第10章靜電場習(xí)題解(2)

1、第10章 靜電場習(xí)題解10.1 四個點(diǎn)電荷到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離均為d ,如題10.1圖所示,求點(diǎn)O 的電場強(qiáng)度的大小和方向 。 解:由圖所示x 軸上兩點(diǎn)電荷在O 點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)為i d q i d q i d q i E i E E q q2020*=+=+=-y 軸上兩點(diǎn)電荷在點(diǎn)O 產(chǎn)生場強(qiáng)為j dq j d q j d q j E j E E q q2020*-=-=+=- 所以,點(diǎn)O 處總場強(qiáng)為j dq i d q E E E O2020214343-=+= 大小為202221423dq E E E O =+=,方向與x 軸正向成045-角。 10.2 電量為C 100.16C 100.8626

2、1-=q q 和的兩個點(diǎn)電荷相距20 cm ,求離它們都是20 cm 處的電場強(qiáng)度。(1120m F 1085.8-=解:如圖,162022162011m V 106.34m V 108.14-=r q E r q E 方向如圖。 (a (b 由22y x E E E +=, 其中201020160sin 60sin 60cos 60cos E E E E E E y x -=+=得 16m V 1012.3-=E 030-=10.3 一細(xì)棒被彎成半徑為R 的半圓形,其上部均勻分布有電荷+Q ,下部均勻分布有電荷-Q ,如題10.3圖示,求圓心點(diǎn)O 的電場強(qiáng)度。 解:由圖可知,由于正、負(fù)電荷在

3、圓環(huán)上對稱分布,總場強(qiáng)一定沿-y 方向。在圓環(huán)上取電荷元Rd dl dq =,在點(diǎn)O 產(chǎn)生的場強(qiáng),R d R Rd R dq dE 02020444=方向如圖示。正電荷在點(diǎn)O 產(chǎn)生場強(qiáng)的y 分量為d R R d E =+20200cos 4cos 4-R 04-= 由對稱性可知,負(fù)電荷在點(diǎn)O 產(chǎn)生場強(qiáng)的y 分量與正電荷在點(diǎn)O 產(chǎn)生場強(qiáng)的y 分量大小相等,方向相同軸負(fù)方向。方向指向負(fù)號表示所以y E R QR E E E o o20202-=-=+=+-10.4 正方形的邊長為a ,四個頂點(diǎn)都放有電荷,求如題10.4圖所示的4種情況下,其中心處的電場強(qiáng)度。 q qq q q (a (b (c (

4、d 解:在四種情況下,均以中心O 為坐標(biāo)原點(diǎn),水平向右為x 軸正方向,豎直向上為y 軸正方向建立坐標(biāo)系,則有(a 根據(jù)對稱性,四個頂點(diǎn)處的電荷在中心處產(chǎn)生的場強(qiáng)兩兩相互抵消。所以0=a E(b 根據(jù)對稱性,電荷在中心處產(chǎn)生的場強(qiáng)在x 軸上抵消,只有y 軸上的分量,所以j aq j a a q j E E qy b20220245cos 2/(2/(444-=+-=-= (c 根據(jù)對稱性,對角線上的電荷在中心處的場強(qiáng)可以相互抵消,所以0=c E(d 根據(jù)對稱性,電荷在中心處產(chǎn)生的場強(qiáng)在y 軸上抵消,只有x 軸上的分量,所以i a q i a a q i E E qx d20220245sin 2

5、/(2/(444=+=10.9 有一非均勻電場,其場強(qiáng)為i kx E E(0+=,求通過如題圖10.9所示的邊長為0.53 m 的立方體的電場強(qiáng)度通量。(式中k 為一常量 x z解:由于E只有x 方向的分量kx E E x +=0,故電場線只穿過垂直于x 軸,且位于x 1=0和x 2=0.53m 處的兩個立方體面S 1和S 2。考慮到這兩個面的外法線方向相反,故有kS k E S E dSE dS E S d E S x S x Se 15.053.0(20102211=+-=+-=與半徑為R 的半球面的軸平行,求通過此半球面的電場強(qiáng)度通量。 解:作半徑為R 的大圓平面'S 與半球面S

