(完整)八年級(jí)數(shù)學(xué)上幾何證明中的輔助線添加方法

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）幾何證明中的輔助線添加方法數(shù)學(xué)組田茂松八年級(jí)數(shù)學(xué)的幾何題，有部分題需要做出輔助線才能完成。有的時(shí)候，做不出恰當(dāng)?shù)妮o助線，或者做不出輔助線，就沒(méi)有辦法完成該題的解答。為了能夠更好的讓學(xué)生在做幾何題時(shí)得心應(yīng)手，現(xiàn)在將八年級(jí)數(shù)學(xué)中幾何題的輔助線添加方法總結(jié)如下。常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：1.遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。2.遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 。3.遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換

2、中的“對(duì)折” ，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4.過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊” 。5.截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。6.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答。常見(jiàn)輔助線的作法舉例：例 1如圖 1, AB/CD ， AD/BC . 求證： AD BC.分析： 圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形

3、的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。證明：連接 AC （或 BD ） AB/ CD ,AD / BC（已知）A3D 1 2， 3 4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）1在ABC 與CDA 中1已證)422(BCAC公共邊)CA(圖 13已證)4(ABC CDA （ ASA ） ADBC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）例 2如圖 2,在 RtABC 中， ABAC ，BAC 90 ，12，CEBD 的延長(zhǎng)于 E .求證： BD2CE .分析： 要證 BD2CE ，想到要構(gòu)造線段 2CE ，同時(shí) CE 與ABC 的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。F證明： 分別延長(zhǎng) BA ， CE 交于點(diǎn) F . BECF（已知

4、）BEFBEC 90 （垂直的定義）AE在BEF 與BEC 中，1D1已知)2(B2CBE公共邊)BE (圖 2已證BEFBEC()BEF BEC （ ASA ）CE EF1 CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）BAC90,BECF （已知）2BACCAF90 ,1 BDA90, 1BFC 90 BDABFC在 ABD與 ACF中BACCAF (已證 )BDABFC (已證 )ABAC (已知 ) ABD ACF （ AAS ） BDCF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BD2CE .例 3 已知如圖 3, AC 、 BD 相交于 O 點(diǎn)，且 ABCD，ACBD ，求證：AD .分析： 要證AD ，可證它們

5、所在的三角形ABO 和 DCO全等，而只有ABCD 和對(duì)頂角兩個(gè)條件， 差一個(gè)條件 ,難以證其全等， 只有另尋其它的三角形全等，由 ABCD ，AC BD ，若連接 BC ，則ABC 和DCB 全等，所以，證得AD .證明： 連接 BC ，在ABC 和 DCB 中AODAB已知)DC (AC已知)BCDB (圖 3BCCB(公共邊 ) ABCDCB (SSS)AD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)例 4如圖 4, ABDC ，AD .求證：ABCDCB .分析： 由 ABDC， AD ，想到如取AD 的中點(diǎn) N ，連接 NB ， NC ，再由 SAS 公理有ABN DCN ，故 BNCN ，ABNDCN

6、 .下面只需證NBCNCB ，再取 BC 的中點(diǎn) M ，連接 MN ，則由 SSS 公理有NBM NCM ，所以NBCNCB .證明：取 AD， BC的中點(diǎn) N 、M ，連接 NB， MN ，NC.則ANDN，BMCM .在ABN 和 DCN 中ANDAN輔助線的作法)DN (A已知)D(BMABDC (已知 )C圖 4 ABN DCN （ SAS）ABNDCN , BNCN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在NBM 與NCM 中NBNC (已證 )BM CM (輔助線的作法 )NMNM (公共邊 )NBM NCM(SSS)NBCNCB （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）NBCABNNCBDCN ,即ABC

7、DCB .例 5 如圖 5， AB/CD ， BE平分ABC ， CE 平分BCD，點(diǎn) E在 AD上，求證： BC ABCD .分析 ：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，AE即利用角平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題，在證明線段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段.但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證BF明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的.圖 5簡(jiǎn)證 ：在此題中可在長(zhǎng)線段BC 上截取 BFAB ，再證明 CF C

8、D ，從而達(dá)到證明的目的 .這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形.另外一個(gè)全等自已證明,只要證明DECFEC 即可 .此題的證明也可以延長(zhǎng)BE 與 CD 的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明 .例 6如圖 6，已知 ABAD ,BACDAC , CDBC .求證：ADCB 180.分析 ：可由點(diǎn) C 向 BAD 的兩邊作垂線 ,證明CBE CDF ,進(jìn)而得BCDF ,從而得證ADCB 180.A證明： 略例 7如圖，在ABC 中， AD 是角平分線，AC ABBD ,求證 :B2C.分析： 證法 1 此題涉及到倍角關(guān)系，基本思路是構(gòu)造等腰三角形，利用E等腰三角形的兩個(gè)底角相等，由此可以在AC 上去一點(diǎn) E (如圖 6-1)，B使 AEAB ,容易證明ADE ADB ,可得BAED , BDED,C又由 ACAB BD ,可知 CEDEBD ,得BAED2C .圖 6證法2可以延長(zhǎng) AB 到 F （如圖6-2） ,使 BF BD ,連接 DF .易證 ACD AFD ，從而CF ,又ABC2 F ,問(wèn)題得證 .A證明： 略AAECBDCDBC圖 7-1DB圖 7-2F圖 7例8 如圖8，ABC 中， AD 是中線，延長(zhǎng)AD到E，使 DEAD,DF 是DCE 的中線 .已知 ABC 的面積為2，求