質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量——大連理工大學(xué)ppt課件

1、2.6 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量一.力矩力矩：矢量力矩：矢量方向用右手矢量法規(guī)定方向用右手矢量法規(guī)定FrMsinrFlFM 二.角動(dòng)量用叉積定義用叉積定義角動(dòng)量角動(dòng)量prL 矢量矢量sinmvrL 角動(dòng)量大小角動(dòng)量大小m0Lrp角動(dòng)量方向角動(dòng)量方向右手螺旋法則確定右手螺旋法則確定MrFa aolP三三 . 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理BdtAddtBdABAdtd )(* 微分公式微分公式prLpdtrddtpdrprdtddtLd)(vmpvdtrd ,0pdtrdMFrdtpdrdtLd)(PrdtddtLdFrM四四 . 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理 ijjiiiifFrM)(內(nèi)力矩內(nèi)力

2、矩ijiijifr00)(0)(jijijijiijjjiifrfrrfrfr iiiiiLdtdFrM)(i jFiPi fi j fj iorjri四四.角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律cLdtLdM, 0, 0jir例題：例題： 體重相同的甲乙兩人，分別用雙手握住跨過(guò)無(wú)摩擦滑輪體重相同的甲乙兩人，分別用雙手握住跨過(guò)無(wú)摩擦滑輪繩子兩端。忽略滑輪和繩子的質(zhì)量。當(dāng)他們由同一高度向上爬繩子兩端。忽略滑輪和繩子的質(zhì)量。當(dāng)他們由同一高度向上爬時(shí)，相對(duì)繩子，甲的速率是乙的兩倍，則到達(dá)頂點(diǎn)的情況是：時(shí)，相對(duì)繩子，甲的速率是乙的兩倍，則到達(dá)頂點(diǎn)的情況是： A.甲先到達(dá)甲先到達(dá) B. 乙先到達(dá)乙先到達(dá) C. 無(wú)

3、法確定無(wú)法確定 D. 同時(shí)到達(dá)同時(shí)到達(dá)解：選甲乙兩人，繩子和滑輪為系統(tǒng)解：選甲乙兩人，繩子和滑輪為系統(tǒng)甲甲乙乙Rvv0系統(tǒng)受到的外力：系統(tǒng)受到的外力：gmN因?yàn)橥饬?duì)中心因?yàn)橥饬?duì)中心0點(diǎn)的力矩為零，所以系統(tǒng)的點(diǎn)的力矩為零，所以系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒動(dòng)量矩守恒0乙乙甲甲R(shí)vmRvm乙甲乙甲，vvmm甲乙兩人相對(duì)地面的速度任何時(shí)刻都相等，甲乙兩人相對(duì)地面的速度任何時(shí)刻都相等，不論兩人相對(duì)繩的速率如何，從地面上看，不論兩人相對(duì)繩的速率如何，從地面上看，兩人總是同時(shí)到達(dá)頂端。兩人總是同時(shí)到達(dá)頂端。gM2.7 功功 和和 能能一一. 功功功的定義：沿位移方向作用在物體上的力與物體位移大小功的定義：沿位移方向

4、作用在物體上的力與物體位移大小 之乘積。之乘積。1. 恒力的功恒力的功rFrFrFrFAtcos功是標(biāo)量功是標(biāo)量,200A,20A,20A2.變力的功變力的功（1軌道為直線軌道為直線力與位移同方向，但力與位移同方向，但)(xFF 0 x1x2xixixF元功元功iiixxFA)(,21xx 總功總功iiiiinxxFAA)(假設(shè)假設(shè),n即即,0ixiiixxxFAi)(lim0這個(gè)極限值等于函數(shù)這個(gè)極限值等于函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上對(duì)自變量上對(duì)自變量 的線積分。的線積分。)(xF21,xxx21)(xxdxxFA(2) 軌道為曲線軌道為曲線力的大小和方向都變化，物體作曲線運(yùn)動(dòng)。力的大小和方向都變

