彈性力學(xué)簡明教程下

1、Chapter 4 solution of plane problems in polar coordinates§4-1 equations of equilibriumXYXd一. 基本概念1 求解對象：圓形、扇形、鍥形等的平面問題，應(yīng)用非常普遍前面的討論都限于在Descartes直角坐標(biāo)系中，根據(jù)物體的形狀和邊界情況并不是都很方便，例如本章討論的軸對稱的一些問題，他們用極坐標(biāo)描述就比較方便。本章重點(diǎn)討論了工程中常見的厚壁筒、曲桿、尖劈等問題，特別是討論了圓孔附近的應(yīng)力集中和角及缺口尖端附近的應(yīng)力和位移的特征。2 圓周運(yùn)動：速度：，加速度：，這是高中學(xué)過的，如果在直角坐標(biāo)系下表述

2、不可能這樣方便的。然而：XYXXdd比較和，可知：。3 坐標(biāo)系及變量自變量，如圖所示。與書中所示圖大同小異，概念上是一樣的。極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)；自變量：。方向和正負(fù)的定義與直角坐標(biāo)系相同，即以坐標(biāo)系的正向?yàn)檎? 關(guān)注點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的比較A. 特點(diǎn)：隨動坐標(biāo)，徑向?qū)?yīng)X，切向?qū)?yīng)Y,不同點(diǎn)方向不同，但仍然正交。B.dr取代dx,取代C.基矢量之間的關(guān)系：證明: D. 梯度算子：。F. Laplace算子：。證明： 平面問題： G. 平面問題基本定義匯總二. 微元體應(yīng)力及相應(yīng)作用面積和作用面方向（與徑向的夾角）1. 微元體：縱向尺寸1或者無窮大；平面則不是矩形而為扇形，意味著徑向面積增大，切向方向改

3、變。2. 徑向面：3. 切向面：4. 體力（集度）：三. 徑向平衡方程的推導(dǎo)1. 各面上的力在徑向的投影：I. 徑向正應(yīng)力：后一項(xiàng)系面積增大所致。II. 徑向剪應(yīng)力：90度夾角，沒有投影III. 切向正應(yīng)力：這一點(diǎn)明顯不同于直角坐標(biāo)系，此乃角度變化所致。IV. 切向剪應(yīng)力：V. 體力：2. 平衡方程：五項(xiàng)合并并除以微元體面積可得：3. 與直角坐標(biāo)系比較多處一項(xiàng)四. 切向平衡方程的推導(dǎo)1. 各個面上的力在徑向的投影：I. 徑向正應(yīng)力：90度夾角，沒有投影II. 徑向剪應(yīng)力： 后一項(xiàng)系面積增大所致。III. 切向正應(yīng)力：IV. 切向剪應(yīng)力：角度變化所致。V. 體力：2. 平衡方程：五項(xiàng)合并并除以微

4、元體面積可得：3. 與直角坐標(biāo)系比較多出一項(xiàng)五. 力矩平衡方程：一直角坐標(biāo)系一樣，證明了剪應(yīng)力互等性。六. 合計(jì)：三個未知數(shù)，兩個方程。七. 利用基矢量相互間的關(guān)系直接推導(dǎo)平衡方程平面問題：如何理解？微元體面積和外法向改變?？臻g問題按方向推導(dǎo)對于平面問題，則可演化為上式書中的4-1式。如果是軸對稱問題，可化為書中式7-15第十一次。§4-2 幾何方程和物理方程一、 幾何方程的相關(guān)基本變量1. 坐標(biāo)系：同上，必須注意角度變化2. 位移（變形）：，相當(dāng)于u，v3. 應(yīng)變：二、 徑向位移產(chǎn)生的應(yīng)變(APB變至APB)1. 除縱向拉伸外，必須注意，此位移導(dǎo)致的形狀改變和相應(yīng)其它應(yīng)變變化。2.

5、 徑向應(yīng)變的定義：單位徑向長度的徑向變形，故表述簡單，與直角坐標(biāo)一致3. 切向應(yīng)變的定義；單位切向長度的切向變形：切向變形（拉長）：，對應(yīng)切向長度，故，明顯不同于直角坐標(biāo)系，是發(fā)散或角度變化引起的。4. 剪應(yīng)變定義：單位徑向長度和單位切向長度旋轉(zhuǎn)變形之和（轉(zhuǎn)角）：徑線旋轉(zhuǎn)：相應(yīng)長度dr，轉(zhuǎn)角：；切線旋轉(zhuǎn)（變銳）：增量，相應(yīng)長度 ,轉(zhuǎn)角；剪應(yīng)變：。三、 切向位移產(chǎn)生的應(yīng)變(APB變至APB)1. 除切向拉伸外，必須注意，此位移導(dǎo)致的形狀改變和相應(yīng)其它應(yīng)變變化。2. 徑向變形（拉伸）：沒有，故3. 切向變形：，對應(yīng)長度，故。4. 形狀改變：徑線旋轉(zhuǎn)（導(dǎo)致原有直角變銳）：拉長，相應(yīng)長度dr，轉(zhuǎn)角：；

