(完整版)上海交通大學(xué)2008年振動(dòng)力學(xué)期末考試試題

1、上海交通大學(xué) 2008 年振動(dòng)力學(xué)期末考試試題第一題（ 20 分）1、在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，已知：重物 C 的質(zhì)量 m1，勻質(zhì)桿 AB 的質(zhì)量 m2，長為 L，勻質(zhì)輪 O的質(zhì)量 m3，彈簧的剛度系數(shù) k。當(dāng) AB桿處于水平時(shí)為系統(tǒng)的靜平衡位置。試采用能量法求系統(tǒng)微振時(shí)的固有頻率。解：系統(tǒng)可以簡化成單自由度振動(dòng)系統(tǒng)， 以重物 C的位移 y 作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，在靜平衡位置時(shí) y 0，此時(shí)系統(tǒng)的勢能為零。AB轉(zhuǎn)角：系統(tǒng)動(dòng)能：m1 動(dòng)能：m2 動(dòng)能：m3 動(dòng)能：系統(tǒng)勢能：在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，因而有：上式求導(dǎo)，得系統(tǒng)的微分方程為：固有頻率和周期為：2、質(zhì)量為 m1

2、 的勻質(zhì)圓盤置于粗糙水平面上，輪緣上繞有不可伸長的細(xì)繩并通過定滑輪 A 連在質(zhì)量為 m2 的物塊 B 上；輪心 C與剛度系數(shù)為 k 的水平彈簧相連；不計(jì)滑輪 A，繩及彈簧的質(zhì)量，系統(tǒng)自彈簧原長位置靜止釋放。試采用能量法求系統(tǒng)的固有頻率。解：系統(tǒng)可以簡化成單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以重物 B 的位移 x 作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，在靜平衡位置時(shí) x0，此時(shí)系統(tǒng)的勢能為零。物體 B 動(dòng)能：輪子與地面接觸點(diǎn)為速度瞬心，則輪心速度為，角速度為，轉(zhuǎn)過的角度為。輪子動(dòng)能：系統(tǒng)勢能：在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有：上式求導(dǎo)得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：固有頻率為：第二題（ 20 分）1、在圖示振

3、動(dòng)系統(tǒng)中，重物質(zhì)量為m，外殼質(zhì)量為 2m，每個(gè)彈簧的剛度系數(shù)均為 k。設(shè)外殼只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)。采用影響系數(shù)方法：（1）以 x1 和 x2 為廣義坐標(biāo)，建立系統(tǒng)的微分方程；（2）求系統(tǒng)的固有頻率。解：系統(tǒng)為二自由度系統(tǒng)。當(dāng) x1 1， x20 時(shí)，有： k11 2k，k21 2k當(dāng) x2 1， x21 時(shí)，有： k22 4k，k12 2k因此系統(tǒng)剛度矩陣為：系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為：系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：頻率方程為：解出系統(tǒng) 2 個(gè)固有頻率：，2、在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，物體A、B 的質(zhì)量均為 m，彈簧的剛度系數(shù)均為k ，剛桿AD的質(zhì)量忽略不計(jì)，桿水平時(shí)為系統(tǒng)的平衡位置。采用影響系數(shù)方法，試求：（ 1）以x1 和

4、 x2 為廣義坐標(biāo)，求系統(tǒng)作微振動(dòng)的微分方程；（）系統(tǒng)的固有頻2率方程。解：系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以物體 A 和 B 在鉛垂方向的位移 x1 和 x2 為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。當(dāng) x11，x20 時(shí)，AD轉(zhuǎn)角為，兩個(gè)彈簧處的彈性力分別為和。對 D點(diǎn)取力矩平衡，有：；另外有。同理，當(dāng) x2 1， x21 時(shí)，可求得：，因此，系統(tǒng)剛度矩陣為：系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為：系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：頻率方程為：即：第三題（ 20 分）在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，已知：物體的質(zhì)量 m1、 m2 及彈簧的剛度系數(shù)為 k1、k2、k3、k4。（1）采用影響系數(shù)方法建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程； （ 2）若 k1 =k3=k4= k0，又

