從非線性動(dòng)力學(xué)到復(fù)雜系統(tǒng)

1、第二講動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的形態(tài)21 常微分動(dòng)力系統(tǒng)設(shè)狀態(tài)變量 x, y, z ，常微分動(dòng)力系統(tǒng)有三種dxxF ( x)一維dtxF ( x, y)二維y G( x, y) x F ( x, y, z)y G ( x, y, z) 三維zH ( x, y, z)由于這些方程的右端不顯含時(shí)間t，因此稱為自治系統(tǒng)， 系統(tǒng)的解有時(shí)稱為軌跡，軌道。如果狀態(tài)變量 x 表示位移的話，那么 xdx表示速度為零，就是不動(dòng)點(diǎn)，又0dt叫平衡點(diǎn)或者奇點(diǎn)。平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性： 如果給系統(tǒng)以小擾動(dòng)使其離開平衡點(diǎn)，根據(jù)其運(yùn)動(dòng)趨勢來判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，遠(yuǎn)離則不穩(wěn)定，重新靠近則穩(wěn)定。以一維系統(tǒng)為例，設(shè)其平衡點(diǎn)為x* ，那么滿足F ( x*

2、 ) 0給一個(gè)小的擾動(dòng)量 x' ，那么 xx *x' 代入x' F (x * x' ) F( x* )dF | *x'dF | * x'dFdx xdxx設(shè) sdx |x* ，那么上面方程的解為x' (t)x'(0)est可以看出如果 s >0 則，擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)離，反之則靠近平衡點(diǎn)，因此利用平衡點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就可以判定一維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。二維系統(tǒng)相對(duì)復(fù)雜些，其平衡點(diǎn)為（x* , y* ) ，滿足F ( x*, y*)0G( x*, y*)0給一個(gè)小的擾動(dòng)量( x' , y' ) ，那么xx *x'y

3、y *y'xF ( x, y)x' F ( x*x' , y*y' )ax'by'代入G( x, y)，得到x' , y*y' )cx'dy'yy' G ( x*寫成矩陣微分方程XAXFF這里有 Jacobi矩陣AxyGGxy那么基礎(chǔ)解矩陣為ttr ( A)dsX (t ) X (0)e 0( x * , y * )實(shí)際上我們可以像一階線性常微分方程把解寫成向量形式x(t )e t v代入矩陣微分方程得到Avv ，可以看出就是求矩陣A 的特征值和特征向量，通解寫為c1e 1 t v1c2e 2 t v2cn

4、 e n t vn對(duì)于復(fù)特征值，我們有定理：若 z(t)x(t )iy (t) 是方程 ZAZ 的解，這里 x(t) 和 y( t) 是實(shí)值函數(shù)，那么 x(t ) 和y(t) 也是方程的解。特別是復(fù)特征值時(shí)，i ，對(duì)應(yīng)特征向量 vu iw ，那么 e t (cos( t)u sin( t) w) 和 e t (sin( t )ucos( t) w) 都是方程的解。2.2 平衡點(diǎn)的分類中心：系統(tǒng)的解是周期性軌跡，特點(diǎn)是特征值純虛數(shù)。例子 微分方程 x4x042i ，0 ，矩陣形式為 XX ，其特征值為102i0對(duì)應(yīng)的特征向量 V，因此我們得到兩個(gè)解01x( t)202 cos(2t)cos(2t

5、 )sin(2t)sin(2t )01x( t)202sin(2t)sin(2t)cos(2t)cos(2t)01可以看出其周期性為。function out1 = nlncycle (t,y)out1 = y(2); (1-y(1)2)*y(2) - y(1);t,y = ode45('nlncycle',0 pi,2; 0);% t,y = ode45('nlncycle',0 pi,1; 0);plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.')figureplot(y(:,1),y(:,2)10.80.60.4

6、0.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1.5-1-0.500.511.52-2這實(shí)際是無阻尼振動(dòng)，在平衡點(diǎn)（0,0）附近，給以小擾動(dòng)，那么系統(tǒng)一直沿著這個(gè)閉合周期軌道運(yùn)動(dòng)，是穩(wěn)定的。焦點(diǎn)：微分矩陣形式為45X ，特點(diǎn)是特征值共軛虛數(shù)，實(shí)部小于X25零穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。其特征值為14i ，對(duì)應(yīng)的特征向量 V345i，0因此我們得到兩個(gè)解x(t) et 3cos(4t ) 4sin(4t )， x(t )et3sin(4t )4cos(4t)5cos(4t )5sin(4t)這兩個(gè)解的幅值部分是指數(shù)衰減函數(shù)e t ，而三角函數(shù)的周期是/ 2 ，就是隨著時(shí)間的增加，系統(tǒng)的解每旋轉(zhuǎn)一周則收縮為

