人教版八年級(jí)上《13.3.2 等邊三角形》教案設(shè)計(jì)

1、京翰初中家教專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開(kāi)設(shè)初二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班13.3.2 等邊三角形（1） （二）能力訓(xùn)練要求 1經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維 2經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn) （三）情感與價(jià)值觀要求 1積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲 2在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明 難點(diǎn)：1等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明 2引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問(wèn)題 教學(xué)方法 探索發(fā)現(xiàn)法 教具準(zhǔn)備 多媒體課件，投影儀

2、 教學(xué)過(guò)程 提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境 師我們?cè)谇皟晒?jié)課研究證明了等腰三角形的性質(zhì)和判定定理，我們知道，在等腰三角形中有一種特殊的等腰三角形三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形回答下面的三個(gè)問(wèn)題 （演示課件） 1把等腰三角形的性質(zhì)用到等邊三角形，能得到什么結(jié)論？ 2一個(gè)三角形滿足什么條件就是等邊三角形？ 3你認(rèn)為有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？把你的證明思路與同伴交流 （教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時(shí)間） 生甲由等邊對(duì)等角的性質(zhì)可知，等邊三角形的三個(gè)角相等，又由三角形三內(nèi)角和定理可知，等邊三角形的三個(gè)角相等，并且都等于60 生乙等腰三角形已有兩邊分別相等，所以我認(rèn)為只要腰

3、和底邊相等，等腰三角形就是等邊三角形了 生丙等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且分別都等于60，我認(rèn)為等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60，也就是說(shuō)這個(gè)等腰三角形就是等邊三角形了 （此時(shí)，部分同學(xué)同意此生看法，部分同學(xué)不同意此生看法，引起激烈的爭(zhēng)論，教師可讓同學(xué)代表發(fā)表自己的看法） 生丁我不同意這個(gè)同學(xué)的看法，因?yàn)槿魏我粋€(gè)三角形滿足這個(gè)條件都是等邊三角形根據(jù)等角對(duì)等邊，三個(gè)內(nèi)角都是60，所以它們所對(duì)的邊一定相等，但這一問(wèn)題中“已知是等腰三角形，滿足什么條件時(shí)便是等邊三角形”，我覺(jué)得他給的條件太多，浪費(fèi)! 師給三個(gè)角都是60，這個(gè)條件確實(shí)有點(diǎn)浪費(fèi)，那么給什么條件不浪費(fèi)呢？下面同學(xué)們可以在小組內(nèi)交流自己的看法

4、 導(dǎo)入新課 探索等腰三角形成等邊三角形的條件 生如果等腰三角形的頂角是60，那么這個(gè)三角形是等邊三角形 師你能給大家陳述一下理由嗎？生根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，頂角是60，等腰三角形的兩個(gè)底角的和就是180-60=120，再根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角是相等的，所以每個(gè)底角分別是1202=60，則三個(gè)內(nèi)角分別相等，根據(jù)等角對(duì)等邊，則此時(shí)等腰三角形的三條邊是相等的，即頂角為60的等腰三角形為等邊三角形 生等腰三角形的底角是60，那么這個(gè)三角形也是等邊三角形，同樣根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等角對(duì)等邊、等邊對(duì)等角的性質(zhì) 師從同學(xué)們自主探索和討論的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：在等腰三角形中，不論底角是60，還是頂角是60，那么

5、這個(gè)等腰三角形都是等邊三角形你能用更簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言描述這個(gè)結(jié)論嗎？ 生有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形 （這個(gè)結(jié)論的證明對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)可能有一定的難點(diǎn)，難點(diǎn)是意識(shí)到分別討論60的角是底角和頂角兩種情況這是一種分類(lèi)討論的思想，教師要關(guān)注學(xué)生得出證明思路的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問(wèn)題，并有意識(shí)地向?qū)W生滲透分類(lèi)的思想方法） 師你在與同伴的交流過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了什么或受到了何種啟示？生我發(fā)現(xiàn)我的證明過(guò)程沒(méi)有意識(shí)到“有一個(gè)角是60”，在等腰三角形中有兩種情況： （1）這個(gè)角是底角；（2）這個(gè)角是頂角也就是說(shuō)我們思考問(wèn)題要全面、周到 師我們來(lái)看有多少同學(xué)意識(shí)到分別討論60的角是底角和頂角的情況，我們鼓掌表

6、示對(duì)他們的鼓勵(lì) 今天，我們探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等邊三角形的判定定理；有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形，我們?cè)谧C明這個(gè)定理的過(guò)程中，還得出了三角形為等邊三角形的條件，是什么呢？ 生三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 師下面就請(qǐng)同學(xué)們來(lái)證明這個(gè)結(jié)論 （投影儀演示學(xué)生證明過(guò)程） 已知：如圖，在ABC中，A=B=C 求證：ABC是等邊三角形 證明：A=B， BC=AC（等角對(duì)等邊） 又A=C， BC=AC（等角對(duì)等邊） AB=BC=AC，即ABC是等邊三角形 師這樣，我們由等腰三角形的性質(zhì)和判定方法就可以得到 （演示課件） 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60； 三個(gè)角都相等的三角形

