2011年全區(qū)高考數(shù)學(xué)研討會(huì)上的發(fā)言-專題函數(shù)及應(yīng)用教案人教版

1、我們已經(jīng)歷了從07年到10年四年的新課標(biāo)高考，在這四年的改革和變化中， 我們已有了對(duì)新課標(biāo)教學(xué)和高考較為深刻的理解和認(rèn)識(shí)，但從目前的教學(xué)和高考成績(jī)不難發(fā)現(xiàn)，仍有很多問(wèn)題需要我們一線老師急待解決。本文試圖從平時(shí)的教 學(xué)、高考復(fù)習(xí)，如何來(lái)理解現(xiàn)行的高考，與此同時(shí)，又從四年的高考中提煉，來(lái) 如何指導(dǎo)我們平時(shí)的教學(xué)工作說(shuō)一些建議，僅供大家參考。第一部分：課標(biāo)、考綱中對(duì)函數(shù)的要求的解讀在高中階段，如何認(rèn)識(shí)函數(shù)的作用？如何把握函數(shù)的內(nèi)容？如何進(jìn)行有效的 函數(shù)教學(xué)？學(xué)生在學(xué)完高中課程，在函數(shù)的學(xué)習(xí)中應(yīng)積淀下什么？這些問(wèn)題， 是 教師必須具備的和解決的問(wèn)題。1.對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)（1）函數(shù)是刻畫變量與變量 之間依賴

2、關(guān)系的最佳“途徑”之一把函數(shù)看作是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型，通過(guò)探索理解可以用變 量與變量之間的依賴關(guān)系反映自然規(guī)律，這是我們認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的重要作用（宏 觀的看法）。我們先來(lái)看一看高考是如何考察這一思想的：2010年（理科）：選擇題第11題lgx|（0vx蘭10）已知函數(shù)f x =1，若 a, b,c 互不相等，卜一x+6（x10）2且 fa 二 f b 二 f c，則abc的取值范圍.A.（1，10）B.（5，6）C.（10，12）D.（20，24）解：分析：求范圍=因?yàn)?a, b,c 是相互依賴的變量關(guān)系-可以歸為求一類函數(shù)的值域問(wèn)題=要點(diǎn)，將abc看成一個(gè)整體y，再找出共同的自變

3、量 x.（難點(diǎn)：要對(duì)函數(shù)有一個(gè)較為深刻的理解）故可畫出函數(shù) f x 的簡(jiǎn)圖：在2011年全區(qū)高考研討會(huì)上的發(fā)言專題：函數(shù)及應(yīng)用用心 愛(ài)心 專心21.f a =-lg =t=Tga=t10 = a=10af b =lgb二t= b=卅1fiC =-qC，6=t=c=2 6-t abc =10-t10t2 6-t = 2 6-t0 t :：: 1 abc（10,12）（2）函數(shù)是聯(lián)結(jié)兩類對(duì)象的橋梁把函數(shù)看做是聯(lián)結(jié)兩類對(duì)象的橋梁，即通常說(shuō)的映射關(guān)系。即用映射刻畫函 數(shù)，反映兩個(gè)數(shù)集之間的關(guān)系。在兩個(gè)數(shù)集之間架起了橋梁。 這樣的看法反映了 數(shù)學(xué)中的一種基本思想。這種理解方式是高中數(shù)學(xué)最為常見(jiàn)的一種形式

4、，在高考中比比皆是，這里就不再細(xì)說(shuō)。（3）函數(shù)是“圖形”函數(shù)關(guān)系是平面上點(diǎn)的集合，又可以看成平面上的一個(gè)“圖形”，在很多情 況下，函數(shù)是滿足一定條件下的曲線。因此，研究函數(shù)就是研究曲線的性質(zhì)，研 究曲線的變化。運(yùn)用這種看法，函數(shù)可以看做數(shù)形結(jié)合的載體之一。 實(shí)際上，高中數(shù)學(xué)課程 中的數(shù)形結(jié)合主要有三個(gè)載體：解析幾何、向量（向量幾何）、函數(shù)所以，在討論函數(shù)問(wèn)題時(shí)，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫函數(shù)圖形，并且用函數(shù)圖形思考 問(wèn)題的習(xí)慣，樹立“圖形意識(shí)”是掌握函數(shù)性質(zhì)，學(xué)好函數(shù)的關(guān)鍵所在。這就是高中階段學(xué)生學(xué)完函數(shù)應(yīng)用留下的東西。例如：2009年高考（理科）用mina, b ,c表示 a, b,c 三個(gè)數(shù)中的最小值

