(完整版)抽屜原理的經(jīng)典解題思路

1、抽屜原理的經(jīng)典解題思路抽屜原理在公務(wù)員考試中的數(shù)字運(yùn)算部分時(shí)有出現(xiàn)。 抽屜原理是用最樸素的思想解決組合數(shù)學(xué)問題的一個(gè)范例，我們可以從日常工作中的實(shí)例來體會(huì)抽屜原理的應(yīng)用。抽屜原理的內(nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決。先來看抽屜原理的一般敘述：抽屜原理（ 1）：講多于 n 件的物品任意放到 n 個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品的件數(shù)不少于 2。抽屜原理（ 1）可以進(jìn)行推廣，把無窮多個(gè)元素放入有限個(gè)集合里，則一定有一個(gè)集合里含有無窮多個(gè)元素。抽屜原理（2）：將多于 件的物品任意放到抽屜中， 那么至少有一個(gè)抽屜中的物品的件數(shù)不少也可以表述成如下

2、語句：把 m 個(gè)物品任意放入 n（nm）個(gè)抽屜中，則一定有一個(gè)抽屜中至多要有物品。其中 k m/n ，這里 m/n 表示不大于 m/n 的最大整數(shù)，即 m/n 的整數(shù)部分。m+1。k 件掌握了抽屜原理解題的步驟就能思路清晰的對一些存在性問題、最小數(shù)目問題做出快速準(zhǔn)確的解答。一般來講，首先得分析題意，分清什么是 “物品 ”，什么是 “抽屜 ”，也就是什么作 “物品 ”，什么可作“抽屜 ”。 接著制造抽屜。這個(gè)是關(guān)鍵的一步，這一步就是如何設(shè)計(jì)抽屜。根據(jù)題目條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識， 抓住最基本的數(shù)量關(guān)系， 設(shè)計(jì)和確定解決問題所需的抽屜及其個(gè)數(shù)， 為使用抽屜鋪平道路。 最后運(yùn)用抽屜原理。觀察題

3、設(shè)條件，結(jié)合第二步，恰當(dāng)應(yīng)用各個(gè)原則或綜合運(yùn)用幾個(gè)原則，以求問題之解決。下面兩個(gè)典型例題的解題過程充分展現(xiàn)了抽屜原理的解題過程，希望讀者能有所體會(huì)。例 1：證明任取6 個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是5 的倍數(shù)。證明：考慮每個(gè)自然數(shù)被 5 除所得的余數(shù)。 即自然數(shù)可以作為物品， 被 5 除所得余數(shù)可以作為抽屜。顯然可知，任意一個(gè)自然數(shù)被 5 除所得的余數(shù)有 5 種情況： 0，1，2， 3， 4。所以構(gòu)造 5 個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜中所裝的物品就是被 5 除所得余數(shù)分別為 0， 1， 2， 3，4 的自然數(shù)。運(yùn)用抽屜原理，考慮 “最壞 ”的情況，先從每個(gè)抽屜中各取一個(gè) “物品 ”，共 5 個(gè)，則再取一個(gè)物品

4、總能在先取的 5 個(gè)中找到和它出自于同一抽屜的 “物品 ”，即它們被 5 除余數(shù)相同，所以它們的差能整除 5。例 2： 黑色、白色、黃色的筷子各有 8 根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的 2 雙筷子（每雙筷子兩根的顏色應(yīng)一樣），問至少要取材多少根才能保證達(dá)到要求？解：這道題并不是品種單一，不能夠容易地找到抽屜和蘋果，由于有三種顏色的筷子，而且又混雜在一起，為了確保取出的筷子中有2 雙不同顏色的筷子， 可以分兩步進(jìn)行。 第一步先確保取出的筷子中有 1 雙同色的；第二步再從余下的筷子中取出若干根保證第二雙筷子同色。首先，要確保取出的筷子中至少有 1 雙是同色的，我們把黑色、白色

5、、黃色三種顏色看作3 個(gè)抽屜，把筷子當(dāng)作蘋果，根據(jù)抽屜原則，只需取出4 根筷子即可。其次，再考慮從余下的20 根筷子中取多少根筷子才能確保又有1 雙同色筷子，我們從最不利的情況出發(fā)，假設(shè)第一次取出的4 根筷子中，有 2 根黑色， 1 根白色， 1 根黃色。這樣，余下的20 根筷子，有 6 根黑色的， 7 根白色的， 7 根黃色的，因此，只要再取出7 根筷子，必有1 根是白色或黃色的， 能與第一次取出的1 根白色筷子或黃色筷子配對， 從而保證有2 雙筷子顏色不同，總之，在最不利的情況下，只要取出4+7=11 根筷子，就能保證達(dá)到目的。以上兩個(gè)題目都考慮了 “最壞 ”的情況， 這是考慮涉及抽屜原理

6、的最值問題的常用思路。 最后看一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題，它體現(xiàn)了抽屜原理在證明存在性問題中的應(yīng)用?！白C明在任意 6 個(gè)人的集會(huì)上，或者有3 個(gè)人以前彼此相識，或者有三個(gè)人以前彼此不相識。”這個(gè)問題可以用如下方法簡單明了地證出：在平面上用6 個(gè)點(diǎn) A 、B、C、D、 E、F 分別代表參加集會(huì)的任意6 個(gè)人。如果兩人以前彼此認(rèn)識，那么就在代表他們的兩點(diǎn)間連成一條紅線；否則連一條藍(lán)線。考慮 A 點(diǎn)與其余各點(diǎn)間的5 條連線 AB ，AC，.，AF ，它們的顏色不超過2 種。根據(jù)抽屜原理可知其中至少有3 條連線同色，不妨設(shè)AB ，AC ，AD 同為紅色。如果BC，BD ，CD3 條連線中有一條（不妨設(shè)為BC）也為紅色，那么三角形ABC 即一個(gè)紅色三角形， A、B、C 代表