6、 一起構(gòu)成閉合曲面,由于閉合曲面內(nèi)無電荷,由高斯定理,有00'=+=q S d E eS eS Se所以,通過半球面S 的電場強(qiáng)度通量為E R R E eS eS 22cos '=-=-=10.11 兩個帶有等量異號的無限長同軸圓柱面,半徑分別為R 1和R 2 (R 1 < R 2,單位長度上的帶電量為,求離軸線為r 處的電場強(qiáng)度:(1r < R 1;(2 R 1 < r < R 2 ;(3r > R 2 。 解:(1 作高為l 的同軸圓柱面(如題圖10.11為高斯面。由于兩帶電圓柱面的電場為柱對稱,所以,通過此高斯面的電場強(qiáng)度通量為+=32132

7、1 S S S Se Sd E S d E S d E Sd E=其中第一、第三項積分分別為通過圓柱面上、下底面的電場強(qiáng)度通量。由于E垂直于軸線,故E在底平面內(nèi),第一、第三項的積分均為零。第二項積分為12122r E EdS S d E r S S =根據(jù)高斯定理0/=q e ,有0211= r E r 所以 11 01R r E r <=(2 同理221R r R <<時,有0 =S d E 即 0222 =r E r 所以 2022r E r =(3 23R r >時,有 -=S d E 所以 03=r E由上述結(jié)果可知,兩個帶有等量異號電荷的無限長同軸圓柱面所形成

8、的電場只存在于兩柱面之間。10.12 如題圖10.12所示,一半徑為R 的均勻帶電無限長直圓柱體,電荷體密度為+,求帶電圓柱體內(nèi)、外的電場分布。 解:此圓柱體的電場分布具有軸對稱性,距軸線OO 等距離各點(diǎn)的電場強(qiáng)度值相同,方向均垂直O(jiān)O 軸,沿徑向,因此,可用高斯定理求解。1.圓柱體內(nèi)的電場強(qiáng)度分布(R r <1設(shè)點(diǎn)P 為圓柱體內(nèi)任意一點(diǎn),它到軸線的距離為1r ,在圓柱體內(nèi),以1r 為半徑作一與圓柱體同軸,高為l 的閉合圓柱面為高斯面(如題圖10.12。由于高斯面上、下底面的法線均與面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度方向垂直,故通過上、下底面的電場強(qiáng)度通量為零,側(cè)面上任一點(diǎn)的法線方向,均與該處電場強(qiáng)度方

9、向一致,故通過整個高斯面的電場強(qiáng)度通量為112lE r ,高斯面內(nèi)包圍的總電荷為l r 21,由高斯定理21112l r lE r = 得 0112r E =2.圓柱體外的場強(qiáng)分布(R r >2設(shè)'P 為圓柱體外任一點(diǎn),類似上面的討論,以2r 為半徑作高斯面(如題圖10.12,由高斯定理有2222l R l r E = 由此得20222r R E =10.13 兩個均勻帶電的金屬同心球面,半徑分別為0.10 m 和0.30 m ,小球面帶電1.0108 C,大球面帶電1.5108 C 。求離球心為(10.05 m ;(20.20 m ;(30.50 m 處的電場強(qiáng)度。解:由于電荷

10、在球面上對稱分布,所以兩球面電荷的電場也具有球?qū)ΨQ性,場強(qiáng)方向沿徑向向外。(1以球心O 為中心,05.0=A r m 為半徑作一同心球面,并以此為高斯面,其內(nèi)部電量為零,面上各點(diǎn)的場強(qiáng)大小均相同。由高斯定理有0042=A A A S e E r E S d E A(2同理以20.0=B r m 為半徑作高斯面,面內(nèi)包含小帶電球面上的所有電荷81100.1-=Q C 。 由高斯定理 V 1025.220.0(100.110944-=B B B B S e r Q E Qr E S d E B(3同理,可以得到點(diǎn)C 處的電場強(qiáng)度大小為122892021m V 10950.

11、0(105.10.1(1094-=+=+=C C r Q Q E 10.16 兩平行無限大均勻帶電平面上的面電荷密度分別為+和-2,求圖示中3個區(qū)域的場強(qiáng)。+ 2I 解:對左極板作水平高斯柱面,且該高斯面相對于左極板對稱,高斯面的兩底面面積均為S ,其上場強(qiáng)E的大小相等,方向均與兩S 相同,由高斯定理,并注意高斯面的側(cè)表面無電場強(qiáng)度通量。有012SS E =,即左極板在空間產(chǎn)生的場強(qiáng)為012=E ,其方向?yàn)?在該極板左邊,方向水平向左;在該極板右邊,方向水平向右。同理,對右極板作相似處理,可得,右極板在空間產(chǎn)生的場強(qiáng)為2=E ,其方向?yàn)?在該極板左邊,方向水平向右;在該極板左邊,方向水平向左。

