初一奧數(shù)第09講 “設(shè)而不求”的未知數(shù)

1、第九講 “設(shè)而不求”的未知數(shù)讓我們先看一道簡單的數(shù)學(xué)題 三角形的面積解 設(shè)這個三角形的斜邊長度為c ，因為斜邊上的中線長是1，所以斜邊長c=2再設(shè)兩條直角邊的長度是a ，b ，面積是S ，那么 a 2+b2+2ab=6 把，代入式得4+4S=6， 在這個題目中，只要求出未知數(shù)S 的值，而我們卻設(shè)了三個未知數(shù)：a ，b ，S ，并且在解題過程中，我們也根本沒求a ，b 的值但是由于增設(shè)了a ，b 后，給我們利用等量關(guān)系列方程及方程組求S 的值，帶來了很大的便利，像這種未知數(shù)(如a ，b 就是本講所要介紹的“設(shè)而不求”的未知數(shù)所謂“設(shè)而不求”的未知數(shù)，又叫輔助元素，它是我們?yōu)榻鉀Q問題增設(shè)的一些參數(shù)

2、，它能起到溝通數(shù)量關(guān)系，架起連接已知量和未知量的橋梁作用例2若x y z a b b c c a=-,求x+y+z的值分析 已知條件是以連比的形式出現(xiàn)時，往往引進一個比例參數(shù)來表示這個連比解 令x y z k a b b c c a=- 則有x=k(a-b ， y=k(b-c ， z=k(c-a ， 所以x+y+z=k(a-b+k(b-c+k(c-a=0， 所以 x+y+Z=0說明 本例中所設(shè)的k ，就是“設(shè)而不求”的未知數(shù) 例3 已知p ，q ，r 都是5的倍數(shù)，r q p ，且r=p+10，試求(p q p r q r-的值。解 不妨設(shè)p=5k1，q=5k2，r=5k3，由題意可知，k 1

3、，k 2，k 3都是整數(shù)因為r q p ，所以k 3k 2k 1又因為r=p+10， 所以 5k3=5k1+10，k 3=k1+2， 所以 k1+2k 2k 1， 所以 k2=k1+1 將，代入所求的代數(shù)式得 說明 本題中k 1，k 2，k 3均是“設(shè)而不求”的未知數(shù) a 1，并且設(shè)分子：n -13=ak1， 分母：5n+6=ak2 其中k 1，k 2為自然數(shù)由得n=13+ak1，將之代入得5(13+ak1+6=ak2，即 71+5ak1=ak2， 所以 a(k2-5k 1=71 由于71是質(zhì)數(shù)，且a 1，所以a 71，所以n=k1·71+13故n 最小為84例5甲、乙、丙、丁四人，

4、每三個人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為29，23，21和17，這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少？ 解 設(shè)四個人的年齡分別記為a ，b ，c ，d ，根據(jù)題意有 由上述四式可知 比較，知，d 最大，c 最小，所以-得 所以d -c=18，即這四個人中最大年齡與最小年齡的差為18說明 此題不必求出a ，b ，c ，d 的值，只須比較一下，找出最大者與最小者是誰，作差即可求解例6 設(shè)有n 個數(shù)x 1，x 2，x n ，它們的值只能是0，1，2三個數(shù)中的一個，如果記 試用f 1和f 2表示 解 設(shè)在x 1，x 2，x n 這幾個數(shù)中取值為0的有s 個，取值為1的有t 個，取值為2的有r 個，則

5、s+t+r=n，0t n ，0s n ，0r n ，由此得f 1=t+2r，f 2=t+4r所以 =(2k-1f 2-(2k-1-2f 1說明 本題借助于s ，t ，r 找到了f k 與f 1，f 2的關(guān)系表達式 整除根據(jù)一個數(shù)能被9整除的特征有6+2+4+2+7=9m(m為自然數(shù) ，即 +3=9m1(m1為自然數(shù) 又由于 09，09，則有3+321， 從而有+=6或+=15 同理，按照一個數(shù)被11整除的特征有-=-2或-=9 與相結(jié)合，并考慮09，09，故只有=2，=4 所以原自然數(shù)為 6 224 427例8 我手中的卡片上寫有一個三位數(shù)，并且個位數(shù)不為零，現(xiàn)將個位與百位數(shù)字對調(diào)，取兩數(shù)的差

6、(大數(shù)減小數(shù) ，將所得差的三位數(shù)與此差的個位、百位數(shù)字對調(diào)后的三位數(shù)相加，最后的和是多少？ =a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a =99×a -99×c=100×a -100×c -100+90+10-a+c =100(a-c -1+9×10+(10-a+c因k 是三位數(shù)，所以2a -c 8， 1a -c -17所以 210-a+c8 差對調(diào)后為k =(10-a+c×100+9×10+(a-c -1 ，所以k+k=100(a-c -1+9×10+(10-a+

7、c+(10-a+c×100+9×10+(a-c -1=1089 故 所求為1089說明 本例中a ，b ，c 作為參數(shù)被引進，但運算最終又被消去了，而無須求出它們的值這正是“設(shè)而不求”的未知數(shù)的典型例子在列方程解應(yīng)用題中，更是經(jīng)常用到增設(shè)參數(shù)的方法，下面再舉幾個例題 例9 從兩個重量分別為12千克(kg和8千克，且含銅的百分數(shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切下的每塊和另一塊剩余的合金放在一起，熔煉后兩個合金含銅的百分數(shù)相等求所切下的合金的重量是多少千克？分析 由于已知條件中涉及到合金中含銅的百分數(shù)，因此只有增設(shè)這兩個合金含銅的百分數(shù)為參數(shù)或與合金含銅的百分數(shù)有關(guān)的其他

8、量為參數(shù)，才能充分利用已知，為列方程創(chuàng)造條件 解法1 設(shè)所切下的合金的重量為x 千克，重12千克的合金的含銅百分數(shù)為p ，重8千克的合金的含銅百分數(shù)為q(pq ，于是有 整理得 5(q-px=24(q-p 因為p q ，所以q -p 0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克 解法2 設(shè)從重12千克的合金上切下的x 千克中含銅m 千克，從重8千克的合金上切下的x 千克中含銅n 千克(mn ，則這兩個合金含 整理得 5x(n-m=24(n-m 因為m n ，所以n -m 0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克說明 在解含參數(shù)的方程時，一般情況下可以把參數(shù)消去，轉(zhuǎn)化成只含有待求未知數(shù)的一般方程，也就是說應(yīng)用題的解答與參數(shù)的數(shù)值無關(guān) 例10 某隊伍長1998米(m，在行進中排尾的一個戰(zhàn)士因事趕到排頭，然后立即返回，當(dāng)這個戰(zhàn)士回到排尾時，全隊已前進1998米，如果隊伍和這個戰(zhàn)士行進的速度都不改變，求這個戰(zhàn)士走過的路程解法1 設(shè)這個戰(zhàn)士走過的路程為s 米，所需要的時間為t 小時(h， 消去參數(shù)t 得解之得 解法2 設(shè)這個戰(zhàn)士的行進速度為V1米/小時，隊伍行進的速度為 因此所以這個戰(zhàn)士所走距離為 說明 在同一個問題中，由于考慮問題的角度不同，所以增設(shè)的參數(shù)也會有所不同(如上例中的兩種解法 練習(xí)九 字 ，又N 是4的倍數(shù)，且N 被11除余5，