7、是等邊三角形 有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形 師有了上述結(jié)論，我們來(lái)學(xué)習(xí)下面的例題，體會(huì)上述定理 （演示課件）例4如圖，課外興趣小組在一次測(cè)量活動(dòng)中，測(cè)得APB=60，AP=BP=200m，他們便得出一個(gè)結(jié)論：A、B之間距離不少于200m，他們的結(jié)論對(duì)嗎？ 分析：我們從該問(wèn)題中抽象出APB，由已知條件APB=60且AP=BP，由本節(jié)課探究結(jié)論知APB為等邊三角形 解：在APB中，AP=BP，APB=60， 所以PAB=PBA=（180-APB）=（180-60）=60 于是PAB=PBA=APB 從而APB為等邊三角形，AB的長(zhǎng)是200m，由此可以得出興趣小組的結(jié)論是正確的 隨堂練習(xí)

8、（一）課本練習(xí) 1、2 1等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？它有幾條對(duì)稱軸？它們分別是什么線段？ 答案：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，它們分別是三個(gè)角的平分線（或是三條邊上的中線或三條邊上的高線）2如圖，等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，BDE=CDF=60，圖中有哪些與BD相等的線段？ 答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF （二）補(bǔ)充練習(xí)如圖，ABC是等邊三角形，B和C的平分線相交于D，BD、CD的垂直平分線分別交BC于E、F，求證：BE=CF 證明：連接DE，DF，則BE=DE，DF=CF 由ABC是等邊三角形，BD平分ABC，得1=30，故2=30，從而DEF=60

9、 同理DFE=60， 故DEF是等邊三角形 所以DE=DF，因而B(niǎo)E=CF 課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課，我們自主探索、思考了等腰三角形成為等邊三角形的條件，并對(duì)這個(gè)結(jié)論的證明有意識(shí)地滲透分類(lèi)討論的思想方法這節(jié)課我們學(xué)的定理非常重要，在我們今后的學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用 活動(dòng)與探究探究：如圖，在等邊三角形ABC的邊AB，AC上分別截取AD=AEADE是等邊三角形嗎？試說(shuō)明理由 過(guò)程：通過(guò)分析、討論，讓學(xué)生進(jìn)一步了解等邊三角形的性質(zhì)及判定 結(jié)果： 已知：三角形ABC為等邊三角形D，E為邊AB，AC上兩點(diǎn)，且AD=AE判斷ADE是否是等邊三角形，并說(shuō)明理由 解：ADE是等邊三角形， ABC是等邊三角形， A=

10、60 又AD=AE， ADE是等腰三角形 ADE是等邊三角形（有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形） 板書(shū)設(shè)計(jì) 一、探索等邊三角形的性質(zhì)及判定 問(wèn)題：一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)便成為等邊三角形 二、等邊三角形的性質(zhì)及判定 三、應(yīng)用例題講解 四、隨堂練習(xí) 五、課時(shí)小結(jié) 六、課后作業(yè)備課資料 等腰三角形（含等邊三角形）的性質(zhì)與判定性質(zhì)判定的條件等腰三角 形（含等 邊三角形）等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊“三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形的三個(gè)角都相等，且每個(gè)角都是60三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 參考例題 1已知，如圖，房屋的頂

11、角BAC=100，過(guò)屋頂A的立柱ADBC屋椽AB=AC，求頂架上B、C、BAD、CAD的度數(shù) 解：在ABC中， AB=AC（已知）， B=C（等邊對(duì)等角） B=C=（180-BAC）=40（三角形內(nèi)角和定理） 又ADBC（已知）， BAD=CAD（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合） BAD=CAD=50 2已知：如圖，ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD 求證：DB=DE 證明：ABC是等邊三角形，且BD是中線， BDAC，ACB=60，DBC=30 又CD=CE， CDE=E=ACB=30 DBC=E DB=DE 3已知：如圖，ABC是等邊三角形，DEBC，交

12、AB、AC于D、E 求證：ADE是等邊三角形 證明：ABC是等邊三角形（已知）， A=B=C（等邊三角形各角相等） DEBC， ADE=B，AED=C（兩直線平行，同位角相等） A=ADE=AED ADE是等邊三角形（三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形）12.3.2 等邊三角形（2） 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1探索發(fā)現(xiàn)猜想證明直角三角形中有一個(gè)角為30的性質(zhì) 2有一個(gè)角為30的直角三角形的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 （二）能力訓(xùn)練要求 1經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系 2培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)的習(xí)慣和能力 （三）情感與價(jià)值觀要求 1

