高考文科數(shù)學(xué)圓錐曲線專題復(fù)習(xí)

1、實(shí)用文案圓錐曲線專題復(fù)習(xí)知識(shí)歸納：名稱橢圓y圖 象Ox平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1 ,F2 的距離的和為常數(shù)（大于F1F2 ）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓即 MF1MF2 2a定 義c 時(shí)，軌跡是橢圓，當(dāng) 2 a 2當(dāng)2 a 2 c 時(shí) ， 軌 跡 是 一 條 線 段F1 F2當(dāng) 2 a 2 c 時(shí)，軌跡不存在雙曲線yOx平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1, F2 的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于F1 F2 ）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線即MF1MF22a當(dāng) 2 a 2 c 時(shí)，軌跡是雙曲線當(dāng) 2 a 2 c 時(shí)，軌跡是兩條射線當(dāng) 2 a 2 c 時(shí)，軌跡不存在焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)：x2y2ab1x 2y222焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)：1a 2b

2、 2標(biāo) 準(zhǔn)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)： y 2x 2方 程1焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)： y 2x2a2b21注：根據(jù)分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一a 2b2坐標(biāo)軸上常 數(shù)a,b,ca 2c2b2 ， ab 0 ，c2a2b2 ， c a 0的 關(guān)a 最大， cb, cb, cbc 最大，可以 a b, ab,ab系焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)： xy0漸 近ab線焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)： yx0ab標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案拋物線：圖形yOFlyxFOxl方22 px( p0)y 22 px( p0)22 py( p0)x22 py( p 0)yx程焦p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )(點(diǎn)2222準(zhǔn)pxpypypx222

3、2線（一）橢圓1. 橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程x 2y2ab 0)a1(2b 2（ 1）范圍：a xa，- bx a，橢圓落在 xa yb 組成的矩形中。，（ 2）對(duì)稱性 : 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱。圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱。圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。原點(diǎn)叫橢圓的對(duì)稱中心，簡稱中心。 x 軸、 y 軸叫橢圓的對(duì)稱軸。從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對(duì)稱的截距。（ 3）頂點(diǎn)：橢圓和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)橢圓共有四個(gè)頂點(diǎn)：A ( a,0), A2 (a,0) ， B (0,b), B2 (0,b) 。加兩焦點(diǎn) F1 (c,0), F2 (c,0) 共有六個(gè)特殊點(diǎn)。 A1 A2 叫橢圓的長軸，B1 B2 叫橢

4、圓的短軸。長分別為2a,2b 。 a, b分別為橢圓的長半軸長和短半軸長。橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)。（ 4）離心率：橢圓焦距與長軸長之比。ece1( b )2 。 0 e 1 。aa橢圓形狀與 e的關(guān)系： e0, c0 ，橢圓變圓， 直至成為極限位置圓， 此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在e 0 時(shí)的特例。 e 1, ca, 橢圓變扁，直至成為極限位置線段F1 F2 ，此時(shí)也可認(rèn)為是橢圓在e 1時(shí)的特例。2. 橢圓的第二定義：一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)(0,1)內(nèi)常數(shù) e ，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)e 就是離心率。橢圓的第二定義與第一

5、定義是等價(jià)的，它是橢圓兩種不同的定義方式3. 橢圓的準(zhǔn)線方程對(duì)于 x2y 21 ，左準(zhǔn)線 l1 : xa2；右準(zhǔn)線 l 2 : xa 2a2b2cc標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案對(duì)于 y2x21，下準(zhǔn)線 l 1 : ya 2；上準(zhǔn)線 l 2 : ya2a2b2cc焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離a2a2c2b2pcc（焦參數(shù)）cc（二）雙曲線的幾何性質(zhì)：1. （ 1）范圍、對(duì)稱性由標(biāo)準(zhǔn)方程 x2y21，從橫的方向來看，直線x a,x a 之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著xa 2b2的增大， y 的絕對(duì)值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線。雙曲線不封閉，但仍稱其對(duì)稱中心為雙曲線的中心。（ 2）