12、因此,根據(jù)場強(qiáng)迭加原理,可得上圖中各個區(qū)域中的場強(qiáng)分別為:方向?yàn)樗较蜃蠓较驗(yàn)樗较蛴曳较驗(yàn)樗较蛴?=-=+=-=I E E E E E E E E E10.17 如題圖10.17所示,AB 兩點(diǎn)相距2l ,是以B 為圓心,l 為半徑 的半圓。A 點(diǎn)有正電荷q +,B 點(diǎn)有負(fù)電荷q -。求(1把單位正電荷從O 點(diǎn)沿移到D 點(diǎn)時電場力對它做的功?(2把單位負(fù)電荷從D 點(diǎn)沿AB 的延長線移到無窮遠(yuǎn)時電場力對它做的功? 解:(1 0=O V , l ql q lq V D 0006434-=-+=lq V V A D O 06(1=-=(2 設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為零,則(lq V V V D D 061

13、=-10.19 一均勻帶電半圓環(huán),半徑為R ,帶電量為Q ,求環(huán)心處的電勢。 解:在帶電圓環(huán)上取一電荷元dq ,根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢公式,其在環(huán)心處的電勢為Rdq dU 04=然后對整個帶電體積分,可得環(huán)心處的總電勢為RQ dq R dU U Q00441=10.20 電量q 均勻分布在長為l 2的細(xì)桿上,求在桿外延長線上與桿端距離為a 的點(diǎn)P 的電勢(設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)。 解:設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于桿中心點(diǎn)O ,x 軸沿桿的方向,如圖所示。細(xì)桿的電荷線密度l q 2=,在x 處取電荷元lqdx dx dq 2=,它在點(diǎn)P 產(chǎn)生的電勢為 (x a l l qdxx a l dq dU P -+=-+=0

14、084 整個桿上電荷對點(diǎn)P 產(chǎn)生的電勢為( +-+-+=-a l l qx a l lq x a l dxl qU ll ll P 21ln 8ln 8(8000= 10.一段半徑為a 的細(xì)圓弧,對圓心的張角為0 ,其上均勻分布正電荷q ,如題圖10.21所示,求圓心O 點(diǎn)的電場強(qiáng)度和電勢。 O(a (b 解:(1 建立如題圖(b 所示坐標(biāo)系,以圓心O 為坐標(biāo)原點(diǎn),水平向右為x 軸正向,豎直向上為y 軸正向。根據(jù)對稱性可知,電荷在點(diǎn)O 處產(chǎn)生的場強(qiáng)沿y 軸負(fù)向,在x 軸的場強(qiáng)相互抵消,即0=x dE 。取電荷元dq ,其在點(diǎn)O 處產(chǎn)生的場強(qiáng)在y 軸的分量為200204cos cos 4a d

15、q a dq dE y =對整個帶電圓弧積分20002/2/20022/sin(4cos 00a q a d q dE E E y y =-(2 設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則點(diǎn) O 處的電勢為 U = dq 4 0 a = q 4 0 a 10.22 如題圖 10.22 所示，兩個同心球面，半徑分別為 R1 和 R2，內(nèi)球面帶 電-q，外球面帶電+Q，求距球心（1）r < R1 (2R1 < r < R2 (3r > R2 處一 點(diǎn)的電勢。 題圖 10.22 解法一: 利用場強(qiáng)和電勢的積分關(guān)系計算。在小球面內(nèi)、兩球面間和大球面 外分別以點(diǎn) O 為球心做高斯面，應(yīng)用高斯定理可

16、求得 r < R1 R1 < r < R2 r > R2 E1 = 0 E2 = E3 = q 4 0 r 2 Qq 4 0 r 2 選無窮遠(yuǎn)處電勢為零，由于不同區(qū)域電場強(qiáng)度的數(shù)值不同，于是有 (1在r < R1區(qū)域 U 1 = E dl = E1 dl + E 2 dl + E3 dl r r R1 R2 R1 R2 R3 0 + R2 R1 Qq q dr + dr 2 R2 4 r 2 4 0 r 0 Q 4 0 R2 q 4 0 R1 (2在R1 < r < R2區(qū)域 U 2 = E dl = E 2 dl + E3 dl r r R2 R2 (3在r > R2區(qū)域 R2 r Qq q dr + dr 2 R2 4 r 2 4 0 r 0 Q 4 0 R2 q 4 0 r U 3 = E3 dl r r Qq dr 4 0 r 2 Qq 4 0 r 解法二：利用典型帶電體的電勢公式直接疊加 我們已知，一均