利用極坐標(biāo)解圓錐曲線題(優(yōu)選.)

1、（焦點(diǎn)）的距離和一F作相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線，若允許p< 0,方程利用極坐標(biāo)解題知識(shí)點(diǎn)精析：橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個(gè)定點(diǎn)條定直線（準(zhǔn)線）的距離的比等于常數(shù) e的點(diǎn)的軌跡.以橢圓的左焦點(diǎn)（雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn) ）為極點(diǎn)，過點(diǎn) 垂足為K,以FK的反向延長線為極軸建立極坐標(biāo)系.橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為：1 ecos其中 p是定點(diǎn) F到定直線的距離，p> 0.當(dāng)0v ev 1時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)e> 1時(shí)，方程表示雙曲線，若p> 0,方程只表示雙曲線右支, 就表示整個(gè)雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向右的拋物線引論（1） 若1+ecos則0v e

2、v 1當(dāng)時(shí)，方程表示極點(diǎn)在右焦點(diǎn)上的橢圓當(dāng)e=1時(shí)時(shí)，方程表示開口向左的拋物線當(dāng)e>1方程表示極點(diǎn)在左焦點(diǎn)上的雙曲線（2 ）若eP1-esi n當(dāng)0 v ev1時(shí)，方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的橢圓當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向上的拋物線當(dāng)e > 1時(shí)!方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的雙曲線(3) 亠1+esin當(dāng)0 v ev1時(shí)，方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的橢圓當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向下的拋物線當(dāng)e > 1時(shí)!方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的雙曲線 例題選編(1)二次曲線基本量之間的互求310解法一：2531 3 cos1 3cos例1.(復(fù)旦自招)確定方程55表示曲線的離心率、焦距、長短軸長。5 3cos1

3、03c3325acaa558b21051015a ccc333825 215 2（6）（6）方程表示橢圓的離心率 e解法二：轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)(2)圓錐曲線弦長問題 若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過焦點(diǎn)F,5，焦距了 長軸長T '短軸長51、橢圓中,2 ,2abccc,MNep1 ecos2ep2ab1 ecos（ ） a2 c2 cos24 +嶺=1(戊若橢圓方程為 "''半焦距為|:.，焦點(diǎn)氣1廠,設(shè)過的直線2的傾斜角為偽'交橢圓于A B兩點(diǎn)，求弦長祖型圖1解：連結(jié)耳4耳"設(shè)厲衛(wèi)匸"1尸/4戸，由橢圓定義得|JSji|= 2a-x, F2B=

4、2a-y，由余弦定理得 F+（2 巧】_ 2十 2c-c陰”=（勿 _ x尸x = y 整理可得a-cesa，同理可求得總+匸 曲©，則弦長同理可求得焦點(diǎn)在y軸上的過焦點(diǎn)弦長為2ab2瓦-2a -c sin 1 a（a為長半軸,b為短半軸,|AS|= x + 丁 =-tb1 +-I - C COS Ct iH i +c cos a a2-d cos2 ac為半焦距） 結(jié)論：橢圓過焦點(diǎn)弦長公式:AB= *、n :焦點(diǎn)掃軸上） a c cos 皿浮2 （焦點(diǎn)杞軸上）& - c sin a2、雙曲線中，（注釋：雙曲線問題比較特殊，很多參考書上均有誤解。）若M、N在雙曲線同一支上，M

5、Nepep2ab21 ecos1 ecos( 2 2 2 ；)a c cos若M、N在雙曲線不同支上，MNepep2ab21 ecos1 ecos2 2 2 c cosa設(shè)雙曲線4-4=i<a>0j屮b2其中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為匸 -;門，過.；的直線IJ的傾斜角為廠，交雙曲線于 A B兩點(diǎn)，求弦長|AB| 。bbarctan <a <庚一arctan 解：(1)當(dāng)儒洛時(shí)，(如圖2)直線/與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、B在同一交點(diǎn)上，連-，設(shè)' 'I 1，由雙曲線定義可得|耳川三靳+島|耳國二鮎+卩，由余弦定理可得只+ (2疔-2工2-皿口=(加+訐孟 y三整理可得 h