7、原來的e / 2 ，因此對(duì)于平衡點(diǎn)（0，0），給個(gè)初始擾動(dòng)之后， 系統(tǒng)會(huì)慢慢趨向平衡點(diǎn)， 因此稱為焦點(diǎn)， 并且是穩(wěn)定的。functionout1 = focus(t,y)out1 = -4*y(1)+5*y(2); -5*y(1)+2*y(2);t,y = ode45('focus',0 10,2; 0);>> plot(y(:,1),y(:,2)10.50-0.5-1-1.5-2-1-0.500.511.52-1.545討論： XX ，其特征值為14i ，那么是什么運(yùn)動(dòng)？穩(wěn)定性如何？52不穩(wěn)定的焦點(diǎn) 。001例子：X111X1421cos(2t)2 sin(2t

8、)sin(2t )2 cos(2t)其解為 et 1， e tcos(2t )2 sin(2t ) ， e tsin( 2t)2cos(2t)15cos(2t )5sin(2t)由于一個(gè)方向上是增長的，所以也是不穩(wěn)定焦點(diǎn)，三維空間的。functionout1 = focus3(t,y)out1 = y(3); y(1)+y(2)-y(3); -y(1)+4*y(2)-2*y(3);>> t,y = ode45('focus3',0 3,-0.1;-0.1;-0.1); % >> t,y = ode45('focus3',0 3,0.1;0

9、.1;0.1);>> plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)>> t,y = ode45('focus3',0 3,2;-2;0);>> t,y = ode45('focus3',0 3,1;-1;5);543210-1-2-33231201-10-1-2-2-3-3結(jié)點(diǎn)：所有系統(tǒng)解（不同的初始點(diǎn)）都?xì)w結(jié)于平衡點(diǎn)，則是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。特點(diǎn)是特征值實(shí)數(shù)，小于零穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。211，通解例子：微分矩陣形式為 XX ，其特征值為10x(t ) et1ett， x( t)1t1functionout1 =

10、 node(t,y)out1 = -2*y(1)-y(2); y(1);t,y = ode45('node',0 10,1; 1);%取不同的初始值>> plot(y(:,1),y(:,2)43210-1-2-3-4-3-2-10123鞍點(diǎn) saddle：系統(tǒng)的解趨向平衡點(diǎn)，然后遠(yuǎn)離，即使趨近也是達(dá)到不了，無限接近，由于相圖類似鞍馬形狀， 所以叫做鞍點(diǎn)。 特點(diǎn)是特征值實(shí)數(shù)， 但是一正一負(fù)，都是不穩(wěn)定。132,4 ，解例子：微分矩陣形式為 XX ，其特征值為31x(t) e2t14 t 1， x(t )e11functionout1 = saddle(t,y)out1

11、 = y(1)+3*y(2); 3*y(1)+y(2);t,y = ode45('saddle',0 10,1; 1);%取不同的初始值>> plot(y(:,1),y(:,2)151050-5-10-15-20-100102030-30擬周期：有兩個(gè)或兩個(gè)以上的不可公約周期的系統(tǒng)的解是擬周期的。00100001例子：微分矩陣形式為XX ,這里特征值為i和2i ，這兩10000200個(gè)頻率11 和22 是不可公約的，因?yàn)橛袩o理數(shù)。functionout1 = quasip(t,y)out1 = y(3); y(4); -y(1); -2*y(2);>>

12、t,y = ode45('quasip',0 100,1; 0.2; -0.5; 1;);>> plot(y(:,1),y(:,2)0.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-0.500.511.5-1.52.3 非線性微分方程分析例子：非線性微分方程xxyyxy1分析步驟： 1）求平衡點(diǎn)x y xy 1可以解出兩個(gè)平衡點(diǎn)（ 1,1），（ -1，-1）2）平衡點(diǎn)類型判定對(duì)于平衡點(diǎn)（ 1,1），我們有 Jacobi矩陣FF11AxyGG=11x y ( x* , y* )特征值為2 ，因此一個(gè)方向伸長，一個(gè)方向收縮，是一個(gè)鞍點(diǎn)。對(duì)于平衡點(diǎn)（ -1,-1），我們有 Jacobi矩陣FF11AxyGG=11x y ( x* , y* )特征值為1i ，因此是一個(gè)穩(wěn)定的焦點(diǎn)。3）繪制相