5、化，物體作曲線運(yùn)動(dòng)。0ab1iririFiir在第在第 小段中，元功為小段中，元功為iiiiiiirFrFAcos總功總功iiiiiinrFAAcosiiiirrFAicoslim0數(shù)學(xué)上，這個(gè)極限值等于函數(shù)數(shù)學(xué)上，這個(gè)極限值等于函數(shù) F 在區(qū)間在區(qū)間 上對(duì)自變量的線積分。上對(duì)自變量的線積分。ba,iiiriiiirrFrrFAiilimlim010)(rdFba例例 1 重力作的功重力作的功iiiirWrWArcosiiirh)180cos(0iiirhcosiiihmghWA“-” 物體升高，重力作負(fù)功。即物體升高，重力作負(fù)功。即0,0iiAh物體下落時(shí)，物體下落時(shí)，0,0iiAh)()(

6、12iiiihhmghmgAA12hhhii（末位置（末位置-初位置）初位置）iihirxy0abdiriihW1h2h如果質(zhì)點(diǎn)由如果質(zhì)點(diǎn)由a運(yùn)動(dòng)沿運(yùn)動(dòng)沿adb路線路線)(cos121hhmgadWadWA02cos2dbWdbWA)(1221hhmgAAA重力作功的特點(diǎn)：重力作功的特點(diǎn)： 只與質(zhì)點(diǎn)的始末只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。位置有關(guān)，與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。 積分法：積分法：cosWdrrdWdAdrWdhdAdrdhi)180cos(0)(212112hhhhhhmgmgdhdAA可見(jiàn)，物體上升時(shí)，重力作負(fù)功，可見(jiàn)，物體上升時(shí)，重力作負(fù)功，A0。y0abdiriihW

7、1h2h重力作功特點(diǎn)的另一種表述：重力作功特點(diǎn)的另一種表述：質(zhì)點(diǎn)沿任一閉合路徑質(zhì)點(diǎn)沿任一閉合路徑acbda運(yùn)動(dòng)一周，把路徑分為運(yùn)動(dòng)一周，把路徑分為acb和和bda 兩段考慮：兩段考慮：acbd0yxacb重力作負(fù)功重力作負(fù)功bda重力作正功重力作正功0bdaacbAAA或?qū)懗砷]合曲線積分或?qū)懗砷]合曲線積分0LrdWA保守力與非保守力保守力與非保守力保守力保守力0Lrdf非保守力非保守力0rdfL例例 2 萬(wàn)有引力作的功萬(wàn)有引力作的功0mM1B2BRR MrdmrdRMrmr1A2ARdRMFmFRRMmGFRRMmGFmM33,MmrrRmmMMrdFrdFdARdFrrdFrdrdFmMmm

8、Mmm)()(從位形從位形1到位形到位形2，萬(wàn)有引力總功，萬(wàn)有引力總功RdRRmMGRdFAm21321RRR2微分得微分得RdRRdR)11()1(21RRGMmRdGMmRdRGMmARR 例例 3 彈性力的功彈性力的功0 xxbxaxcxxdF彈簧帶動(dòng)物體從彈簧帶動(dòng)物體從 回到回到 位置位置axbxxkFkxdxxdFdAxdbaxx 222121baxxkxkxkxdxAba; 0,Axxab0, Axxab如果使物體由如果使物體由,caxx 再由再由acxx 那么那么; 0, 0caacAA總功總功0 A彈性力作功的特點(diǎn)：只與彈簧的始末伸長(zhǎng)量有關(guān)，與中間伸長(zhǎng)過(guò)彈性力作功的特點(diǎn)：只與彈

9、簧的始末伸長(zhǎng)量有關(guān)，與中間伸長(zhǎng)過(guò)程無(wú)關(guān)。程無(wú)關(guān)。前面得到前面得到重力的功重力的功 21mghmghA萬(wàn)有引力的功萬(wàn)有引力的功)11(RRGMmA 彈性力的功彈性力的功222121bakxkxA3 . 功率功率（1平均功率平均功率tAp（2） 瞬時(shí)功率瞬時(shí)功率dtdAtAptlim0vFvFvFtrFttcoslim0功率單位：瓦特功率單位：瓦特W）功單位：焦耳功單位：焦耳J）sJW112.8 動(dòng)能定理動(dòng)能定理1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理vdtvdmvF又又vdtvdvdtvddtvdvvvdtd2)()(21)21(2vdtdvvdtdvdtvd)21(2mvdtdvF動(dòng)能定理的微分形式動(dòng)