6、 + gcx空，同理 a -c-cosa，則可求得弦長|A9|=掘 + y =2abc cos a囲20 < or < arctan bjz arc tan <£< n:a或(2 )當(dāng)時(shí)，如圖3,直線I與雙曲線交點(diǎn)a -tc cos a a-c- comet在兩支上，連禺A 驢，設(shè)|恥|即7，則迓胡2僅+工，|再召|(zhì)一力由余弦定理可得 I、' '、- ，j? +(2ff)a -2y 2c cos( - oj) = (y- Zdf圖3整理可得C CC-5£K-d! a -C C05G /因此焦點(diǎn)在x軸的焦點(diǎn)弦長為2c?3»2

7、y bh(arctan < a u 丸一arctan )a cJ cos ctaa2a/22 COS ql a(0 < o < arctan 丄 或龍-arctan < c < 5r) aa同理可得焦點(diǎn)在 y軸上的焦點(diǎn)弦長公式|=<r ”、* f0 er < arctan - arctan < g < jt)宀八血匕bb2asm £x a(arctan < c& <5r arctan ) bb其中a為實(shí)半軸，b為虛半軸，c為半焦距，匚為AB的傾斜角。3、拋物線中,MNP1 cosp2p2-1 cos( ) si

8、n若拋物線p "聲心 0）與過焦點(diǎn)E '的直線/相交于A、B兩點(diǎn)，若/的傾斜角為 川，求弦長|AB| ?（圖4）圖4解：過A、B兩點(diǎn)分別向x軸作垂線為垂足，設(shè)p+ 7 - CO5£K則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為2-y cot a'，由拋物線定義可得pppp+ JCOSC? + = X! - V - COS £3+ = V222z2尸嚴(yán)一-1 - cos a1 -hc os app2p h-=-1 - cosct 1 -b cos or 1 - cos" a sin a的焦點(diǎn)弦長為sin a2|rlX = 2py的焦點(diǎn)弦長為cos a，

9、所以拋物線的焦點(diǎn)弦長為焦點(diǎn)在辭由上） sic a 尋L （焦點(diǎn)矽由上） bCOS Ct例2.已知拋物線y2=2px （p>0），過其焦點(diǎn)且斜率為k的直線交拋物線于 A , B兩點(diǎn),求AB長.2 2的直線，交雙曲線與 A、B兩點(diǎn),3練習(xí)1:.過雙曲線 -1的右焦點(diǎn)，引傾斜角為45求 | AB |解：根據(jù)題意，建立以雙曲線右焦點(diǎn)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系即得2 3cosA( i，-),B(AB | i 2| I3),801 7 2 3cos 2 3cos( )3word.、3 /附錄直角坐標(biāo)系中的焦半徑公式設(shè)P （x,y）是圓錐曲線上的點(diǎn),1、若F“ F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則PF1a ex， P

10、F2|a ex ；2、若F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí),PRex a， PF2ex a ；當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，PFja ex， PF2 a ex；3、若F是拋物線的焦點(diǎn)，|PF x -P .利用弦長求面積2 2例3.設(shè)過橢圓丄 1的右焦點(diǎn)的弦 AB=8，求三角形AOB的面積。2516y缶中。泊直線畫斜角2ab _160t7； c cos &2 5 9 cos 2 曰cos' & =而點(diǎn)O在占好上的肓七度73 0尸y tl & 豆出它?3x-=23所 Soff=2xg 2 = 82練習(xí)2. （08年海南卷）過橢圓 乞52J 1的焦點(diǎn)F作一

11、條斜率為2的直線與橢圓交于4A , B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB的面積.簡(jiǎn)解：首先極坐標(biāo)方程中的焦點(diǎn)弦長公式IAB |2°卩2求弦長，然后利用公式1 e cos1 . 亠S AOB -|AB|OF |sin AFO直接得出答案。2練習(xí)3. （2005年全國高考理科）已知點(diǎn)F為橢圓y2 1的左焦點(diǎn).過點(diǎn)F的直線h與橢2圓交于P、Q兩點(diǎn)，過F且與h垂直的直線J交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面 積的最小值和最大值解析：以點(diǎn)F為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為:1cos2|PQ|1 21 cos2,| MN |1 2cos290°)1 Isi n22設(shè)直線l1的傾斜