6、切線旋轉(zhuǎn)：直接導(dǎo)致角點(diǎn)切向發(fā)生改變，導(dǎo)致原有直角變成，拉長，對應(yīng)長度r,故導(dǎo)致原有直角變大，因以變小為正， ；剪應(yīng)變：。四、 幾何方程合并上述切向位移和徑向位移導(dǎo)致的各項(xiàng)變形可得：（見書4.2）五、 直接利用應(yīng)變的定義和基矢量關(guān)系求得平面問題幾何方程如何理解？旋轉(zhuǎn)所致，也是面積和角度的改變。上述公式可以作如下的幾何解釋六、 物理方程由于坐標(biāo)系正交，物理方程與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，形式不變。平面應(yīng)力：，平面應(yīng)變：七、 邊界條件仍然是兩種為主要討論對象1 應(yīng)力邊界條件，同直角坐標(biāo)系，但是面力的表式不完全相同2 位移邊界條件，同直角坐標(biāo)系3 多連體情形對于常見的圓環(huán)形域或圓筒體，由于它是一個二連通域，所以

7、亦必須在以上方程中補(bǔ)充位移單值性條件。利用后文給出的公式展開可以得到圓環(huán)形域的位移單值性條件：式中a為園環(huán)的內(nèi)半徑，其中極坐標(biāo)的極點(diǎn)與圓環(huán)的幾何中心重合。 多孔問題則有表示通過閉合線積分求解后，任意一點(diǎn)的位移不變，式中的下標(biāo)i表示第i個內(nèi)孔，n表示內(nèi)孔數(shù)。§4-3 極坐標(biāo)系下的應(yīng)力函數(shù)和相容關(guān)系一 相容關(guān)系：由于Laplace算子直接由梯度矢量點(diǎn)乘得來，只要是正交坐標(biāo)系，那么自身與坐標(biāo)系的方式并無關(guān)系，因此作為的相容方程的Laplace表式，其形式必然保持不變，即二 應(yīng)力的應(yīng)力函數(shù)表示: 即存在應(yīng)力的應(yīng)力函數(shù)表示 §4-4 坐標(biāo)變換一. 復(fù)習(xí)與對應(yīng)（對比§2.3圖

8、2.4和式2.4復(fù)習(xí)）定義新的正交坐標(biāo)系，新（極坐標(biāo)系）舊（直角坐標(biāo)系）坐標(biāo)系之間存在關(guān)系： 通式： 據(jù)斜面應(yīng)力計(jì)算公式（2-4上下） 和斜面應(yīng)力矢量計(jì)算公式（2-3） 或 ，可以直接推出外法向?yàn)槊嫔系膽?yīng)力矢量：同樣可以得到推出外法向?yàn)槊嫔系膽?yīng)力矢量兩相合并，即有坐標(biāo)變換表式。二. 利用并矢推導(dǎo)：存在表式： 故 進(jìn)一步有 將上式在二維下展開：或 利用此式也可得到4-3節(jié)書中的相容關(guān)系表式。三. 逆變換：令,即可： 四. 材料力學(xué)講過，莫爾園復(fù)習(xí)二維應(yīng)力狀態(tài)下，在法線傾角為的斜截面上，應(yīng)力由上式可以計(jì)算，它們也可以看作是以為參數(shù)為參數(shù)方程。經(jīng)整理可得把兩式等號兩邊平方然后相加，得 可構(gòu)成一個應(yīng)力

9、圓或莫爾圓，如上圖所示。相應(yīng)斜面上的應(yīng)力計(jì)算如下主應(yīng)力下的三維應(yīng)力圓如下圖所示。第十二次§4-5軸對稱問題一、 采用極坐標(biāo)解的彈性平面問題： 1）軸對稱問題(實(shí)為中心對稱，如厚壁筒) 2）非軸對稱問題 楔或尖劈問題； 曲桿(圓環(huán))； 帶孔平板(應(yīng)力集中問題)。二、 軸對稱問題的特點(diǎn)：與角度無關(guān)（非自變量）：在有些問題中，應(yīng)力的分布對稱于通過坐標(biāo)原點(diǎn)；并垂直于z軸在這情況下，應(yīng)力與極角無關(guān)而僅是r的函數(shù)，且只有正應(yīng)力，由于對稱，剪應(yīng)力等于零。 三、 基本方程與重要關(guān)系式：應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù) 平衡方程 應(yīng)變與位移 相容方程 正好由兩重簡單Euler方程構(gòu)成，亦即四階歐拉型變系數(shù)常微分方程。重

10、要表式： ，變成一次導(dǎo)數(shù)關(guān)系。這些關(guān)系式比較重要。四、 邊界條件：邊界條件同樣應(yīng)當(dāng)與角度無關(guān)。與應(yīng)力有關(guān)的邊界：I. 應(yīng)力表式：（內(nèi)邊界），（外邊界）II. 應(yīng)力函數(shù)表式：通式（與直角坐標(biāo)系中的一致）：如采用作為邊界條件時，分別在r為常數(shù)的邊界上用它代替Rr及在為常數(shù)的邊界上用它代替R。五、 軸對稱問題應(yīng)力函數(shù)：1. Euler方程(數(shù)學(xué)預(yù)備)：2. 通解：令，或代入：，即：或者表述為r的函數(shù)，它具有通解形式，。其中，如果存在重根，則須相應(yīng)增加對數(shù)項(xiàng)，如則，（同學(xué)們可以自己證明一下）3. 本相容關(guān)系的特征根：仍令： 4. 故有通解：5. 應(yīng)力：也可如下證明：展開相容關(guān)系后有：令，或代入，防城變

