第四節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程ppt課件

1、一階線性方程一階線性方程)()(xQyxPy dxexQeCeydxxPdxxPdxxP )()()()(對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解常數(shù)變易法常數(shù)變易法二階微分方程二階微分方程, 0),( yyyxF).,(yyxfy 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):)()()(CdxexQeydxxPdxxP 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf.,:的的一一次次方方程程是是關(guān)關(guān)于于特特點(diǎn)點(diǎn)yyy 第四節(jié)第四節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的概念及其性質(zhì)一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的概念及其性質(zhì)二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系

2、數(shù)齊次線性微分方程 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 )1(0 qyypy證明證明的的解解是是由由于于)1(,21yy0)()(111 yxqyxpy則則0)()(222 yxqyxpy）的左邊，得）的左邊，得代入（代入（將將12211yCyCy 解的線性組合解的線性組合11212 , 2 , iyyyy 對(duì)于二階常系數(shù)齊次線性微分方程，對(duì)于二階常系數(shù)齊次線性微分方程， 具有下面的性質(zhì)具有下面的性質(zhì) )()()(221122112211yCyCqyCyCpyCyC 左左邊邊)()(22221111qyypyCqyypyC 右邊右邊 0)()()(221122112211

3、yCyCqyCyCpyCyC 證畢證畢問(wèn)題問(wèn)題:一定是通解嗎？一定是通解嗎？2211yCyCy 例如例如的的兩兩個(gè)個(gè)特特解解為為：0 yyxxeyey2,21 .)2(22121就就不不是是通通解解而而xxxeCCeCeCy 的的兩兩個(gè)個(gè)特特解解為為：又又知知0 yyxxeyey 21,.021的通解的通解就是就是 yyeCeCyxx例如例如的的兩兩個(gè)個(gè)特特解解為為：0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xCxCy 的的兩兩個(gè)個(gè)特特解解為為：0 yyxxeyey 21,.021的的通通解解就就是是 yyeCeCyxx常數(shù)常數(shù) xxxeee2線性

4、無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)例如例如rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr,0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy(p,q為常數(shù)為常數(shù))是方程的解是方程的解.,rxrey 則則rxery2 二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法(1) 有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根21rr ,11xrey ,22xrey 兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解：兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解：得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 設(shè)特征根為設(shè)特征根為常常數(shù)數(shù) xrrxrxreee

5、)(2121023 yyy如如特征方程為特征方程為0232 rr2, 121 rrxxeCeCy221 通通解解為為：且且21,rr(2) 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡(jiǎn)，代入原方程并化簡(jiǎn)，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為044 yyy如如特征方程為特征方程為0442 rr221 rrxexCCy221)( 通通

6、解解為為：)(12xuyy (3) 有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根,1 ir ,2 ir xiey)(1 xiey)(2 )0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cosxex )(21212yyiy ,sinxex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 設(shè)特征根為設(shè)特征根為0 yy如如特征方程為特征方程為012 ririr 21,xCxCysincos21 通解為：通解為：xixee )sin(cosxixex xixee )sin(cosxixex 02 qprr0 qyypy定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通由常系數(shù)齊次線性方程的

7、特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法解的方法稱為特征方程法.總之總之解解 特征方程為特征方程為,0962 rr解得解得321 rr故所求通解為故所求通解為.)(321xexCCy解解 特征方程為特征方程為,0322 rr解得解得故所求通解為故所求通解為1, 321 rrxxCCyee231 (C1,C2為任意常數(shù)為任意常數(shù)).解解 特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,212,1ir 故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 解解 特征方程為特征方程為0122 rr121 rr解得解得方程的通解為方程的通解為 ttCCS e )(21ttCS e )4(2

8、于是于是 對(duì)其求導(dǎo)得對(duì)其求導(dǎo)得 ttCCS e )4(22所求特解為所求特解為 ttS e)24(圖6.1解解由題意可得微分方程由題意可得微分方程0 lg其特征方程為其特征方程為02 lgrilgrilgr 21,特征根為特征根為tlgCtlgCsincos21 所以方程的通解為所以方程的通解為ACACCCA22221cos,sin,1 )sin( tlgA若令若令則通解為則通解為四、小結(jié)四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1寫出相應(yīng)的特征方程寫出相應(yīng)的特征方程;（2求出特征根求出特征根;（3根據(jù)特征根的不同情況根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達(dá)達(dá)