5、.設(shè)f（x）=mi n 2x, x+2，10-x（xO），則f（x）的最大值為：A. 4B. 5C. 6D. 7（詳細(xì)分析和解答）培養(yǎng)“把握?qǐng)D形”能力，幾何直觀的能力是數(shù)學(xué)課程的基本目標(biāo)之一。2.中學(xué)數(shù)學(xué)研究函數(shù)的什么性質(zhì)數(shù)學(xué)中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征（本質(zhì)）。用心 愛(ài)心 專心3在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性，也討論某些函數(shù)的奇偶性。單調(diào)性是在高中階段討論函數(shù)“變化”最為基本的性質(zhì)。從幾何角度：就是研究函數(shù)圖象走勢(shì)的變化。從代數(shù)角度：可利用單調(diào)性來(lái)確定函數(shù)范圍（值域）和有界性（最值）。從教材中研究函數(shù)這個(gè)性質(zhì)分成二階段：第一階段：在必修1中，要求理解函數(shù)單調(diào)性的圖形直觀，理解單

6、調(diào)性的數(shù) 學(xué)定義，途徑是通過(guò)大量的具體函數(shù)來(lái)理解單調(diào)性在研究函數(shù)中的作用 （直觀感 知）。界定：用具體的函數(shù)，通過(guò)類比、歸納、總結(jié)其性質(zhì)，不需要嚴(yán)格的證明過(guò) 程。第二階段：安排在選修系列1,2課程的導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用中。導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)變 化率的概念。導(dǎo)數(shù)可以幫助我們對(duì)“函數(shù)的變化”有進(jìn)一步的了解，在這一部分 的內(nèi)容中，要求學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。即：在一個(gè)區(qū)間中，如果函數(shù)在 每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)是遞增的。如果函數(shù)在每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)小于零， 則函 數(shù)是遞減的。反之，也可以用單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，遞增函數(shù) 如果有導(dǎo)數(shù)，則每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于或等于零。反之亦然。界定：在高中階段，對(duì)嚴(yán)格單調(diào)性

7、和單調(diào)性的區(qū)別不必深社會(huì)究，否則，會(huì) 因小失大。例如：1.已知 a0，函數(shù) f x = x2-2ax ex（2005年高考）（1）當(dāng) x 為何值時(shí)，f x 取的最小值？證明你的結(jié)論。（2）設(shè) f x 在-1,1上是單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍.（在黑板上進(jìn)行詳細(xì)分析和解答）2.設(shè)函數(shù) f x 二 exT _ x _ ax2（I）若 a=0,求 f x 的單調(diào)區(qū)間；（II）若當(dāng)x一0時(shí)，f x 一 0 ,求 a 的取值范圍.用心 愛(ài)心 專心4（用在黑板上進(jìn)行詳細(xì)分析和解答）比較兩題的變化和課標(biāo)上的要求，三維目標(biāo)的解讀。周期性是中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)的另一個(gè)基本性質(zhì)。 周期性反映了函數(shù)變化周而 復(fù)始的規(guī)

8、律。在我們的生活中，小到粒子，大到宇宙都大量存在著周期性變化規(guī) 律。因此，學(xué)會(huì)用周期的觀點(diǎn)來(lái)看待周圍事物的變化是非常重要和必須要做的。在高中階段，不討論一般函數(shù)的周期性，只討論基本的具體三角函數(shù)的周期性。例如，正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性。例如：2009年高考（理科）已知 y = sin 亠仃 J 八0, - :- : :奇偶性也是我們?cè)谥袑W(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)要研究的函數(shù)性質(zhì)， 但要注意它不是 最基本的性質(zhì)。奇偶性質(zhì)反映了函數(shù)圖形的對(duì)稱性質(zhì)，但它與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)。 在高中數(shù)學(xué)課程中，對(duì)于一般函數(shù)的奇偶性，也不做深入討論，只討論基本的具 體函數(shù)的奇偶性。例如：2010年（理科）設(shè)偶函數(shù) f x 二

9、 x-8 x 亠 0，則| f x -2 0/=A.| x -2或x4B.Vx | x：0或x 4C.| x：0或x6 fD.x | x：-2或x 2/3.具體函數(shù)模型了解函數(shù)的形式定義，僅僅是理解函數(shù)的一部分，理解函數(shù)的一個(gè)重要的方 法，就是在頭腦中留住一批具體函數(shù)的模型。在高中，要幫助學(xué)生對(duì)每一個(gè)抽象 的數(shù)學(xué)概念，使他們?cè)陬^腦中都有一批具體的“模型”。是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一種良好的 習(xí)慣。幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)是基本初等 函數(shù)，這些函數(shù)是最基礎(chǔ)的，也是最重要的，還有一些簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，一些有1 x a 01實(shí)際背景的函數(shù)（例如：y，yx+丄等）等等，這些都是基本的、