11、成常系數(shù)微分方程其特征根方程為： 于是 相應(yīng)解為： 討論：實(shí)心板A和B該如何取值？如在坐標(biāo)原點(diǎn)沒有孔，常數(shù)A和B必須等于零，否則當(dāng)r0時應(yīng)力將變?yōu)闊o限大 因此，如在坐標(biāo)原點(diǎn)沒有孔；，而且沒有體積力，唯一可能的應(yīng)力對稱分布是兩個正應(yīng)力分量均是常量。板在其平面內(nèi)各方向均勻受拉或均勻受壓。六、 應(yīng)變和位移（平面應(yīng)力）： 1. 應(yīng)變：,2. 位移：（導(dǎo)讀）幾何方程：積分后可的位移表式（詳見書）：注意：I. 積分II. 由于涉及到剛體旋轉(zhuǎn)等因素，求位移時，不能忽略角度自變量III. 徑向位移的標(biāo)準(zhǔn)表式：，分析位移連續(xù)及位移法求解時可用。IV. H為剛體旋轉(zhuǎn)項(xiàng)，I為直角坐標(biāo)系中X方向的剛體位移，K為Y方向

12、的剛體位移3. 位移單值討論結(jié)合前兩個方程可得：其中后兩項(xiàng)為剛體運(yùn)動項(xiàng)。由于同一點(diǎn)可以用表示，上式表明位移多解，根據(jù)位移單值條件，這是不可能的，所以B0，實(shí)際上軸對稱問題，除剛體運(yùn)動項(xiàng)外，不應(yīng)當(dāng)存在切向位移。七、 平面應(yīng)變問題，同直角坐標(biāo)系的本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)換，略。§4-6園環(huán)問題或圓筒受均布壓力問題一、 園環(huán)問題狀態(tài)描述：無體力或體力在平面沒有分量；材質(zhì)：均勻連續(xù)；幾何尺寸：園環(huán)受力：，；邊界條件：，二、 確定系數(shù)1. 系數(shù)方程：將應(yīng)力表式代入邊界條件（剪應(yīng)力自然滿足，故不用） 2. 考慮到位移單值。B0，存在簡單的標(biāo)準(zhǔn)式： 3. 應(yīng)力： 這里可以看出應(yīng)力場的分解意義與效果。三、 討論1

13、. 疊加原理。內(nèi)外邊界面力可以分離。，內(nèi)壓問題： ；：空腔問題：；都是切向力大于徑向力，如圖所示。如果？實(shí)心體問題，與習(xí)題2-16比較2. 邊界條件驗(yàn)算，滿足3. 不同壓力作用下，邊界處切向分量的符號和意義。僅含內(nèi)壓力時，全場切向正應(yīng)力為拉，且內(nèi)部大于外部；僅含外壓力時，全場切向正應(yīng)力為壓，且外部大于內(nèi)部。4. 外圍全部為等值均布荷載：，與習(xí)題2.16比較5. （即），普通垌室問題： ；如果，則為純剪，顯然內(nèi)平衡力系對遠(yuǎn)端沒有影響，證實(shí)了圣維南原理。§4-7壓力隧道一、 性狀：無體力、混凝土圓筒置于山體中，山體可以看作無限大，圓筒空腔含有均勻內(nèi)壓，兩種介質(zhì)的平面應(yīng)變問題。二、 通解：

14、仍然是軸對稱問題，依兩種介質(zhì)分兩個區(qū)域利用上述解，待定系數(shù)。內(nèi)部砼體：；外部山體：三、 邊界條件：1. 混凝土：2. 土體：3. 接合部的連續(xù)條件（）：1) 接觸概念：光滑接觸（非完全接觸）、完全接觸、摩擦滑移接觸。2) 作用力和反作用力相等定律：因剪應(yīng)力都為零，相等要求自然滿足；相互間僅含法向作用力，根據(jù)應(yīng)力的投影計(jì)算，也就是要求相互間徑向應(yīng)力相等（切向正應(yīng)力不可能得出此條件）：3) 位移連續(xù)切向位移應(yīng)分滑移和不滑移討論，如果不滑移則剛體位移全部相等；徑向位移相等，剛體位移中平移項(xiàng)必須相等，得到一個方程；由于這是一個平面應(yīng)變問題，應(yīng)將泊松比和彈性模量轉(zhuǎn)換，于是兩彈性體各自的徑向位移表式為：

15、進(jìn)而即 共計(jì)四個方程、四個未知數(shù)。求解得于是應(yīng)力分布大體如圖所示。四、 多種介質(zhì)問題：同樣可解增加一種介質(zhì)，便增加了兩個待定系數(shù)，同時也增加了一個徑向正應(yīng)力相等的平衡方程和頸項(xiàng)位移連續(xù)方程，故這類問題均可求解。§4-8 園孔的孔口應(yīng)力集中 一、 極坐標(biāo)系下的常見雙調(diào)和函數(shù)：1. 方程：2. 形式：3. 根： ，如有重根，則增加項(xiàng)，如有重根，則增加項(xiàng)l 相關(guān)方程特征解令，代入可得故存在下列解的形式或者寫成雙曲線形式 如果為虛數(shù)或復(fù)數(shù)則解中包含三角函數(shù)。l 一般方程解的形式：將其代入，根據(jù)t的任意性，各項(xiàng)系數(shù)必須為零，求得，此解是常微分方程的延拓。感興趣的同學(xué)不妨利用上述表式對雙調(diào)和函數(shù)

