瞬時(shí)變化率—導(dǎo)數(shù)

1、瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)： (1)理解并掌握曲線在某一點(diǎn)處的切線的概念 (2)會(huì)運(yùn)用瞬時(shí)速度的定義求物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度 (3)理解導(dǎo)數(shù)概念 實(shí)際背景，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，進(jìn)一步掌握在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想一、復(fù)習(xí)引入1、什么叫做平均變化率；2、曲線上兩點(diǎn)的連線（割線）的斜率與函數(shù)f(x)在區(qū)間xA，xB上的平均變化率3、如何精確地刻畫曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢呢？二、新課講解1、曲線上一點(diǎn)處的切線斜率不妨設(shè)P(x1，f(x1)，Q(x0，f(x0)，則割線PQ的斜率為，設(shè)x1x0=x，則x1 =xx0，當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線向點(diǎn)Q無

2、限靠近時(shí)，割線PQ的斜率就會(huì)無限逼近點(diǎn)Q處切線斜率，即當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，無限趨近點(diǎn)Q處切線斜率。2、曲線上任一點(diǎn)(x0，f(x0)切線斜率的求法：，當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，k值即為(x0，f(x0)處切線的斜率。3、瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度(1)平均速度： 物理學(xué)中，運(yùn)動(dòng)物體的位移與所用時(shí)間的比稱為平均速度(2) 位移的平均變化率：(3)瞬時(shí)速度：當(dāng)無限趨近于0 時(shí)，無限趨近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度求瞬時(shí)速度的步驟：和位置改變量3.后求瞬時(shí)速度：當(dāng)無限趨近于0，無限趨近于常數(shù)v為瞬時(shí)速度(4)速度的平均變化率：(5)瞬時(shí)加速度：當(dāng)無限趨近于0 時(shí)，無限趨近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為

3、t=t0時(shí)的瞬時(shí)加速度注：瞬時(shí)加速度是速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率三、數(shù)學(xué)應(yīng)用例1、已知f(x)=x2，求曲線在x=2處的切線的斜率。過點(diǎn)(1,1)的切線方程2.曲線y=x3在點(diǎn)P處切線斜率為k,當(dāng)k=3時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為_上的一點(diǎn)P(0,0)的切線斜率是否存在?例2.一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間到時(shí)，物體的位移為，那么為（ ）從時(shí)間到時(shí)，物體的平均速度； 在時(shí)刻時(shí)該物體的瞬時(shí)速度； 當(dāng)時(shí)間為時(shí)物體的速度； 從時(shí)間到時(shí)物體的平均速度例3.自由落體運(yùn)動(dòng)的位移s(m)與時(shí)間t(s)的關(guān)系為s=(1)求t=t0s時(shí)的瞬時(shí)速度 (2)求t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度 (3)求t=3s時(shí)的瞬時(shí)加速度點(diǎn)評(píng)：求瞬時(shí)速度，也就轉(zhuǎn)

4、化為求極限，瞬時(shí)速度我們是通過在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度的極限來定義的，只要知道了物體的運(yùn)動(dòng)方程，代入公式就可以求出瞬時(shí)速度了.運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來解決物理方面的問題，是不是方便多了.所以數(shù)學(xué)是用來解決其他一些學(xué)科，比如物理、化學(xué)等方面問題的一種工具，我們這一節(jié)課學(xué)的內(nèi)容以及上一節(jié)課學(xué)的是我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的一些實(shí)際背景導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：理解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)表示和求解方法； 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 理解導(dǎo)函數(shù)的概念和意義；2、過程與方法：先理解概念背景，培養(yǎng)解決問題的能力；再掌握定義和幾何意義，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化問題的能力；最后求切線方程，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化問題的能力3、情感態(tài)度及價(jià)值觀；

5、讓學(xué)生感受事物之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的美。的求解方法和過程；2、導(dǎo)數(shù)符號(hào)的靈活運(yùn)用教學(xué)過程：一、情境引入在前面我們解決的問題：1、求函數(shù)在點(diǎn)（2，4）處的切線斜率。，故斜率為4 2、直線運(yùn)動(dòng)的汽車速度V與時(shí)間t的關(guān)系是，求時(shí)的瞬時(shí)速度。，故斜率為4 二、知識(shí)點(diǎn)講解上述兩個(gè)函數(shù)和中，當(dāng)()無限趨近于0時(shí)，()都無限趨近于一個(gè)常數(shù)。歸納：一般的，定義在區(qū)間（，）上的函數(shù)，當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無限趨近于一個(gè)固定的常數(shù)A，則稱在處可導(dǎo)，并稱A為在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，上述兩個(gè)問題中：（1），（2）三、幾何意義：我們上述過程可以看出在處的導(dǎo)數(shù)就是在處的切線斜率。四、例題選講例1、求下列函數(shù)在相應(yīng)位置的導(dǎo)數(shù)（1）

