2012高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)集中營 熱點(diǎn)11 向量的運(yùn)算 新課標(biāo)

1、【兩年真題重溫】【2011新課標(biāo)全國理，10】已知與均為單位向量，其夾角為，有下列四個(gè)命題：； ：；：； ：其中的真命題是( ) A， B， C， D，【答案】A【解析】本題考查向量的基本運(yùn)算和性質(zhì) ，展開易得【2010 新課標(biāo)全國文，2】a，b為平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于（A） （B） （C） （D）【答案】 C【解析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式.因a(4,3)，b(x,y), 2ab(3,18)=(8+x,6+y)，解得x=-5,y=12.cos<a, b>=【命題意圖猜想】1. 2011年新課標(biāo)高考理對向量的考查體現(xiàn)在

2、求向量的夾角和模的運(yùn)算，難度中等，文科則表現(xiàn)在向量的垂直關(guān)系的應(yīng)用，較為簡單；2010年理科沒有涉及向量問題，而文科考查以【最新考綱解讀】【回歸課本整合】1、平面向量的數(shù)量積：（1）兩個(gè)向量的夾角：對于非零向量，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)0時(shí)，同向，當(dāng)時(shí)，反向，當(dāng)時(shí)，垂直.（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即.平面向量數(shù)量積：.向量的模：.3、向量的運(yùn)算律：（1）交換律：，；(2)結(jié)合律：，；（3）分配律：，.提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同

3、時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？4、向量平行(共線)的充要條件：0.如(13)設(shè)，則k_時(shí)，A,B,C共線.5、向量垂直的充要條件： .特別地.則有.方向上的單位向量，設(shè)則有AP平分,又共線，所以O(shè)A平分.同理可證BO平分,CO平分,從而O是內(nèi)心.3. 向量平行和垂直的重要應(yīng)用向量平行和垂直的重要應(yīng)用,是高考的熱點(diǎn).命題方向有兩點(diǎn)：一是利用已知條件去判斷垂直或平行；二是利用平行或垂直的條件去確定參數(shù)的值.需牢固掌握判斷的充要條件.（1）向量平行(共線)的充要條件：0;（2）向

4、量垂直的充要條件：.例4 設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且CABDEF圖1則與( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【解法一】利用三角形的加法法則：幾何法.如圖1，在在在A.4 B.5 C.6 D.8HNC(M)BAD解析一：（幾何法）對于幾何含義：如圖所示，當(dāng)和重合時(shí)，投影為正且最大.oMDN，則.解析二：（代數(shù)法）建立如圖的坐標(biāo)系，則取得最大值6.4.平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.ab的充要條件ab與x1y2x2y10在本質(zhì)上是相同的，只是形式上有差異(2)要記準(zhǔn)坐標(biāo)公式特點(diǎn)，不要用錯(cuò)公式5.求向量

5、的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角關(guān)系是鈍角6.如果高考單獨(dú)考查向量運(yùn)算，如代數(shù)或幾何運(yùn)算，一般試題難度較低，位置較為靠前，此時(shí)為得全分的題目；如果向量和其他知識(shí)相結(jié)合，考查最值問題，一般以后幾道選擇題出現(xiàn)，難度較大，此時(shí)應(yīng)充分考慮向量的幾何意義或坐標(biāo)法進(jìn)行解決.在利用坐標(biāo)法解決問題時(shí)，可考慮一般問題特殊化，即恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化代數(shù)運(yùn)算.如果探求一些范圍問題，適當(dāng)?shù)拇禉z驗(yàn)是一個(gè)良策.（A） （B） （C）（D）【答案】D 【解析】在中，有因E為

6、DC的中點(diǎn)，故因點(diǎn)F為BC的一個(gè)三分點(diǎn)，故故選D.4.【唐山市20112012學(xué)年度高三年級第一次模擬考試】 在中，則(A) 10 (B) -10 (C) 4 (D) 4答案B【答案】A【解析】 因=，其中，動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的區(qū)域以為鄰邊的平行四邊形，則為內(nèi)切圓的半徑.由余弦定理可知又因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心，故到三角形各邊的距離均為此時(shí)三角形的面積可以分割為三個(gè)小三角形的面積的和，即答案：D解析：由向量加法法則可知四邊形ABCD是平行四邊形，故選D9.【山東省棗莊市2012屆高三上學(xué)期期末測試試題】若平面向量兩兩所成的角相等，則_.【答案】2或5【解析】三個(gè)向量a、b、c兩兩所成的角均相等且為120º時(shí)，.三個(gè)向量a、b、c兩兩所成的角均相等且為0º時(shí)，.10.【福州市2012屆第一學(xué)期期末高三質(zhì)檢】已知，與的夾角為，則與的夾角為ABCD 【答案】B，因函數(shù)取得最大值故答案為C.A.1 B1 C. D2【答案】 B【解析】 |abc|，由于a·b0，所以上式，又由于(ac)·(bc)0，得(ab)·cc21，所以|abc|1，故選B.16.【北京市東城區(qū)2011-2012學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測】若非零向量滿足，則