16、的解和根作一番推導(dǎo)。l 討論：，如有重根，則增加項(xiàng)：設(shè)，則有故有特征根：。二、 應(yīng)用舉例之一無限大平板，中有小圓孔，受有均勻內(nèi)壓作用，求應(yīng)力分布？ 此問題邊界條件可寫為： 此問題為軸對稱與無關(guān)，n=0，屬與前述軸對稱問題結(jié)果完全一致。三、 應(yīng)用舉例之二圖示90°的V型槽中受一集中力的作用，求應(yīng)力分布？ 選基準(zhǔn)點(diǎn)A，并用A表示邊界可設(shè)，于是 代入邊界條件后成為 解方程后 即 求得應(yīng)力分量為 其余分量均為零。取r=a時可見 d為一常數(shù)，并如圖所示圓的直徑。當(dāng)r=0 時，r為無限大，此處有奇異性。 四、 園孔的孔口應(yīng)力集中狀態(tài)描述：1. 外部，內(nèi)部，無體力，均質(zhì)連續(xù)。2. 問題：有方有園，

17、到底采用什么坐標(biāo)系？3. 結(jié)論：園孔附近，極坐標(biāo)，遠(yuǎn)端等效為園（相當(dāng)于）；外圍，認(rèn)為園孔局部應(yīng)力集中，不考慮4. 本問題分析局部，選用極坐標(biāo)系。五、 遠(yuǎn)端邊界條件等效： 處：坐標(biāo)變換：， 其中第一項(xiàng)為水壓力項(xiàng)，可用軸對稱問題解決（如上圖所示），第二項(xiàng)為偏應(yīng)力項(xiàng)，軸對稱方法不再成立，注意：彈性力學(xué)經(jīng)常采用這種分析方法。Byq1等效邊界條件：處：六、 確定系數(shù)方法一：根據(jù)應(yīng)力邊界取：，代入求解。方法二：水壓力項(xiàng)，利用軸對稱問題求解： ；偏應(yīng)力項(xiàng)?。海肭蠼夥椒ㄈ築點(diǎn)力矩，故設(shè)，代入求解。注意一個原則：為了利用已有的調(diào)和函數(shù)形式，三角函數(shù)必須化為一次項(xiàng)。總之：，將及的通解形式代入邊界條件求解即可

18、（協(xié)調(diào)方程就不必了）七、 應(yīng)力集中問題（以兩邊受拉為例）1 詳細(xì)解（4-9-6）2 最大值：3 Y軸切應(yīng)力分布4 X軸切向應(yīng)力分布：注意拉應(yīng)力的存在及相應(yīng)作用區(qū)，由于砼不抗拉，設(shè)計(jì)是必須考慮是否加筋§4-10楔形體問題PYB½AX一、 極點(diǎn)受力問題1 問題描述：I、 契形體幾何尺寸：夾角：II、 受力（無體力）：集中力P，方向：與軸線成III、 邊界條件：2 利用量綱分析假定應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力量綱：N/L2即：ML-1T-2,自變量：P、r、有量綱量僅P（M T-2）、r（L），故唯有：，而力矩亦只有：故應(yīng)力函數(shù)宜采用3 利用邊界條件假定應(yīng)力函數(shù)（詳細(xì)講，尤其起點(diǎn)力矩問題，合剪力

19、問題，大于90度時桿的旋轉(zhuǎn)方向問題） A點(diǎn)邊界條件：;B點(diǎn)邊界條件：，故4 解的形式：，兩個重根，各自須增加項(xiàng)，亦即忽略沒有影響的一次項(xiàng)，兩個未知數(shù)。5 應(yīng)力表式 ，沒有切向應(yīng)力和剪應(yīng)力。6 邊界條件檢驗(yàn)：兩邊自然成立，但頂點(diǎn)條件沒有引用。7 系數(shù)確定：利用頂點(diǎn)平衡條件。由于是集中荷載，必須采用積分方式求取平衡（圣微南原理）兩個平衡方程，兩個未知數(shù)。作一的圓弧。則：,問題得解。8 利用應(yīng)力函數(shù)在B點(diǎn)的邊界條件（兩個方程）：直接代入亦可求解（同學(xué)們練習(xí)）。注意x，y的一次項(xiàng)無所謂，如果刻意求解，亦可用A點(diǎn)邊界條件確定，問題是沒有這個必要，這也是應(yīng)力函數(shù)或力矩起始點(diǎn)可以隨機(jī)確定的一個原因，因?yàn)樵黾?/p>

