求曲線方程的幾種常用方法

1、求曲線方程的幾種常用方法求曲線的方程，是學(xué)習(xí)解析幾何的基礎(chǔ)，求曲線的方程常用的方法主要有：1直接法：就是課本中主要介紹的方法。若命題中所求曲線上的動點與已知條件能直接發(fā)生關(guān)系，這時，設(shè)曲線上動點坐標(biāo)為（）后，就可根據(jù)命題中的已知條件，研究動點形成的幾何特征，在此基礎(chǔ)上運用幾何或代數(shù)的基本公式、定理等列出含有的關(guān)系式。從而得到軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱作直接法。例1：在直角ABC中，斜邊是定長，求直角頂點C的軌跡方程。解法一：由于未給定坐標(biāo)系，為此，首先建立直角坐標(biāo)系，取AB所在的直線為軸，AB的中點O為坐標(biāo)原點，過O與AB垂直的直線為軸(如圖)則有A，B。設(shè)動點C為 ，即由于C點到達(dá)A、

2、B位置時直角三角形ABC不存在，軌跡中應(yīng)除去A、B兩點，故所求方程為（）。解法二：如解法一建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A，B，C， （1） ， （2） 化簡得： ， （3）由于在時方程（2）與（3）不等價，故所求軌跡方程為（）。解法三：如解法一建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A，B，且設(shè)動點C。， ，即。軌跡中應(yīng)除去A、B兩點(理由同解法一)，故所求軌跡方程為（）。練習(xí)：1.已知向量OP與OQ是關(guān)于y軸對稱,且2OP·OQ=1,則點P（x，y）的軌跡方程是_。（y2 -x2 =1/2） 2已知兩點M（-1，0），N（1，0），且點P使向量MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差

3、小于零的等差數(shù)列，求點P的軌跡方程。（2002年天津考題）說明：利用這種方法求曲線方程的一般方法步驟：2代入法（或利用相關(guān)點法）：即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解，就得到原動點的軌跡。例2：已知一條長為6的線段兩端點A、B分別在、軸上滑動，點M在線段AB上，且，求動點M的軌跡方程。解：設(shè)A，B，M，一方面， 另一方面，M分的比為， 代入得：，即。說明：本例中，由于M點的坐標(biāo)隨著A、B的變化而變化，因而動點M的坐標(biāo)可以用A、B點的坐標(biāo)來表示，而點M又滿足已知條件，從而得到M的軌跡方程。此外，與上例一樣，求曲線的方程時，要充分

4、注意化簡過程是否完全同解變形，還要考慮曲線上的一些特殊點。3幾何法：求動點軌跡問題時，動點的幾何特征與平面幾何中的定理及有關(guān)平面幾何知識有著直接或間接的聯(lián)系，且利用平面幾何的知識得到包含已知量和動點坐標(biāo)的等式，化簡后就可以得到動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱作幾何法。例3：如圖，已知兩定點A（），B（），O為原點，動點P與線段AO、BO所張的角相等，求動點P的軌跡方程。解：設(shè)P，由題，由三角形角平分線定理有，整理得，當(dāng)時，P和O重合，無意義，又易知P落在軸上時，除線段AB以外的任何點均有，（或）也滿足要求。綜上，軌跡方程為（）或（或）。說明：本例利用平面幾何的知識（三角形的角平分線定理進(jìn)

5、行解題），方便了求軌跡的方程。4參數(shù)法：有時很難直接找出動點的橫、縱坐標(biāo)之間關(guān)系。如果借助中間量（參數(shù)），使之間的關(guān)系建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，這便可得動點的軌跡方程。例4：過不在坐標(biāo)軸上的定點M,的動直線交兩坐標(biāo)軸于點A、B，過A、B作坐標(biāo)軸的垂線交于點P，求交點P的軌跡方程。解：設(shè)P，并設(shè)過M的動直線為：，由于與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，所以必存在，且，則A（），B（），所以P（），即，消去參數(shù)，即：。說明：本題由把聯(lián)系在一起，稱之為參數(shù)。由于P點是直線的交點，則P的坐標(biāo)一定會滿足這兩條動直線的方程，解出，消去參數(shù)就得到了的關(guān)系，這種求曲線方程的方法稱為參數(shù)法。練習(xí)：已知點P（x

6、 , y)滿足x2+y2=4,則點Q（x y,x+y）的軌跡方程為y2=2x+4 (-2x2）四、交軌法求兩條動曲線交點的軌跡方程時，可選擇同一個參數(shù)及動點坐標(biāo)x、y分別表示兩條曲線方程，然后聯(lián)立它們消去參數(shù)便得到交點的軌跡方程，這種方法稱為交軌法這類問題的解法有一定的技巧性例5 已知直線過定點(0，3)，且是曲線y= 4x的動弦的中垂線，求直線與動弦的交點M的軌跡方程解：設(shè)直線：y = kx3 (k0)，則所在直線可設(shè)為y =b，并把它代入y= 4x，整理，得xk(2b4k)xbk= 0，= k(2b4k)4bk= 16 k(bk)0 ，且的中點M(k(b2k)，2k)在直線上，因此有2k = k(b2k)3，即b =2k代入式可得k(k2k3)0，即k(k1)( kk3)01k0設(shè)中點為M(x，y)，則b =2k，消去參數(shù)k，得(x2)y = 61k0，x1故M的軌跡方程為(x2)y = 6 (x1)以上介紹了求曲線方法的幾種主要方法，即直譯法、相關(guān)點法、幾何法、及參數(shù)