6、頂點(diǎn)頂點(diǎn)： A1 (a,0), A2a,0 ，特殊點(diǎn)： B1 (0,b), B2 0, b實(shí)軸： A1 A2 長為 2a,a 叫做實(shí)半軸長。虛軸：B1B2 長為 2b， b 叫做虛半軸長。雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異。（ 3）漸近線過雙曲線 x2y2 1的漸近線yb x （ xy0）a 2b2aab（ 4）離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比 e2cc ，叫做雙曲線的離心率范圍： e>12aa雙曲線形狀與e 的關(guān)系： kbc 2a2c21e21 ， e 越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)aaa2值就越大， 這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知， 雙曲線的離心率越

7、大，它的開口就越闊。2. 等軸雙曲線定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。等軸雙曲線的性質(zhì)： （ 1）漸近線方程為：yx ；（2）漸近線互相垂直； （ 3）離心率 e2 。3. 共漸近線的雙曲線系如果已知一雙曲線的漸近線方程為yb xkb x(k 0) ，那么此雙曲線方程就一定是：a kax2y21( k 0) 或?qū)懗蓌2y2。(ka) 2(kb) 2a2b24. 共軛雙曲線以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別：三量 a,b,c 中 a,b 不同（互換） c 相同。共用一對(duì)漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲

8、線的方法：將1 變?yōu)?1。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案5.雙曲線的第二定義：到定點(diǎn)F 的距離與到定直線 l 的距離之比為常數(shù)ec (c a 0) 的點(diǎn)的軌跡是a雙曲線。其中，定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線。常數(shù)e 是雙曲線的離心率。6.雙曲線的準(zhǔn)線方程：對(duì)于 x2y 2 1 來說，相對(duì)于左焦點(diǎn) F1 ( c,0) 對(duì)應(yīng)著左準(zhǔn)線 l1 : xa2，相對(duì)于右焦點(diǎn) F2 (c,0) 對(duì)a2b 2ca2應(yīng)著右準(zhǔn)線l2 : x；c焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離pb2（也叫焦參數(shù)） 。c對(duì)于 y2x 21 來說，相對(duì)于下焦點(diǎn) F1 (0,c) 對(duì)應(yīng)著下準(zhǔn)線 l1 : ya2；相對(duì)于上焦點(diǎn) F2 (0, c) 對(duì)a2b

9、2c應(yīng)著上準(zhǔn)線 l2a2: y。c（三）拋物線的幾何性質(zhì)（ 1）范圍因?yàn)?p 0，由方程 y22 px p0 可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)（ x，y）滿足不等式x0，所以這條拋物線在y 軸的右側(cè)；當(dāng)x 的值增大時(shí)，|y| 也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。（ 2）對(duì)稱性以 y 代 y，方程 y 22 px p0 不變，所以這條拋物線關(guān)于x 軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸。（ 3）頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)在方程y 22 px p0 中，當(dāng) y 0 時(shí)， x 0，因此拋物線 y 22px p0 的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)。（ 4）離心率拋物線上的點(diǎn) M與焦點(diǎn)的距離

10、和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用 e 表示。由拋物線的定義可知， e 1?！镜湫屠}】例 1. 根據(jù)下列條件，寫出橢圓方程（ 1）中心在原點(diǎn)、以對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸、離心率為1/2 、長軸長為8；（ 2）和橢圓9x2 4y2 36 有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（2， 3）；（ 3）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，從一個(gè)焦點(diǎn)看短軸兩端的視角為直角，焦點(diǎn)到長軸上較近頂點(diǎn)的距離是 10 5 。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案分析：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要根據(jù)焦點(diǎn)位置確定方程形式，其次是根據(jù)a2 b2 c2 及已知條件確定 a2、 b2 的值進(jìn)而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程。解：（ 1）焦點(diǎn)位置可在x 軸上，也可在y 軸上因此有兩解：

