

9、一個(gè)向量問題3互動(dòng)探究，拓展空間問題3 在邊長(zhǎng)為3的正ABC中，求學(xué)生根據(jù)題意，經(jīng)過小組討論，主要產(chǎn)生了三種解法一是選擇向量為基底，將用表示進(jìn)行計(jì)算；二是以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC和AD分別為x軸和y軸，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算；三是用投影法，將向量投影到向量，利用幾何意義進(jìn)行計(jì)算三種方法都能比較快地求得教師：剛才同學(xué)們的這些解法，從不同的角度解決了這個(gè)問題，希望學(xué)生通過三種解法的比較，學(xué)會(huì)根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇最優(yōu)的方法解題下面請(qǐng)同學(xué)們思考一下，能否根據(jù)剛才的研究，在問題3的基礎(chǔ)上，自己改編出一些新的問題呢？學(xué)生思考與討論學(xué)生J：變式1 “在等腰ABC中，且3，M是線段AD上任一點(diǎn)，求”用投影法，

10、學(xué)生K：變式2 “在邊長(zhǎng)為3的正ABC中，求”仿問題3建系的方法，此時(shí)，同學(xué)們非常激動(dòng)，為他們喝彩教師：兩位同學(xué)出了兩個(gè)非常精彩的題目，其中K同學(xué)所出的題目恰好與2011年上海卷理科第11題完全一樣，由此可見高考題就是這樣得來的由同學(xué)J的題目，我也編了一個(gè)較難的題目變式3 已知點(diǎn)為的外心，且，求的值同學(xué)M：這個(gè)問題一點(diǎn)也不難，就是前面問題1的變題4，我把ABC特殊成直角三角形，外心O就是斜邊BC的中點(diǎn)，易得教師：同學(xué)M這種特殊化處理問題的方法非常好，在遇到一個(gè)比較復(fù)雜的問題時(shí)，我們往往先從簡(jiǎn)單的問題入手進(jìn)行研究，而且這樣的解法對(duì)處理填空題也非常有益但如果我強(qiáng)調(diào)ABC不是直角三角形呢？這個(gè)問題留

11、給同學(xué)們課后思考，相信同學(xué)們有智慧一定能解決這個(gè)問題最后，由同學(xué)們自主總結(jié)本節(jié)課的收獲賞析：運(yùn)用變式教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性課堂教學(xué)效果很大程度上取決于學(xué)生的參與情況，這就首先要求學(xué)生有學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，有了學(xué)習(xí)主動(dòng)性才能積極參與學(xué)習(xí)增強(qiáng)學(xué)生在課堂中的主動(dòng)學(xué)習(xí)意識(shí)，使學(xué)生真正成為課堂的主人，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的趨勢(shì)變式教學(xué)使一題多用，多題重組，給人一種新鮮、生動(dòng)的感覺，能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，掌握問題的發(fā)展規(guī)律，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)認(rèn)識(shí)從感性上升到了理性的層面，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和思維的深刻性、創(chuàng)造性因而能夠產(chǎn)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的動(dòng)力，保持其參與教學(xué)活動(dòng)的興趣和熱情二、對(duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課如何進(jìn)行變式教

12、學(xué)的幾點(diǎn)思考教育心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生的思維過程往往是從問題開始的學(xué)習(xí)問題從本質(zhì)上說就是一個(gè)一個(gè)問題解決的過程，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)新內(nèi)容時(shí)，如果原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不足以同化新情景，那么他們就面臨一個(gè)新問題學(xué)生在問題解決過程中，不僅能應(yīng)用和獲取知識(shí)與技能，經(jīng)歷問題解決的過程，而且還能了解問題解決的科學(xué)方法，逐漸形成正確的態(tài)度和樹立正確的觀點(diǎn)一個(gè)好的問題設(shè)計(jì)不僅僅是創(chuàng)設(shè)一個(gè)好的情景，更主要是為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的開展找到一個(gè)好的載體，更有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行解決問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)解決問題的能力問題變式就是以原題為中心，向它蘊(yùn)涵的方方面面進(jìn)行拓展和深化，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性通過對(duì)具有示范性、輻射性的問題變式及

13、訓(xùn)練，能更好的使學(xué)生加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解和掌握相關(guān)解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)情境化意識(shí)和提高學(xué)生辨認(rèn)情境中所含知識(shí)的能力等，從而使其思維能力得以發(fā)散、知識(shí)信息的遷移能力等得到鍛煉和提高，收到舉一反三的效果對(duì)實(shí)踐過程的反思，我個(gè)人認(rèn)為在現(xiàn)行教材、現(xiàn)行班級(jí)和現(xiàn)階段開展問題變式學(xué)習(xí)要注意以下幾點(diǎn)：1緊扣大綱，立足教材，選準(zhǔn)具有示范性、發(fā)散性、重點(diǎn)突出的典型問題，體現(xiàn)知識(shí)的橫向聯(lián)系，具有延伸性，乃至可進(jìn)行一題多變這樣的問題進(jìn)行變式后，能有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探尋規(guī)律，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力2問題變式教學(xué)要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，富有啟發(fā)性和科學(xué)性教學(xué)中讓學(xué)生在主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、主動(dòng)探索中，完成“理解變式應(yīng)用”的認(rèn)知過程，發(fā)展思維和建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系3問題變式是核心和關(guān)鍵教學(xué)時(shí)要努力做到變中求“活”、變中求“新”、變中求“異”、變中求“廣”、避免簡(jiǎn)單的重復(fù)；變式要由易到難、層層遞進(jìn)，讓問題處于學(xué)生思維水平的最近發(fā)展區(qū)4問題變式的選題不僅考慮知識(shí)功能，而且