12、角，則直線12的傾斜角為90°，由極坐標(biāo)系中焦點(diǎn)弦長公式知:用他們來表示四邊形的面積S 2|PQ|MN|1 1 . 2 sin2 42cos1 丄 si n222 16的最大值與最小值由三角知識(shí)易知：當(dāng) si n21時(shí)，面積取得最小值 16 ；當(dāng)sin2 0時(shí)，面積取得最大9利用弦長公式解決常量問題2x2例4.過橢圓ab21(ab 0)的左焦點(diǎn)F，作傾斜角為60的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若FA2FB，求橢圓的離心率簡(jiǎn)解：建立極坐標(biāo)系，然后利用等量關(guān)系,可很快求出離心率。設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程為ecosFA1 ecos60°,fb0 ?ecos240，解得e練習(xí)4.求過橢圓3

13、cos的左焦點(diǎn),且傾斜角為一的弦長4AB和左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離。解：先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式:31 cos則離心率e2ep 3，所以左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距為設(shè) A( 1,4), B(AB(3)定值問題例5.拋物線解：以焦點(diǎn) F5一2,)，代入極坐標(biāo)方程, 423 cos42-5"3 cos4則弦長24171 12 px( p 0)的一條焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為a,b的兩段，證明：定值。a b軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為為極點(diǎn)，以 FX匚，設(shè) A(a, ),B(b,1 cos將A,B兩點(diǎn)代入極坐標(biāo)方程，得p1 cosp cos(則丄a11 cosb點(diǎn)睛:推論:1 cos(2=-(定值)

14、p引申到橢圓和雙曲線也是成立的。若圓錐曲線的弦 MN經(jīng)過焦點(diǎn)F，則有1MF1NFep例6.經(jīng)過橢圓的的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦AB和弦CD,求證1AB1CD為定值。證明：以橢圓的左焦點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，此時(shí)橢圓的極坐標(biāo)方程為，又設(shè)1 ecos,C3+3,2,D則代入可得2ep |AB| rv店，| AB| 學(xué)畤則1 e sin1AB1 =2-e2CD 2ep注釋。此公式對(duì)拋物線也成立，但對(duì)雙曲線不成立。注意使用的范圍。推廣1若經(jīng)過橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數(shù)和也為定值。需要以原點(diǎn)為極點(diǎn)建立 極坐標(biāo)方程。推廣2若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。2y271,點(diǎn)F是其左焦點(diǎn)，在橢圓上任證明:1FP11

15、FP21FP3為定值，并求此定值.解析：以點(diǎn)F為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為:的極角為 ，則點(diǎn)P2與R對(duì)應(yīng)的極角分別為1200、，設(shè)點(diǎn)P1對(duì)應(yīng)2 cos1200 , P1、P2與P3的極徑就分別是| FP1192 cosIFP2I92 cos( 1200)與 |FP3|X2例7. （2007重慶理改編）中心在原點(diǎn)O的橢圓一36取三個(gè)不同點(diǎn) P1,P2,P3使/ P1FP2 / F2FP3 / RFP, 1200 .92 cos(1200)1112 cosFP1FP2 FP392 cos(120°)92 cos(1200)9而在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道cos cos（1200) cos( 1200)0,因此1FP11_FP21FP3I為定值點(diǎn)睛：極坐標(biāo)分別表示I FP1 I、I FP2 |與|FP31，這樣一個(gè)角度對(duì)應(yīng)一個(gè)極徑.就不會(huì)象解析幾何那樣，一個(gè)傾斜角，對(duì)應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)，同時(shí)對(duì)應(yīng)兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標(biāo)表示圓錐曲線的優(yōu)點(diǎn).推廣：若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？例8 . （2006全國聯(lián)賽江蘇）2X橢圓2521的右焦點(diǎn)為F , P1 , P2,，P24為24個(gè)依16逆時(shí)針順序排列在橢圓上的點(diǎn)，其中P1是橢圓的右