第25講 輔助圓

1、第二十五講 輔助圓在處理平面幾何中的許多問(wèn)題時(shí)，常需要借助于圓的性質(zhì)，問(wèn)題才得以解決而我們需要的圓并不存在(有時(shí)題設(shè)中沒(méi)有涉及圓；有時(shí)雖然題設(shè)涉及圓，但是此圓并不是我們需要用的圓，這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實(shí)際存在的圓找出來(lái)，添補(bǔ)輔助圓的常見(jiàn)方法有：1利用圓的定義添補(bǔ)輔助圓；2作三角形的外接圓；3運(yùn)用四點(diǎn)共圓的判定方法：(1若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓(2同底同側(cè)張等角的三角形，各頂點(diǎn)共圓(3若四邊形ABCD的對(duì)角線相交于P，且PA·PC=PB·PD，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 (4若四邊形ABCD的一組對(duì)邊AB、DC的延長(zhǎng)線相交于P，且PA

2、83;PBPC·PD，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓【例題求解】【例1】如圖，直線AB和AC與O分別相切于B、C，P為圓上一點(diǎn)，P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm，那么P到BC的距離為 (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題思路點(diǎn)撥 連DF，EF，尋找PD、PE、PF之間的關(guān)系，證明PDFPFE，而發(fā)現(xiàn)P、D、B、F與P、E、C、F分別共圓，突破角是解題的關(guān)鍵注：圓具有豐富的性質(zhì)：(1圓的對(duì)稱性；(2等圓或同圓中不同名稱量的轉(zhuǎn)化； (3與圓相關(guān)的角；(4圓中比例線段適當(dāng)發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質(zhì)的運(yùn)用創(chuàng)造了條件，由于圖形的復(fù)雜性，有時(shí)在圖中并不需畫出圓，可謂“圖中無(wú)圓，心中有圓” 【例2】 如圖，若

3、PA=PB，APB=2ACB，AC與PB交于點(diǎn)P，且PB=4，PD=3，則AD·DC等于( A6 B7 C12 D16(“TI”杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題思路點(diǎn)撥 作出以P點(diǎn)為圓心、PA長(zhǎng)為半徑的圓，為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件注：到一個(gè)定點(diǎn)等距離的幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法【例3】 如圖，在ABC中，AB=AC，任意延長(zhǎng)CA到P，再延長(zhǎng)AB到Q，使AP=BQ，求證：ABC的外心O與A，P，Q四點(diǎn)共圓 思路點(diǎn)撥 先作出ABC的外心O，連PO、OQ，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明角相等【例4】 如圖，P是O外一點(diǎn)，PA切O于A，PBC是O的割線，ADPO于D求證：思路點(diǎn)撥 因

4、所證比例線段不是對(duì)應(yīng)邊，故不能通過(guò)判定PBD與PCD相似證明PA2=PD·PO=PB·PC，B、C、O、D共圓，這樣連OB，就得多對(duì)相似三角形，以此達(dá)到證明的目的注：四點(diǎn)共圓既是一類問(wèn)題，又是平面幾何中一個(gè)重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因?yàn)?，某四點(diǎn)共圓，不但與這四點(diǎn)相聯(lián)系的條件集中或轉(zhuǎn)移，而且可直接運(yùn)用圓的性質(zhì)為解題服務(wù)【例5】如圖，在ABC中，高BE、CF相交于H，且BHC=135°，G為ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且GB=GC，BGC3A，連結(jié)HG，求證：HG平分BHF思路點(diǎn)撥 經(jīng)計(jì)算可得A=45°，ABE，BFH皆為等腰

5、直角三角形，只需證GHB=GHF=22.5° 由BGC=3A=135°=GHC，得B、G、H、C四點(diǎn)共圓，運(yùn)用圓中角轉(zhuǎn)化靈活的特點(diǎn)證明注：許多直線形問(wèn)題借助輔助圓，常能降低問(wèn)題的難度，使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)解、巧解或新解學(xué)力訓(xùn)練1如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且OPB=45°，PA：PB=5：14，則PB的長(zhǎng)為 (北京市競(jìng)賽題2如圖，在ABC中，AB=AC=2，BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)Pl、P2，P100，記（i=1，2，100），則= 3設(shè)ABC三邊上的高分別為AD、BE、CF，且其垂心H不與任一頂點(diǎn)重合，則由點(diǎn)A、B、C、D、

6、E、F、H中某四點(diǎn)可以確定的圓共有( A3個(gè) B4個(gè) C5個(gè) D6個(gè) (2000年太原市競(jìng)賽題4如圖，已知OA=OB=OC，且AOB=BOC，則ACB是BAC的( A倍 B是倍 C D 5如圖，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=998，CD=1001，AD=1999，點(diǎn)P在線段AD上，滿足條件的BPC=90°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為( A0 B1 C2 1 D不小于3的整數(shù)(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題6如圖，AD、BE是銳角三角形的兩條高，SABC= 18，SDEC=2，則COSC等于( A3 B C D7如圖；已知H是ABC三條高的交點(diǎn)，連結(jié)DF，DE，EF，求證：H是DEF的內(nèi)心8如圖，已知ABC中，AH是高，AT是角平分線，且TDAB，TEAC求證：(1AHD=AHE；(2 (陜西省競(jìng)賽題9如圖，已知在凸四邊形ABCDE中，BAE=3，BC=CD=DE，且BCD=CDE=求證：BAC=CAD=DAK，(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題10如圖，P是O外一點(diǎn)，PA和PB是O的切線，A，B為切點(diǎn)，P O