20、一個常數(shù)，也只能多增加一個旋轉(zhuǎn)量而已。二、 極點(diǎn)受力偶作用問題利用邊界條件假定應(yīng)力函數(shù)： A點(diǎn)邊界條件：;B點(diǎn)邊界條件：，故 同上可解。三、 一邊受均布垂直荷載問題（設(shè)為A點(diǎn)所在面） 坐標(biāo)系改為書中所示，即x軸在A面。利用邊界條件假定應(yīng)力函數(shù)： B點(diǎn)邊界條件：;A點(diǎn)邊界條件：，故，故代入邊界條件，四個方程，四個未知數(shù)。當(dāng)然，利用應(yīng)力邊界條件亦可。如書中所示。§4-10半空間集中荷載作用問題，代入(4-19-6)，可得。位移計(jì)算?；疖嚭奢d。對應(yīng)真實(shí)問題的條形荷載。§4-8圓弧型曲梁的純彎問題一、問題描述：無體力、雖非軸對稱，但也是極角無關(guān)問題，而§4-5的內(nèi)容同樣可

21、用二、受力邊界（圖示）：四個面均應(yīng)涉及，主邊界：BC、DA，次邊界：AB、CD1. BC面：2. DA面：3. AB面：（）4. CD面：（）5. 所有各面：切向應(yīng)力恒等于零三、確定系數(shù)的相關(guān)方程本問題的應(yīng)力與極角無關(guān)，故除位移單值所確定的表式外，可以借用軸對稱問題的全部表式，亦即存在應(yīng)力表式：應(yīng)力函數(shù)：根據(jù)邊界條件存在如下方程：BC面（r=b）：DA面（r=a）: CD面（）AB面（）剪應(yīng)力和各面的切向面力自然滿足。合力積分分析（注意：）：恒成立合力矩分析：即： 注意：1. 實(shí)際上，引用應(yīng)力函數(shù)的邊界條件，可以直接得出此式（因具體的應(yīng)力函數(shù)表式，這樣更準(zhǔn)確。2. 討論另一個邊界條件，極坐標(biāo)系

22、下演變?yōu)椋鹤匀粷M足，這是軸對稱問題的特點(diǎn)。四、方程整理：三個未知數(shù)，三個方程，問題得解。五、討論：6. 與軸對稱問題相比，7. 切向位移：，與時不相同，由于是開口，故允許，與園環(huán)不同；此式還表明材料力學(xué)的平截面依然成立。8. 兩端正應(yīng)力，集中滿足，應(yīng)力分布圖見圖4.7.2。§4-9旋轉(zhuǎn)碟問題二， 問題描述：1. 存在慣性體力（思考：加速度如何得來：），相當(dāng)于有體力問題2. 軸對稱問題。三， 平衡方程：四， 應(yīng)力函數(shù)分析引入應(yīng)力函數(shù)，則 五， 相容關(guān)系及應(yīng)力函數(shù)說明這里的應(yīng)力函數(shù)表述已不同于從前（），故相容關(guān)系需要重新推導(dǎo)，仍從應(yīng)變?nèi)胧帧⑽锢矸匠毯蛻?yīng)變表式代入，即得新的相容關(guān)系： 據(jù)

23、上式即可求得應(yīng)力函數(shù)六， 應(yīng)力和位移（略）注意：1. r0處，應(yīng)力不可能無限大，所以B02. 由于表式和意義并不同于原應(yīng)力函數(shù)得定義，常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)不可忽略3. 這里介紹了一種新的應(yīng)力函數(shù)推導(dǎo)與分析方式，由此可以看出應(yīng)力函數(shù)的應(yīng)用精髓（結(jié)束講課）§4-11極坐標(biāo)系下的其它半逆解法舉例舉例，無限大平板的小園孔周邊，受均勻切應(yīng)力的作用，求版中應(yīng)力分布。內(nèi)邊界方程：分析：作一圓圈，力矩必須平衡，故，于是，代入方程和邊界條件檢驗(yàn)，成立，問題得解。如果用半逆解法，令，代入各方程和邊界條件，亦可成立。第八章 空間問題基本理論§8-1 平衡方程一、 平面問題復(fù)習(xí)1. 坐標(biāo)系2. 微元體3

24、. X方向平衡方程4. Y方向平衡方程二、 空間問題1. 坐標(biāo)系2. 六面微元體3. Z方向平衡方程4. 力矩平衡結(jié)果：三、 平衡方程的不同表示方式1. 符號表示法:2. 算子和矢量表示法:§8-2任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一、 四面體的平衡：1. 坐標(biāo)系和圖示2. 外法向及方向余弦I、 外法向概念：垂直于物體切面，指向物體外側(cè)II、 方向余弦的定義：外法向在坐標(biāo)軸上的投影III、 （附）平面法向方向余弦的意義： 證明思路：1. 坐標(biāo)原點(diǎn)到平面內(nèi)任意一點(diǎn)構(gòu)成的矢量，與該平面外法向的投影均為原點(diǎn)到該平面的距離d2. 平面內(nèi)任意兩點(diǎn)之間構(gòu)成的矢量在法向上的投影為零，即：設(shè)：，則而由原方程知：由于點(diǎn)