13、鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲 2體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)新、感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：含30角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明 難點(diǎn)：1含30角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明 2引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問(wèn)題 教學(xué)方法 探索發(fā)現(xiàn)法 教具準(zhǔn)備 兩個(gè)全等的含30角的三角尺； 多媒體課件； 投影儀 教學(xué)過(guò)程 提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境 師我們學(xué)習(xí)過(guò)直角三角形，今天我們先來(lái)看一個(gè)特殊的直角三角形，看它具有什么性質(zhì)大家可能已猜到，我讓大家準(zhǔn)備好的含30角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性質(zhì)呢？ 問(wèn)題：用兩個(gè)全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一個(gè)怎樣的三角形？能拼出一個(gè)

14、等邊三角形嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由 由此你能想到，在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？你能證明你的結(jié)論嗎？ 導(dǎo)入新課 （讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到，通過(guò)實(shí)際操作探索出來(lái)的結(jié)論，還需要給予證明）生用含30角的直角三角尺擺出了如下兩個(gè)三角形 其中，圖（1）是等邊三角形，因?yàn)锳BDACD，所以AB=AC，又因?yàn)镽tABD中，BAD=60，所以ABD=60，有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形 生圖（1）中，B=C=60，BAC=BAD+CAD=30+30=60，所以B=C=BAC=60，即ABC是等邊三角形 師同學(xué)們從不同的角度說(shuō)明了自己拼成的圖（1）是

15、等邊三角形由此你能得出在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系嗎？ 生在直角三角形中，30角所對(duì)直角邊是斜邊的一半 師我們僅憑實(shí)際操作得出的結(jié)論還需證明，你能證明它嗎？ 生可以，在圖（1）中，我們已經(jīng)知道它是等邊三角形，所以AB=BC=AC而ADB= 90，即ADBC根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得BD=DC=BC所以BD=AB，即在RtABD中，BAD=30，它所對(duì)的邊BD是斜邊AB的一半 師生共析這位同學(xué)能結(jié)合前后知識(shí)，把問(wèn)題思路解釋得如此清晰，很了不起下面我們一同來(lái)完成這個(gè)定理的證明過(guò)程 定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 已知：如圖

16、，在RtABC中，C=90，BAC=30求證：BC=AB 分析：從三角尺的擺拼過(guò)程中得到啟發(fā)，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，連接AD 證明：在ABC中，ACB=90，BAC=30，則B=60 延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，連接AD. ACB=60，ACD=90 AC=AC， ABCADC（SAS） AB=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） ABD是等邊三角形（有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形） BC=BD=AB 師這個(gè)定理在我們實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，因?yàn)樗山堑奶厥庑?，揭示了直角三角形中的直角邊與斜邊的關(guān)系，下面我們就來(lái)看一個(gè)例題 （演示課件） 例5右圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中

17、點(diǎn)，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD，DE要多長(zhǎng)？ 分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在RtAED與RtACB中，由于 A=30，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中點(diǎn)，所以DE=AB解：因?yàn)镈EAC，BCAC，A=30，由定理知BC=AB，DE=AD，所以BD=7.4=3.7（m） 又AD=AB，所以DE=AD=3.7=1.85（m） 答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m 師再看下面的例題 例等腰三角形的底角為15，腰長(zhǎng)為2a，求腰上的高已知：如圖，在ABC中，AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高 求：CD的長(zhǎng) 分析：觀察圖形可以

18、發(fā)現(xiàn)，在RtADC中，AC=2a，而DAC是ABC的一個(gè)外角，則DAC=152=30，根據(jù)在直角三角形中，30角所對(duì)的邊是斜邊的一半，可求出CD 解：ABC=ACB=15， DAC=ABC+BAC=30 CD=AC=a（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半） 師下面我們來(lái)做練習(xí) 隨堂練習(xí) （一）課本練習(xí) RtABC中，C=90，B=2A，B和A各是多少度？邊AB與BC之間有什么關(guān)系？ 答案：B=60，A=30，AB=2BC （二）補(bǔ)充練習(xí) 1已知：如圖，ABC中，ACB=90，CD是高，A=30 求證：BD=AB 證明：在RtABC中，A=30， BC=AB

19、在RtBCD中，B=60， BCD=30 BD=BC BD=AB 2已知直角三角形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)銳角的2倍，這個(gè)角的平分線把對(duì)邊分成兩條線段 求證：其中一條是另一條的2倍 已知：在RtABC中，A=90，ABC=2C，BD是ABC的平分線 求證：CD=2AD 證明：在RtABC中，A=90，ABC=2C， ABC=60，C=30 又BD是ABC的平分線， ABD=DBC=30 AD=BD，BD=CD CD=2AD 課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課，我們?cè)谏瞎?jié)課的基礎(chǔ)上推理證明了含30的直角三角形的邊的關(guān)系這個(gè)定理是個(gè)非常重要的定理，在今后的學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用 活動(dòng)與探究 在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30 過(guò)程：可以從證明“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”從輔助線的作法