6、， （2），（3），例2、函數(shù)滿足，則當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，（1） （2） 變式:設(shè)f(x)在x=x0處可導(dǎo)，（3）無限趨近于1，則=_（4）無限趨近于1，則=_（5）當(dāng)x無限趨近于0，所對(duì)應(yīng)的常數(shù)與的關(guān)系?？偨Y(jié)：導(dǎo)數(shù)等于縱坐標(biāo)的增量與橫坐標(biāo)的增量之比的極限值。例3、若，求和注意分析兩者之間的區(qū)別。例4：已知函數(shù)，求在處的切線。導(dǎo)函數(shù)的概念涉及：的對(duì)于區(qū)間（,）上任意點(diǎn)處都可導(dǎo)，則在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)被稱為的導(dǎo)函數(shù)，記作。常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；一、復(fù)習(xí)1、導(dǎo)數(shù)的定義；2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3、導(dǎo)函數(shù)的定義；4、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的流

7、程圖。（1）求函數(shù)的改變量（2）求平均變化率（3）取極限，得導(dǎo)數(shù) 本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。首先我們來求下面幾個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（1）、y=x （2）、y=x2 （3）、y=x3 問題：，呢？問題：從對(duì)上面幾個(gè)冪函數(shù)求導(dǎo)，我們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？二、新授1、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式： (k,b為常數(shù)) (C為常數(shù)) 由你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? （為常數(shù)） 從上面這一組公式來看，我們只要掌握冪函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)的求導(dǎo)就可以了。例1、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)。（1）（2）（3）（4）（5）y=sin(+x) (6) y=sin （7）y=cos(2x) （8）y=例2：已知點(diǎn)P在函數(shù)y=cosx上，（0

8、x2），在P處的切線斜率大于0，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍。為函數(shù)圖象的切線,求b的值和切點(diǎn)坐標(biāo).變式1.求曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程.總結(jié)切線問題：找切點(diǎn) 求導(dǎo)數(shù) 得斜率變式2:求曲線y=x2過點(diǎn)(0,-1)的切線方程變式3:求曲線y=x3過點(diǎn)(1,1)的切線方程變式4:已知直線,點(diǎn)P為y=x2上任意一點(diǎn),求P在什么位置時(shí)到直線距離最短.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 知識(shí)與技能目標(biāo)：（1）使學(xué)生掌握函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖像在處的切線的斜率。（數(shù)形結(jié)合），即：切線的斜率(2)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際生活問題，體會(huì)“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法。（3）通過讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中探索、觀察、

9、反思、討論、總結(jié)，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，思維能力，應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的目的。（4）導(dǎo)數(shù)的幾何意義能夠很好地幫助理解導(dǎo)數(shù)的定義，達(dá)到數(shù)與形的結(jié)合；同時(shí)又是知識(shí)在幾何學(xué)，物理學(xué)方面的遷移應(yīng)用。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的意識(shí)。（一） 課題引入，類比探討：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率，即： 結(jié)論：（形），割線切線，則割線的斜率切線的斜率。（口述） 由數(shù)形結(jié)合，得切線的斜率。（板書）所以，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖像在處的切線AD的斜率。（數(shù)形結(jié)合）。（說明：動(dòng)手實(shí)踐，探索發(fā)現(xiàn)。使學(xué)生經(jīng)歷探究“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”的過程以獲得理智和情感體驗(yàn)，建構(gòu)“導(dǎo)數(shù)及其幾何意義”的知

10、識(shí)結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確理解 “導(dǎo)數(shù)的幾何意義”，掌握“數(shù)形結(jié)合，類比探討”的數(shù)學(xué)思想方法。） （二）例題講解，加強(qiáng)理解例1 在函數(shù)的圖像上，用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)，的幾何意義，并用數(shù)學(xué)語言表述出來。 例2 如圖表示人體血管中的藥物濃度（單位：）隨時(shí)間（單位：）變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計(jì)（min）時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。(精確到0.1)藥物濃度的瞬時(shí)變化率（注記：要求學(xué)生動(dòng)腦（審題），動(dòng)手（畫切線），動(dòng)口（說出如何估計(jì)切線斜率），進(jìn)一步體會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法。）（五）抽象概括，歸納小結(jié)（先由學(xué)生小結(jié)）1抽象概括：由練習(xí)2抽象概括出導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）的概念： 是確定的數(shù)（靜態(tài)），是的函數(shù)（動(dòng)態(tài)）由（特殊一般） （靜態(tài)動(dòng)態(tài)）（說明：體驗(yàn)從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的變化過程，領(lǐng)會(huì)從特殊到一般的辯證思想2歸納小結(jié)：由學(xué)生進(jìn)行開放式小結(jié)：（1）函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖像在處的切線AD的斜率。（數(shù)形結(jié)合），即：切線的斜