11、 x 2y 21或 y 2x 2116121612（ 2 ）焦點(diǎn)位置確定，且為（0 ，y2x21 , （ a>b>0），由已知條件有5 ），設(shè)原方程為b2a2a 2b25a215,b2y 2x 294110 ，故方程為1。a2b 21510x 2y2（ 3）設(shè)橢圓方程為2ba21, （ a>b>0）bc及 a2 b2c2，解得 b 5, a10由題設(shè)條件有ac105故所求橢圓的方程是x 2y2101。5例 2.直線 ykx1與雙曲線 3x2y 21 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，當(dāng) a 為何值時(shí)， A、 B 在雙曲線的同一支上？當(dāng) a 為何值時(shí)， A、 B 分別在雙曲線的兩支

12、上？解：把 y kx 1代入 3x2y 21整理得： (3a 2 ) x 22ax20 （ 1）當(dāng) a3 時(shí)，244a2由>0 得6a6 且 a3 時(shí)，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)若 A、 B 在雙曲線的同一支，須x1 x22>0a3或 a3。a 2，所以3故當(dāng)6a3 或 3 a6 時(shí)， A、B 兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng)3 a3 時(shí)， A、B 兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上。例 3.已知拋物線方程為y22p(x 1) （ p>0），直線 l : x ym 過拋物線的焦點(diǎn)F 且被拋物線截得的弦長為3，求 p 的值。解：設(shè) l 與拋物線交于A(x1 , y1 ), B( x2 , y2

13、), 則 | AB | 3.標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案由距離公式 |AB| (x 1 - x 2 ) 2( y 1y 2 )211| y 1 y2 |2 | y1 y 2 |k 2則有 ( y1y2 )29 .2xy1p2 ，消去 x ，得 y 22 py p 20由y 22 p( x1)(2 p) 24 p 20.y1y22p, y1 y2p2 .從而 ( y1y) 2( y1y) 24 y y2221即 ( 2 p) 24 p 292由于 p>0，解得 p34例 4. 過點(diǎn) (1 ，0)的直線 l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上且離心率為2 的橢圓 C相交于 A、B 兩點(diǎn)，直2線 y= 1 x 過

14、線段 AB 的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C 上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l 對(duì)稱，試求直線l 與橢圓 C 的方2程 .解法一：由 e= c2 , 得 a2b 21 , 從而 a2=2b2,c=b.a2a 22設(shè)橢圓方程為 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上 .則 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2, 兩式相減得，(x12 x22)+2(y12 y22)=0, y1y2x1x2.x1x22( y1y2 )設(shè) AB 中點(diǎn)為 (x0,y0),則 kAB= x0,2 y0y又 (x0,y0)在直線 y= 1 x 上， y0= 1 x0,221y=xB2于是x0= 1,k

15、AB= 1,2y0F 2oF1x設(shè) l 的方程為 y= x+1.右焦點(diǎn) (b,0)關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為 (x ,y ),y則 x1x1b解得yxby1 b212A由點(diǎn) (1,1 b) 在橢圓上，得 1+2(1 b)2=2b2,b2= 9 , a 29.168所求橢圓 C 的方程為 8x216y2 =1,l 的方程為 y= x+1.99標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案解法二：由 e= c2, 得 a2b21 , 從而 a2=2b2,c=b.a2a 22設(shè)橢圓 C 的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x 1),將 l 的方程代入 C 的方程，得 (1+2k2)x2 4k2x+2k2 2b2=0,則

16、x1+x2=4k 2,y1+y2=k(x1 1)+k(x2 1)=k(x1+x2) 2k=2k2 .22k12k1直線 l ： y=1x 過 AB的中點(diǎn)x1x2y1y2), 則k12k2(2,21 2k 2,22 1 2k 2解得 k=0，或 k= 1.若 k=0, 則 l的方程為 y=0, 焦點(diǎn) F(c,0) 關(guān)于直線 l的對(duì)稱點(diǎn)就是 F 點(diǎn)本身，不能在橢圓C 上，所以 k=0 舍去，從而 k= 1，直線 l的方程為 y= (x 1), 即 y= x+1, 以下同解法一 .解法 3：設(shè)橢圓方程為x2y21(ab0)(1)a 2b2直線 l不平行于 y 軸，否則 AB中點(diǎn)在 x 軸上與直線y1