10、能定理的微分形式由上式由上式)21(2mvddtvF2121)21(2vvttmvddtvF212221212121mvmvrdFdtvFApptt積分形式積分形式2 . 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理N個(gè)質(zhì)點(diǎn)受外力和內(nèi)力個(gè)質(zhì)點(diǎn)受外力和內(nèi)力ijifF ,)(1212221112rdrdfrdfrdf12f21f1m2m2rd1rdKEAA內(nèi)外習(xí)題習(xí)題 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為R的水平圓盤(pán)以恒定角速度的水平圓盤(pán)以恒定角速度w作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為為m的人要從圓盤(pán)邊緣走到圓盤(pán)中心處，圓盤(pán)對(duì)他做的功為的人要從圓盤(pán)邊緣走到圓盤(pán)中心處，圓盤(pán)對(duì)他做的功為。解：選地面參考系解：選地面參考系人在

11、圓盤(pán)上行走，所謂圓盤(pán)對(duì)人在圓盤(pán)上行走，所謂圓盤(pán)對(duì)人作的功，即摩擦力對(duì)人作功。人作的功，即摩擦力對(duì)人作功。運(yùn)用動(dòng)能定理運(yùn)用動(dòng)能定理21222121mvmvA圓盤(pán)起點(diǎn)處，人相對(duì)圓盤(pán)的速度起點(diǎn)處，人相對(duì)圓盤(pán)的速度0 v起點(diǎn)處的牽連速度起點(diǎn)處的牽連速度Rv 0Rvv01終點(diǎn)的速度終點(diǎn)的速度02v222121210mRmvA圓盤(pán)習(xí)題習(xí)題 一鏈條總長(zhǎng)為一鏈條總長(zhǎng)為L(zhǎng),質(zhì)量為質(zhì)量為m,放在桌面上靠邊處，并使其一端下垂放在桌面上靠邊處，并使其一端下垂的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度 為為a，設(shè)鏈條與桌面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，設(shè)鏈條與桌面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 ，鏈條，鏈條由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求：（由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求：（1到鏈條離開(kāi)桌邊

12、的過(guò)程中，摩擦力到鏈條離開(kāi)桌邊的過(guò)程中，摩擦力對(duì)鏈條作了多少功？（對(duì)鏈條作了多少功？（2鏈條離開(kāi)桌邊的速率是多少？鏈條離開(kāi)桌邊的速率是多少？x0aaL解：解：下落距離下落距離La 設(shè)在某一時(shí)刻，鏈條下垂的長(zhǎng)度為設(shè)在某一時(shí)刻，鏈條下垂的長(zhǎng)度為x,桌面上鏈條長(zhǎng)為桌面上鏈條長(zhǎng)為 L-x ,線密度線密度Lm桌面上鏈條的重量桌面上鏈條的重量gxL)( 鏈條受到桌面的摩擦力鏈條受到桌面的摩擦力LxLmggxLf/ )()(2)(2aLLmgfdxALaf對(duì)鏈條應(yīng)用動(dòng)能定理對(duì)鏈條應(yīng)用動(dòng)能定理2022121mvmvAApfLapxgdxA222)()(aLaLLgv例：有一面為例：有一面為1/4凹圓柱面半徑凹

13、圓柱面半徑R的物體質(zhì)量的物體質(zhì)量M放置在放置在 光滑水平面，一小球質(zhì)量光滑水平面，一小球質(zhì)量m），從靜止開(kāi)始沿圓面從），從靜止開(kāi)始沿圓面從 頂端無(wú)摩擦下落如圖），小球從水平方向飛離大物體頂端無(wú)摩擦下落如圖），小球從水平方向飛離大物體 時(shí)速度時(shí)速度 v ，求：，求：1重力所做的功；重力所做的功；2內(nèi)力所做的功。內(nèi)力所做的功。RMm解：重力只對(duì)小球做功解：重力只對(duì)小球做功0 MVmv水平方向無(wú)外力，系統(tǒng)保持水平方向無(wú)外力，系統(tǒng)保持水平方向動(dòng)量守恒。水平方向動(dòng)量守恒。hmgsmgW cos重力mgRW 重力ssmg hh對(duì)對(duì)m，內(nèi)力所做的功，內(nèi)力所做的功222121mvMVWW 內(nèi)力重力mgRmv

