第10章曲線積分和曲面積分

1、第10章 曲線積分和曲面積分參考解答1、計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分： （1），其中L為由Oxy平面上的直線及拋物線所圍成區(qū)域的邊界。第1（1）題解：，（2），L為橢圓，其周長(zhǎng)為a。解：注意第一類曲線積分的對(duì)稱性：若曲線關(guān)于x（y）軸對(duì)稱，而被積函數(shù)關(guān)于y（x）為奇函數(shù)，則曲線積分為零?。?），L為圓周（）。解：圓周之參數(shù)方程為（），故（4），L為 解：（5），L圓周為解：因，故 2、計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：（1），其中L為折線上從點(diǎn)到點(diǎn)再到點(diǎn)的二線段。 解：，（作代換，知第二個(gè)定積分與第一個(gè)相等）（2），L是圓周，從z軸正向看去，該圓周取逆時(shí)針方向。 解：L的參數(shù)方程為，故得3、利用Green

2、公式計(jì)算下列曲線積分：（1）， L由，與x軸圍成，沿逆時(shí)針方向。第3（1）題 解：L為封閉曲線，如圖所示，直接運(yùn)用Green公式。（）但，故得。從而得（2）， L由的正向。第3（2）題解：，。但和在L所圍正方形區(qū)域內(nèi)并不連續(xù)（在點(diǎn)處兩者根本不存在），故不滿足Green公式之條件。為此，采用“挖地雷”方法：取以原點(diǎn)為心、（或小于的任意正數(shù)）為半徑的圓l，并取逆時(shí)針方向，如圖所示。其參數(shù)方程為：于是，l和L所圍區(qū)域D成為“安全地帶”，在D上，P和Q均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，Green公式成立。于是 因此， 4、計(jì)算積分， 其中L是由點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧段。第4題解：這里，。因此，在曲線L和線段AB所圍閉區(qū)

3、域上，曲線積分與路徑無關(guān)。這里，線段AB的方程為，方向?yàn)閺狞c(diǎn)A指向點(diǎn)B。因此，。5、驗(yàn)證是某函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個(gè)。 解：這里，故因而，故知為某函數(shù)的全微分。以下我們用兩種方法來求。方法1（利用曲線積分）： 方法2（利用待定函數(shù)法）：因，故得（將y看作常數(shù)）（其中為待定函數(shù)，與x無關(guān)）于是，但另一方面，故于是得 ，。因此所求函數(shù)為，其中C可取任意常數(shù)。6、計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分：（1），其中是錐面在柱體內(nèi)的部分。 第6（1）題解：（2），其中為球面。解：因關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都是對(duì)稱的，故，于是利用輪換對(duì)稱性，因此，（注意球的表面積為）于是得（3），其中為平面被柱面所截下的部分。解： 第

4、6（3）題7、計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：（1），其中是圓柱面被平面和所截下的部分，取外側(cè)。 第7（1）題 解：被yoz平面分成和兩片，對(duì)于x軸正向而言，取上側(cè)，而取下側(cè)，它們?cè)趛oz平面上的投影區(qū)域和如上圖所示。于是因此。（2），其中是球面，的外側(cè)。解：利用公式得（3），其中是錐面被，所截部分的外側(cè)。第 7（3）題解：利用公式，得注：第二類曲面積分（對(duì)坐標(biāo)的曲面積分）的解題步驟為“一投”、“二代”、“三定號(hào)”。上兩題中，我們將積分統(tǒng)一化為在xoy平面投影區(qū)域上的二重積分，解題過程得到大大簡(jiǎn)化。這是在不適合用Gauss公式（曲面不封閉；或即使可以補(bǔ)成封閉，但計(jì)算未能得到簡(jiǎn)化）時(shí)常用的方法。否則，

5、像第（1）小題那樣，我們往往必須將曲面分塊，分別進(jìn)行投影。選擇最優(yōu)策略，省出寶貴時(shí)間，去做更多事情，不亦樂乎？8、利用Gauss公式計(jì)算曲面積分：（1），其中為平面，所圍立體表面的外側(cè)。解：（2），其中為下半球面的上側(cè)。解：補(bǔ)一圓面：，取下側(cè)。于是注意封閉曲面取內(nèi)側(cè)，與Gauss公式所要求的外側(cè)相反，故第二個(gè)等式右邊三重積分前有一個(gè)負(fù)號(hào)！9、求向量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度。解：10、設(shè)流體密度為1，流速，求單位時(shí)間內(nèi)從曲面 的下側(cè)流向上側(cè)的流量。解：將曲面記為（為旋轉(zhuǎn)拋物面），補(bǔ)一取下側(cè)的圓面：。于是注意封閉曲面取內(nèi)側(cè)，與Gauss公式所要求的外側(cè)相反，故第三個(gè)等式右邊三重積分前有一個(gè)負(fù)號(hào)！11、設(shè)，求

6、的旋度，并計(jì)算曲面積分，其中為錐面，其法向量與z軸正向夾角為銳角。解：可用兩種方法來計(jì)算。解法1（創(chuàng)造條件，運(yùn)用Gauss公式）（第一類曲面積分）（第二類曲面積分）（其中為圓面之下側(cè)，封閉曲面取外側(cè)）（Gauss公式）（二重積分之極坐標(biāo)算法）解法2（直接運(yùn)用Stokes公式）（上側(cè)）之邊界線L為xoy平面上半徑為2的圓，取逆時(shí)針方向，其參數(shù)方程為，于是12、用Stokes公式計(jì)算，其中為圓周，從x軸正向看，取逆時(shí)針方向。解：記，所圍圓面為，取上側(cè)。則（轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分）注意到平面之法向量為，故，因此得13、求，L為空間螺線。 解：14、設(shè)函數(shù)在XOY平面上具有一節(jié)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，并且對(duì)任意t，恒有，求。解：因曲線積分與路徑無關(guān)，故有。故可設(shè)，其中為與x無關(guān)的待定函數(shù)。于是因，故得即，從而得，或即。因此。15、確定常數(shù)，使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度，并求。解：向量為某二元函數(shù)的梯度，等價(jià)于說：存在某二元函數(shù)，使得，也就是說，為某二元函數(shù)的全微分。根據(jù)曲線積分與路徑無關(guān)的條件，得即整理得故得。由得從而另一方面，。故得，。因此。