17、 x過 AB 中點(diǎn)矛盾。2故可設(shè)直線 l的方程為 yk( x1) (2)(2)代入 (1)消 y整理得：(k 2 a 2b 2 ) x 22k 2 a 2 xa2 k 2a 2 b 20 (3)設(shè)A(x1，y1 ) B( x2，y2 ) ， 知： x1x22k 2 a 2k 2a 2b2又 y1y 2k (x1x2 )2k代入上式得：k2k1k2kk2 a 2b 21kkb 21， 又e2x1x2，2k 2 a 2，ka 22222k2b 22(a 2c 2 )22e21 ，直線 l的方程為 y1x ，a2a 2此時(shí) a 22b 2 ， 方程 (3)化為 3x24x22b 20，1624(1b

18、 2 )8(3b 21) 0b3 ， 橢圓 C的方程可寫成： x22 y 22b 2 (4)， 又 c2a 2b 2b 2 ，3右焦點(diǎn) F (b，0) ， 設(shè)點(diǎn) F 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) ( x0， y0 ) ，y01x0b則x， y01b ，y0x0b01122又點(diǎn) (1，1b)在橢圓上，代入(4)得：2(1 b )2b2， b33，143b29 ，a 29168所以所求的橢圓方程為：x2y219 98 16標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案例 5.如圖，已知 P1OP2的面積為27 ，P 為線段 P1P2 的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線OP1、OP2為漸近線且4過點(diǎn) P 的離心率為13 的雙曲線方程 .2解：以

19、 O為原點(diǎn)， P1OP2的角平分線為 x 軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 .設(shè)雙曲線方程為x 2y2=1(a 0,b 0)a2b2y由 e2= c 2P 21(b ) 2(13 )2 ，得 b3 .a 2a2a2兩漸近線 OP1、 OP2方程分別為 y= 3 x 和 y= 3 x22P設(shè)點(diǎn) P1(x1,3 x1),P2(x2, 3x2)(x1 0,x2 0),ox22則由點(diǎn) P 分 P P 所成的比 = P1 P =2,P 112PP2得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為x12x2,x12 x2),(32又點(diǎn) P 在雙曲線 x24y222 =1上，a9a所以 ( x12x2 ) 2(x12 x2 )2=1,9a 29

20、a 2即 (x1+2x2)2 (x1 2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2又|OP1|2921329213x14x1x1 ,| OP |x24x2x2222 tan P1Ox23212sin P1OP21tan 2 P1Ox91314S POP1 |OP1 | OP2 | sin P1OP2113 x1 x21227 ,12224134即 x1x2=92由、得 a2=4,b2=9故雙曲線方程為x2y2=1.49例 6.已知點(diǎn) B（ 1，0）， C（ 1， 0）， P 是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足 | PC | | BC | PB CB.（ 1）求點(diǎn) P 的軌跡 C 對(duì)應(yīng)的方程；（ 2）已知

21、點(diǎn) A（m,2）在曲線 C 上，過點(diǎn) A 作曲線 C 的兩條弦 AD和 AE，且 AD AE，判斷：直線 DE是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論 .（ 3）已知點(diǎn) A（ m,2）在曲線 C 上，過點(diǎn) A 作曲線 C 的兩條弦 AD，AE，且 AD，AE 的斜率 k1、k2 滿足 k1·k2=2.求證：直線DE過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).解：（ 1）設(shè)( ,)代入|PC| |BC|PB CB得(x1) 221,化簡得 y2 4 .P xyyxx標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案(2)將A(m,2)代入y24x得m1,點(diǎn) 的坐標(biāo)為(1,2).A設(shè)直線 AD的方程為 y 2k(x1)代入 y 24x, 得y 24 y8