10、T x c 0 x重要的函數(shù)模型的圖象如圖所示，貝 U =_用心 愛(ài)心 專心5例如：幕函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)（講解）（補(bǔ)充：這些基本函數(shù)都是“好”的函數(shù)，所謂好，是指它具有任意階導(dǎo)數(shù)， 非常地光滑，在高中數(shù)學(xué)中，對(duì)于任意一個(gè)“好的函數(shù)”，在一定的范圍內(nèi)都可 以用多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)近似的表達(dá)。泰勤公式，這是高等數(shù)學(xué)的重要結(jié)果之一。）另一個(gè)基本特點(diǎn)是：他們?cè)谘芯渴澜邕\(yùn)動(dòng)變化規(guī)律時(shí)，應(yīng)用的最多的函數(shù)，也是刻畫變量變化最為基本的形式。關(guān)于一元二次函數(shù)是重要的一類多項(xiàng)式函數(shù)，在高中，對(duì)于此類函數(shù)做了詳 細(xì)的研究（研究的方法和過(guò)程），應(yīng)該要求學(xué)生首先很好的掌握此類函數(shù)。4.三角函數(shù)高中階段，我們通過(guò)三角函數(shù)幫助我們更好

11、的理解周期函數(shù)（它也是“好” 的函數(shù)，具有任意階系數(shù)）和對(duì)稱性，對(duì)于上述的基本初等函數(shù)模型，我們希望 給學(xué)生腦子里留下三個(gè)方面的東西：（1） 背景，從函數(shù)模型的實(shí)際背景的角度把握函數(shù)；（源）（2）圖像，從幾何直觀的角度把握函數(shù)；（3）基本變化，從代數(shù)的角度把握函數(shù)的變化情況。例如，指數(shù)函數(shù)變化之所以快 =“將和變積”對(duì)數(shù)函數(shù)變化之所以慢=“將積變和”總之，要使函數(shù)在學(xué)生頭腦中“扎下根”。5.函數(shù)與其它內(nèi)容的聯(lián)系函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一條主線， 貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程中， 特別是在方程、不等式、線性規(guī)劃、算法、隨機(jī)變量、數(shù)列等內(nèi)容中都突出地體現(xiàn)了函數(shù)思想。（1）函數(shù)與方程用函數(shù)的觀點(diǎn)看待方程，是高中

12、數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)最大的差異之一， 初中局限 于恒等變形。（進(jìn)而可以用來(lái)對(duì)不等式的理解）可以把方程的根看成函數(shù)與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。從而，方程可以看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了思考 函數(shù)圖形與 x 軸的交點(diǎn)問(wèn)題，這是解決方程問(wèn)題的基本思想。（此部分內(nèi)容一般都是融于其它內(nèi)容進(jìn)行考查）（2）函數(shù)與數(shù)列數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，也是高中數(shù)學(xué)唯一的離散型函數(shù)，數(shù)列在研究連續(xù)用心 愛(ài)心 專心6函數(shù)中發(fā)揮著重要作用在高中階段，主要討論一些特殊的數(shù)列一一等差和等比數(shù)列的性質(zhì)，故等差數(shù)列、等比數(shù)列都是最為基本的二類數(shù)列模型。核心：等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化。 等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。例如：2009年高考（

13、理科）16題等差數(shù)列n ?的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知am+am* -am =0，S2m1=38，則m = .2010年高考（理科）17題設(shè)數(shù)列也滿足務(wù)=2，3nd-3n=3 2 沁，（1）求數(shù)列 3 1 的通項(xiàng)公式；（2）令 bn= nan，求數(shù)列 b 啲前 n 項(xiàng)和 Sn；（3）函數(shù)與不等式函數(shù) y 二 f x 的圖象把坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)軸分成若干部分區(qū)域， 一部分區(qū)域是 使函數(shù)值等于0，即|y 二 f x =0?，部分區(qū)域是使函數(shù)值大于0，即x| f x 0： 一部分區(qū)域是使函數(shù)值小于0,即 f x。用函數(shù)的觀點(diǎn)看， 就是確定使 y = f x的圖象在 x 上方和下方的 x 的區(qū)域。廠2例：已知函數(shù) f（x）=x+1（0）,則滿足不等式 f（1x2）f（2x ）的 x 的取 1（xc0）值范圍是_.（2010年咼考理科江蘇省第11題）（4）函數(shù)與線性規(guī)劃、函數(shù)與算法線性規(guī)劃問(wèn)題是最優(yōu)化問(wèn)題的一部分， 從函數(shù)的觀點(diǎn)看，首先要確定目標(biāo)函 數(shù)，用目標(biāo)函數(shù)刻畫“好、壞、大、小”等。一般而言，目標(biāo)函數(shù)是二元函數(shù)， 可行 實(shí)質(zhì)上是這個(gè)函數(shù)的定義域，最優(yōu)值即為函數(shù)的最值。在算法中，最基本的結(jié)構(gòu)之一是循環(huán)結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)是理解算法的一個(gè)難點(diǎn)， 其要點(diǎn)是通過(guò)給循環(huán)變量賦值來(lái)實(shí)現(xiàn)循環(huán)的。用函數(shù)來(lái)刻畫循環(huán)變量，把循環(huán)變量看成“運(yùn)算次數(shù)”的函數(shù)。一種循環(huán)變量的值可以取“