5、k2=2 k0 ，求系統(tǒng)固有頻率；（ 3）取 k0 =1，m1=8/9 ，m2 =1，系統(tǒng)初始位移條件為 x1 (0)=9 和 x2 (0)=0 ，初始速度都為零，采用模態(tài)疊加法求系統(tǒng)響應(yīng)。解：（ 1）系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)。當(dāng) x1 1， x20 時(shí)，有：k11k1+k2+k4，k21 k2當(dāng) x2 1， x21 時(shí)，有： k22 k2+k3，k12 k2。因此，系統(tǒng)剛度矩陣為：系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為：系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：（ 2）當(dāng)，時(shí)，運(yùn)動(dòng)微分方程用矩陣表示為：頻率方程為：求得：（ 3）當(dāng) k0=1，m1=8/9 ， m2 =1 時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)量陣：系統(tǒng)剛度陣：固有頻率為：，主模態(tài)矩陣為：主質(zhì)量

6、陣：主剛度陣：模態(tài)空間初始條件：，模態(tài)響應(yīng)：，即：，因此有：第四題（ 20 分）一勻質(zhì)桿質(zhì)量為m，長度為 L，兩端用彈簧支承， 彈簧的剛度系數(shù)為k1 和 k2。桿質(zhì)心C 上沿x 方向作用有簡諧外部激勵(lì)。圖示水平位置為靜平衡位置。（ 1）以x 和為廣義坐標(biāo)，采用影響系數(shù)方法建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程；（2）取參數(shù)值為m=12，L=1，k1=1， k2 =3，求出系統(tǒng)固有頻率；（2）系統(tǒng)參數(shù)仍取前值，試問當(dāng)外部激勵(lì)的頻率為多少時(shí)，能夠使得桿件只有方向的角振動(dòng)，而無x 方向的振動(dòng)？解：（ 1）系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)，選 x、q 為廣義坐標(biāo)， x 為質(zhì)心的縱向位移， q 為剛桿的角位移，如圖示。當(dāng)

7、、時(shí)：，當(dāng)、時(shí)：，因此，剛度矩陣為：質(zhì)量矩陣為：系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程：（ 2）當(dāng) m=12，L=，k1 =1，k2 =3 時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：頻率方程為：即：求得：（ 3）令，代入上述動(dòng)力學(xué)方程，有：由第二行方程，解得，代入第一行的方程，有：，要使得桿件只有方向的角振動(dòng)，而無x 方向的振動(dòng)，則需，因此。第五題（ 20 分）如圖所示等截面懸臂梁，梁長度為L，彈性模量為 E，橫截面對中性軸的慣性矩為 I ，梁材料密度為。在梁的位置作用有集中載荷。已知梁的初始條件為：，。（ 1）推導(dǎo)梁的正交性條件；（2）寫出求解梁的響應(yīng)的詳細(xì)過程。（假定已知第i 階固有頻率為，相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為，）提示：梁的動(dòng)力學(xué)方程為

8、：，其中，為函數(shù)。解：（ 1）梁的彎曲振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為：可寫為：代入梁的動(dòng)力學(xué)方程，有：設(shè)與、對應(yīng)有、，有：（1）（ 2）式（ 1）兩邊乘以并沿梁長對積分，有：（3）利用分部積分，上式左邊可寫為：（ 4）由于在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個(gè)與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個(gè)同時(shí)為零，所以，上式右邊第一、第二項(xiàng)等于零，成為：將上式代入（ 3）中，有：（5）式（ 2）乘并沿梁長對積分，同樣可得到：（6）由式 (5) 、(6) 得：（7）如果時(shí)，則有：當(dāng)（8）上式即梁的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性。再由（3）及（ 6）可得：當(dāng)當(dāng)上兩式即梁的主振型關(guān)于剛度的正交性。當(dāng)時(shí)，式（ 7）總能成立，令：、即為第 j 階主質(zhì)量和第j 階主剛度。由式（ 6）知有：如果主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件來確定：（9）則所得的主振型稱為正則振型，這時(shí)相應(yīng)的第j 階主剛度為。式（ 9）與（ 8）可合并寫為：由式（ 6）知有：（ 2）懸臂梁的運(yùn)動(dòng)微分方程為：，（ 1）其中：（2）令：