25、的任意性，必有： ，or ，得證。3. 面積投影：斜面面積：，三面面積：4. 力系平衡：面力、體力注意：這里力的量綱與應(yīng)力完全相同。二、 任意面上應(yīng)力邊界條件的表述方式： ，其中各值均為面上值。三、 任意面上的應(yīng)力（）表述：法向應(yīng)力：為各分力在法向上投影之和： 切向應(yīng)力：坐標(biāo)變換：§8-3 主應(yīng)力一、主應(yīng)力及主應(yīng)力方向：定義：應(yīng)力與該方向矢量的點(diǎn)乘并不改變該方向，即：，其中為該方向的方向余弦。為主應(yīng)力，為主應(yīng)力方向。主應(yīng)力平面不得有剪應(yīng)力。表式：，要求系數(shù)行列式據(jù)此可得如下求解方程：主應(yīng)力表式：求得三個主應(yīng)力或者特征值以后，聯(lián)立任意兩個方程以及即可求得三個主應(yīng)力方向二、應(yīng)力不變量、靜

26、水壓力 第一不變量：，就是靜水壓力，對應(yīng)張量為球形應(yīng)力張量第二不變量： 第三不變量：（講課結(jié)束）三、偏斜應(yīng)力張量§8-4 最大和最小應(yīng)力一、 最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力,一般表示：二、 最大剪應(yīng)力、最大剪應(yīng)力平面：，平面：與所在平面構(gòu)成450夾角（推導(dǎo)略，但解釋一下最大最大與最小及所對應(yīng)的平面）§8-5 幾何方程、剛體位移、體應(yīng)變一、 幾何方程：二、 剛體運(yùn)動項(xiàng)：定義：不引起內(nèi)部變形的位移；，六個方程，存在六個待定系數(shù)可以推導(dǎo)（略）：，六個待定系數(shù)，符合剛體運(yùn)動所需未知數(shù)三、 體積變形：§8-6 任意一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)一、 任意面上的正應(yīng)變和剪應(yīng)變：類似應(yīng)力張量，但注意：

27、二、 應(yīng)變不變量，同應(yīng)力張量三、 偏斜應(yīng)變§8-7 物理方程一、物理方程1. 通用表式：（略）2. 簡單表式： ，3. 拉美常數(shù)表式： ，4. 各向異性體的表式廣義虎克定律：，系數(shù)由3×3×3×3個常數(shù)，由于對稱性，但實(shí)際只有36個常數(shù)而各向同性材料則只需兩個彈性常數(shù)。二、彈性常數(shù)之間的轉(zhuǎn)換及定義：5. 不同表式之間的轉(zhuǎn)換推導(dǎo)：（現(xiàn)推）6. 彈性常數(shù)之間的相互關(guān)系三、方程和未知數(shù)總結(jié)： 未知數(shù)：位移3、應(yīng)力6、應(yīng)變6 方程：平衡3、幾何6、物理6 如果考慮力矩平衡方程，那么未知數(shù)加3,平衡方程加3四、邊界條件：類似平面問題 ，但任何一點(diǎn)應(yīng)力邊界由三個方向

28、三個方程組成，位移同樣。應(yīng)力邊界條件位移邊界條件：§88 軸對稱問題和球?qū)ΨQ問題一、 平面極坐標(biāo)問題復(fù)習(xí)：1、 平衡方程的獲得：r方向，與直角坐標(biāo)相比增加項(xiàng)，原因：面積和方向改變方向：與直角坐標(biāo)相比增加項(xiàng)，原因：方向和面積改變2、 幾何協(xié)調(diào)方程：與直角坐標(biāo)相比，增加項(xiàng)，面積改變；增加項(xiàng)，角度旋轉(zhuǎn)二、 軸對稱問題的平衡方程：1、 平面軸對稱問題：無極角相關(guān)項(xiàng)，無剪應(yīng)力項(xiàng)，方程：2、 空間問題：柱坐標(biāo)：r、z無無極角相關(guān)項(xiàng)，無剪應(yīng)力項(xiàng)，對求導(dǎo)為零，方向的平衡方程自然滿足，不予考慮。z方向應(yīng)力對另外兩個方向的力系平衡與直角坐標(biāo)一樣，故r方向增加項(xiàng)，r方向平衡方程：同平面問題，由于r方向微元

29、體面積改變，對z方向力系平衡增加，其余同直角坐標(biāo)系，故z方向：三、 軸對稱問題的幾何方程類似平面問題：四、 軸對稱問題的物理方程正交系，形式不變，但對于軸對稱，由于沒有和，各自只有四個變量，故可以簡化：共計(jì)：應(yīng)力4、應(yīng)變4、位移2八個未知數(shù)；方程：、平衡2、幾何4、物理4。五、 球?qū)ΨQ問題的平衡方程球坐標(biāo)：R、對稱問題：應(yīng)力應(yīng)變：，位移：uR，這里、等價，統(tǒng)一用T代替，共計(jì)5個未知數(shù)。無無極角相關(guān)項(xiàng)，無、剪應(yīng)力項(xiàng)，對、求導(dǎo)為零，和方向的平衡方程自然滿足，不予考慮僅r方向需要討論平衡。如同平面軸對稱，R方向力的平衡必須考慮正向面積變化和側(cè)向方向變化，但此時涉及兩個地位相同的切面，故增加量加倍，即