14、221對(duì)對(duì)M，內(nèi)力所做的功，內(nèi)力所做的功222221MvmMV 2 .9 勢(shì)能勢(shì)能勢(shì)能定義勢(shì)能定義: 由物體之間相互作用的保守力和相對(duì)位置由物體之間相互作用的保守力和相對(duì)位置 (位形位形) 決定的能量稱(chēng)為勢(shì)能。決定的能量稱(chēng)為勢(shì)能。兩質(zhì)點(diǎn)的兩質(zhì)點(diǎn)的“始末位形始末位形”指兩質(zhì)點(diǎn)的始末相對(duì)位置。指兩質(zhì)點(diǎn)的始末相對(duì)位置。設(shè)位形設(shè)位形I時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的勢(shì)能為時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的勢(shì)能為)(IEp設(shè)位形設(shè)位形II時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的勢(shì)能為時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的勢(shì)能為)(IIEp定義保守內(nèi)力的功定義保守內(nèi)力的功pppIIIEIIEIEA)()()(內(nèi)選定某一參考位形選定某一參考位形標(biāo)準(zhǔn)位形標(biāo)準(zhǔn)位形 （勢(shì)能零點(diǎn)）（勢(shì)能零點(diǎn)）0I質(zhì)點(diǎn)

15、系在任意一給定位形時(shí)的勢(shì)能值：質(zhì)點(diǎn)系在任意一給定位形時(shí)的勢(shì)能值：)()()(0)0IEIEIEApppII內(nèi)（由兩位形勢(shì)能函數(shù)增量可計(jì)算保守內(nèi)力的功：由兩位形勢(shì)能函數(shù)增量可計(jì)算保守內(nèi)力的功：)000IIIIIIIIIIIIAAAA內(nèi)（內(nèi)（內(nèi)（內(nèi)（pppIIIIIEIIEIEAA)()()00內(nèi)（內(nèi)（0IIII系統(tǒng)有位形系統(tǒng)有位形 改變到位形改變到位形 的過(guò)程中，保守內(nèi)力的功的過(guò)程中，保守內(nèi)力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少。等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少。例例 1 重力勢(shì)能重力勢(shì)能)(IEp位形位形I位形位形II)(IIEpab0000IIIIIIIIIIabAAAAA21ppEE21mghmgh 定義重力勢(shì)能：定

16、義重力勢(shì)能：mghEppppppEEEEEA)(12212121, 0;, 0ppppEEAEEA勢(shì)能減少勢(shì)能減少勢(shì)能增加勢(shì)能增加例例 2 萬(wàn)有引力勢(shì)能萬(wàn)有引力勢(shì)能萬(wàn)有引力的功萬(wàn)有引力的功RGMmRGMmA 根據(jù)勢(shì)能定義式，則有根據(jù)勢(shì)能定義式，則有RGMmRGMmIIEIEAppIII )()()(內(nèi)選取選取0)(, IIERp得兩質(zhì)點(diǎn)相距為得兩質(zhì)點(diǎn)相距為 時(shí)，萬(wàn)有引力勢(shì)能時(shí)，萬(wàn)有引力勢(shì)能RRGMmEp例例 3 彈簧的彈性勢(shì)能彈簧的彈性勢(shì)能定義彈性勢(shì)能定義彈性勢(shì)能221kxEppppppbaEEEEEkxkxA)(21211221222.10 機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律 功能原理

17、功能原理1 . 機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律abm1h2h1v2v21222121mvmvA21mghmghA2122212121mvmvmghmgh2211kpkpEEEE例如例如2 . 功能原理功能原理研究對(duì)象：物體雪橇）研究對(duì)象：物體雪橇）kfNFpaa1v2v1h2hs分析受力：四個(gè)力分析受力：四個(gè)力由動(dòng)能定理：由動(dòng)能定理：21222121mvmvA合外力之功：合外力之功：拉力拉力FASF支持力支持力02cosNSASNN摩擦力摩擦力SmgASfkkacos重力重力)(sin21hhmgSmgASppa21222121mvmvAAAApkNF研究對(duì)象：物體系：物體與地球研究對(duì)象：物體系：物體與地球)21()21(12122