22、40,kk由y1可得y24442).2k2, D( k 21, k同理可設(shè)直線AE : y21( x1),代入y2得21,4k2).k4xE(4k44k則直線 DE方程為 : y4k2k(x4k21), 化簡得4k 24kk 2 ( y2)k(x5)( y2)0,即y2k(x5), 過定點(diǎn) (5,2).k 21(3)將A (m,2) 代入 y2設(shè)直線 DE的方程為ykx b由得 k 2 x2y 24 x4x得 m1,ykxb, D ( x1, y1 ), E ( x1, y1 )2(kb 2) x b 20,kAD kAEy12y 222,1x22( x1 , x2 1),x11且 ykx1b

23、, y2kx2b1(k 22) x1 x2( kb 2k 2)( x1x 2 ) (b 2) 22 0,將 x1x22(kb2), x1 x2b 2代入化簡得22( k 2).k 2k 2b( k 2) , bb(k2).將 bk2代入 ykxb得 ykxk2k (x1) 2, 過定點(diǎn) ( 1,2).將 b2k代入 ykxb得ykx2kk( x1)2,過定點(diǎn) (1,2), 不合 , 舍去 ,定點(diǎn)為 ( 1,2)【模擬試題】 （答題時(shí)間： 50 分鐘）一、選擇題1.是任意實(shí)數(shù)，則方程x 2y 2sin4 所表示的曲線不可能是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓2.已知橢 x2( yt )21

24、的一條準(zhǔn)線方程是 y8，則實(shí)數(shù) t 的值是（）1221A.7或7B. 4或 12C.1 或 15D. 03.雙曲線 x2y21的離心率 e(1,2) ，則 k 的取值范圍為（）4k標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案A.(,0)B.（ 12， 0） C.（ 3， 0）D.（ 60， 12）4.以 x2y21的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為（）412A.x2y21B. x2y 2116121216C.x2y21D. x2y 211644165.拋物線 y8mx2 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.( 1,0)B.(0,1 )C.(0,1)D. (1,0)8m32m32m32 m6.已知點(diǎn) A（ 2，1）， y24 x 的焦點(diǎn)

25、為 F， P 是 y24 x 的點(diǎn)，為使 PAPF 取得最小值， P 點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.( 1,1)B.( 2,2 2)C.(1 ,1)D.(2, 22 )447.已知雙曲線的漸近線方程為3x4 y0 ，一條準(zhǔn)線方程為5y90，則雙曲線方程為（）A.y2x21B. x2y 21916916C.y2x21D. x2y 219259258.拋物線 yx2 到直線 2xy 4距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.(3,5)B.(1,1)C. (3,9)D.(2,4)24249.動(dòng)圓的圓心在拋物線y 28x 上，且動(dòng)圓與直線x20 相切，則動(dòng)圓必過定點(diǎn)（）A.（4， 0）B.（ 2，0） C.（0， 2） D.

26、（0， 2）10 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，±52 ) 的橢圓被直線3x y 2=0 截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1 ，2則橢圓方程為 ( )A. 2x22 y21B. 2x22 y2125757525C. x2y21D. x2y2125757525二、填空題標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案11.到定點(diǎn)（ 2， 0）的距離與到定直線x8 的距離之比為2 的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 _。212.雙曲線 2mx2my22 的一條準(zhǔn)線是 y1，則 m _。13.已知點(diǎn)（2， 3）與拋物線 y 22px( p 0) 的焦點(diǎn)距離是5，。p _14直線 l 的方程為 y=x+3, 在 l 上任取一點(diǎn) P，若過點(diǎn) P且以雙曲線12x24y2=3 的焦點(diǎn)作橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長軸的橢圓方程為_ 。三、解答題15.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過右焦點(diǎn) F（2，0）作斜率為3 的直線，交雙曲線于 M、N 兩點(diǎn)，且 MN5 4，求雙曲線方程。16. 過橢圓 x 2y 21的左焦點(diǎn) F 作直線 l 交橢圓于 P 、 Q ， F2 為右焦點(diǎn)。43的最值求： PF2 QF217. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0，2 2 ) ，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為 y92 ，且離心率 e 滿足 2，e、 4433成等比數(shù)列。（ 1）求橢圓的方程。（ 2）試問是