30、存在方程： 六、 球?qū)ΨQ問題的幾何方程 同平面軸對稱問題：七、 球?qū)ΨQ問題的物理方程 八、 球?qū)ΨQ問題總結(jié)：5個未知數(shù)、5個方程。( 講課結(jié)束)Chapter 9 空間問題的解答通知：考試時間：2003年11月14日（第11周星期五）晚7:009:30地點(diǎn)：西五413、414,要求老師提前30分鐘到達(dá)。聯(lián)系人：陳老師，電話：87541714剩余課時：10月27/30,11月3/6/10/13,共六次剩余講課安排：空間問題解答理論一次，扭轉(zhuǎn)兩次，薄板彎曲兩次，機(jī)動一次，答疑和習(xí)題課只能另行安排。本次彈性力學(xué)學(xué)習(xí)必須掌握的主要內(nèi)容：一、 彈性力學(xué)基本假設(shè)及應(yīng)用背景二、 應(yīng)力應(yīng)變定義及相關(guān)概念，坐標(biāo)

31、變換，任意面上的應(yīng)力 三、 平面問題、空間問題（笛卡兒坐標(biāo)、極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)）求解體系及求解路線四、 邊界條件的數(shù)學(xué)表述五、 平面問題應(yīng)力函數(shù)求解法（笛卡兒坐標(biāo)、極坐標(biāo)）六、 等截面桿的扭轉(zhuǎn)問題，薄膜比擬法概念七、 薄板彎曲問題附：國立臺灣大學(xué)應(yīng)用力學(xué)研究所課程設(shè)置：543 M5110 彈性力學(xué)（一）任課教師：郭茂坤、劉佩玲 （應(yīng)力館318、307室）上課時間：二 (3, 4)、四 (2)上課地點(diǎn)：應(yīng)力館111、113教室學(xué) 分 數(shù)：3 學(xué)分評分標(biāo)準(zhǔn)：期中考 35%、期末考 35%、作業(yè) 30%課程介紹：當(dāng)物體受外力作用時，物體內(nèi)部會產(chǎn)生抵抗力，而且物體形狀會產(chǎn)生變化。若外力移除後，物體恢復(fù)原狀

32、，稱為彈性行為；若外力過大，致使物體在外力移除後，無法恢復(fù)原狀，則為非彈性行為。一般工程材料在服役時，通常都在彈性範(fàn)圍內(nèi)。本課程的主旨在討論彈性物體受外力作用時，物體變形及內(nèi)部應(yīng)力的分析方法。預(yù)備課程：材力、應(yīng)用數(shù)學(xué)、張量課程綱要：1. Kinematics of Deformation (3 weeks) 2. Stress Analysis (2 weeks) 3. Constitutive Laws (2 weeks) 4. Formulation of Elasticity Problems (1 week) 5. One-Variable Problems (1 week) 6. T

33、wo-Dimensional Problems (3 weeks) 7. Torsion Problems (1 week) 8. Bending Problems (1 week) 9. Plate Problems (1 week) 課程目標(biāo)：課程結(jié)束時，修課同學(xué)應(yīng)具備以下能力：1. 能以各種不同的應(yīng)變量來描述物體變形(deformation gradient, stretching tensor, Cauchy-Green strain tensor, Lagragian strain tensor, Eulerian strain tensor, infinitesimal strai

34、n tensor, principal strains)，了解各種應(yīng)變量的轉(zhuǎn)換方式及其物理意義，並知道應(yīng)變需滿足那些協(xié)和條件(Compatibility)。 2. 了解stress vector與stress tensor之定義與關(guān)係，主應(yīng)力及最大剪應(yīng)力計(jì)算方法，以及力平衡方程式。 3. 了解hyperelastic材料及其組成律(generalized Hookes law)，了解各種對稱性材料的組成律，並能推導(dǎo)等向性材料各材料常數(shù)的換算公式。 4. 能列出待分析問題的統(tǒng)御方程式(直角、圓柱、球座標(biāo))及邊界條件。 5. 能分析單自變數(shù)的問題，如球殼受內(nèi)外壓的球?qū)ΨQ問題。 6. 能分析平面應(yīng)變

35、、平面應(yīng)力等二維問題，並能以Airy methd解題。 7. 了解桿件兩端受扭力作用的分析方法。 8. 了解桿件受純彎矩作用或懸壁梁受集中載重作用的分析方法，以及Timoshenko梁理論。 9. 了解平版的分析方法 (如果上課來得及教完)。 參考書：1. 應(yīng)力所彈性力學(xué)講義(置於iamechanics/iam300/彈力一/講義中) 2. Atkin and Fox, An Introduction to the Theory of Elasticity, Longman, 1980. 3. Timoshenko and Goodier, Theory of Elasticity, 2nd

36、Ed. 4. Sokolnikoff, Mathematical Theory of Elasticity. 5. Fung, Foundation of Solid Mechanics.9-1 位移法求解一般空間問題：15個未知數(shù)、15個方程。求解方法有：位移法、應(yīng)變法、應(yīng)力法，其中以位移法常用，因?yàn)樗雌饋碇挥腥齻€未知數(shù)。一、 本構(gòu)方程常用形式：， 二、位移表示的平衡方程：1一般形式，此表式完全等同于（9.1.3）（中文8-2）2.lame方程，這就是lame方程。3.形變和體變位移被分為有源（無旋，體變）、無源（有旋，形變）兩部分。體力為慣性力時：，這就是縱波和橫波的波動方程或振動方程4

37、.位移特點(diǎn)： a常體力問題體應(yīng)變?yōu)檎{(diào)和函數(shù)：b普通位移為雙調(diào)和函數(shù)：對求導(dǎo)兩次即加算子，可得，各位移分量為雙調(diào)和函數(shù)。三、軸對稱問題（只講結(jié)論）：基本公式：；，物理方程：, or ，其中，兩個未知數(shù)，兩個方程。四、球?qū)ΨQ問題：（只講結(jié)論） 基本公式：，代入可得（9-1-7）式，一個未知數(shù)、一個方程，亦可（復(fù)雜）無體力時：，令代入，可求；有體力問題同學(xué)們不妨一試五、邊界條件 為了方便，依原樣，力是力，位移是位移。 9-2半空間受重力和均布荷載問題（詳見書，直角坐標(biāo)系應(yīng)用）思路：由于平面對稱性只有縱向位移w縱向平衡方程求得縱向位移（包含兩個未知數(shù)）頂面力邊界確定一個系數(shù)。底部邊界位移，確定另外一個

38、系數(shù)。注意概念：應(yīng)力比，側(cè)壓力系數(shù)。注意h的含義，z大于h又如何？h無窮大又如何？真實(shí)情況1.定一個近似的底部邊界，2.題中條件不現(xiàn)實(shí)，假如真實(shí)這樣，我們可以把地球推走，自然w就無窮大，3.力系平衡，必須有一個位置提供反力，這個部位可以稱之為固壁，從而z只能比h小，也只有這樣問題才有意義。所以書中描述不準(zhǔn)確。9-3空心球受均勻壓力問題（詳見書，球?qū)ΨQ問題應(yīng)用）9-4位移函數(shù)、位移勢（略），但注意，前面既已推導(dǎo)出應(yīng)變是雙調(diào)和函數(shù)或調(diào)和函數(shù)，此解法必然存在。9-5拉甫和伽遼金位移函數(shù)（略），軸對稱空間問題。9-6半空間受法向點(diǎn)荷載問題（boussinesq解）一、 問題描述：1. 基本特征：無體力

39、、軸對稱2. 坐標(biāo)系選取，如書中圖所示3. 受力特征及力邊界條件臨空面非奇異點(diǎn)正應(yīng)力和剪應(yīng)力為零：無窮遠(yuǎn)處應(yīng)力為零：同一平面（任意）軸向應(yīng)力的合力與頂部集中構(gòu)成平衡力系：（注意：到底是加P還是減P？）4. 位移邊界條件：無窮遠(yuǎn)處位移為零：二、 求解過程：復(fù)雜(略)三、 結(jié)果驗(yàn)證：1. 平衡方程：2. 邊界條件：四、 討論：1. 水平面上任意一點(diǎn)的位移：2. 圣維南原理討論：正宗3. 水平截面應(yīng)力討論：與彈性常數(shù)無關(guān)、合力指向集中荷載點(diǎn)4. 等效應(yīng)力曲線：5. 彎沉儀五、 用途1. 地基計(jì)算理論的基本計(jì)算公式之一2. 同時可以用于地面分布荷載的計(jì)算（積分）9-7 半空間上矩形荷載作用計(jì)算原理：將

40、面荷載化成點(diǎn)荷載，然后利用已有的布希涅斯克解答疊加積分，變成一個純數(shù)學(xué)問題。即：集中荷載，詳見書應(yīng)用：條形基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)與分析。9-10 （中文8-4）應(yīng)力解法，相容方程思路：1. 15個方程、15個未知數(shù)；2. 如果用應(yīng)力求解，則需用六個方程、六個未知數(shù)；3. 平衡方程完全由應(yīng)力構(gòu)成，三個；4. 協(xié)調(diào)方程，由三個位移變量推出六個應(yīng)變變量，多出三個5. 此三個實(shí)際上就是相容方程，也可以寫成六個，但獨(dú)立的仍然只有三個，6. 用應(yīng)力表達(dá)后，它們可以與平衡方程構(gòu)成一個求解體系。討論：1. 純應(yīng)力邊界問題2. 位移邊界和混合邊界問題9-11等截面梁的純彎問題（略）chapter 10 等截面桿的扭轉(zhuǎn)問題1

41、0-1 位移和應(yīng)力一、 問題描述：任意截面、無體力作用、僅力偶M作用，故可以認(rèn)為是一個純剪問題。坐標(biāo)系二、 邊界條件： 任意截面形狀均在側(cè)面存在相同的邊界條件：故必有 z方向邊界沒有縱向應(yīng)力，故 橫截面力偶，歸結(jié)為相應(yīng)剪應(yīng)力作用，即，它們的作用結(jié)果即為力偶。三、 應(yīng)力函數(shù)體力為零：，得直角坐標(biāo)系下得平衡方程：，又是一種應(yīng)力函數(shù)。比較平面問題應(yīng)力函數(shù)相差一個長度單位 代入相容方程：，C為常數(shù)，一個方程，一個未知數(shù)。四、 應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力邊界條件，及邊界條件檢驗(yàn)：1. 側(cè)面：，其中，ds取順時針為正。由于常數(shù)項(xiàng)不影響應(yīng)力取值，故單聯(lián)域可以取此常數(shù)為零，多聯(lián)域則僅定義一個為零。2. 頂部（任意取一端，如頂端）：(解釋)XYMO，