直線的方程(培優(yōu))-學案

1、全國名校高一數(shù)學，必修一，優(yōu)質(zhì)學案，自學輔導，專題匯編(附詳解)授課主題第09講-直線的方程14授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結 掌握直線方程的點斜式，斜截式、兩點式、截距式;教學目標 能根據(jù)直線滿足的幾何條件，選擇恰當?shù)姆匠绦问?，求直線方程。授課日期及時段T (Textbook-Based)司步課堂知識點一：直線的點斜式方程方程y -y。=k(x -X0)由直線上一定點及其斜率決定，我們把 y - y。= k(x-X0)叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式.要點詮釋:1.點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在 .點斜式不能表示平行于 y軸的直線，即斜率不存在的直

2、線;2.當直線的傾斜角為0。時，直線方程為y = yi ；3.當直線傾斜角為90。時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示.這時直線方程為：X=Xi.4.k = -_匹表示直線去掉一個點P0(X0, %) ； y y0 = k(x X0)表示一條直線.X Xo知識點二：直線的斜截式方程如果直線l的斜率為k，且與y軸的交點為(0,b)，根據(jù)直線的點斜式方程可得y - b = k(x - 0)，即y =kx +b .我們把直線l與y軸的交點(0, b)的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距,方程y = kx + b由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定，所以方程y=kx+b叫做直線的斜截式方程,簡稱

3、斜截式要點詮釋:1.b為直線I在y軸上截距，截距可以取一切實數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負數(shù)；距離必須大于或等于零;2.斜截式方程可由過點(0 , b)的點斜式方程得到;3.斜截式的前提是直線的斜率存在 .斜截式不能表示平行于 y軸的直線，即斜率不存在的直線b是直線在y軸上的截距.4.斜截式是點斜式的特殊情況，在方程y = kx +b中，k是直線的斜率,知識點三：直線的兩點式方程經(jīng)過兩點l(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x x2, y y2)的直線方程為 y y1X 片壬(X1 HX2,y1 Hy2)，稱X2 -X1這個方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式要點詮釋:1.當直線沒有斜率(xi =

4、X2)或斜率為O(yi =y2)時，不能用兩點式求出它的方程2.在應用兩點式求直線方程時， 往往把分式形式 = =(為H X2, % H y2)通過交叉相乘轉(zhuǎn)化 y2 % X2 - X1為整式形式(y y1)(X2 X1)=(y2 y1)(x X1)，從而得到的方程中，包含了X1=X2或y1=y2的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個等價的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由xi、X2和yi、y是否相等引起的討論.要避免討論,可直接假設兩點式的整式形式.知識點四：直線的截距式方程若直線丨與X軸的交點為A(a , 0)，與y軸的交點為B(0, b)，其中a工0,b H 0，則過AB兩點的直線方程為X +止=1 ,這個

5、方程稱為直線的截距式方程.a叫做直線在X軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截a b要點詮釋:1. 截距式的條件是aH0,bH0，即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標軸平行的直2. 求直線在坐標軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令 y= 0得直線在x軸上的截距.知識點五：直線方程的一般式關于X和y的一次方程都表示一條直線.我們把方程寫為 Ax+By+C=0 ,這個方程(其中A、B不全為零) 叫做直線方程的一般式.要點詮釋:1. A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線A Cf C、A當BK時，方程可變形為y 飛，它表示過點(。，-討，斜率為一的直

6、線.C當B=0 , AM0時，方程可變形為 Ax+C=0，即X =，它表示一條與 X軸垂直的直線.A2、直線的其他形式都可以化成一般形式知識點六：直線方程的不同形式間的關系直線方程的五種形式的比較如下表:名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式y(tǒng)y 1=k(x X1)(X1, y1)疋直線上 疋點，k疋斜率不垂直于X軸斜截式y(tǒng)=kx+bk是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于X軸兩點式y(tǒng) % _ XX1y2 -y1X2 為(X1, y1), (X2, y2)是直線上兩定點不垂直于X軸和y軸截距式a ba是直線在X軸上的非零截距，b是直 線在y軸上的非零截距不垂直于X軸和y軸，且不過原點一般式

7、Ax+By+C=0 ( A2+B2m0A、B、C為系數(shù)任何位置的直線知識點七：直線方程的綜合應用1.已知所求曲線是直線時，用待定系數(shù)法求.2.根據(jù)題目所給條件，選擇適當?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程.對于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同.兀1=一=k1 = 一一= k1k2=-12k2(門從斜截式考慮已知直線h： y = k,x + b,，l2： y=k2x+b2. h /I2 = 口1 =*2 = k = k2(tib2)； h 丄 I2 = 1% -口21于是與直線y = kx+b平行的直線可以設為 y = kx+0 ;垂直的直線可以設為 y =-一 x + b2.

8、k(2)從一般式考慮:l1: Ax + By +Ci =0,l2 ： A2X + B2y +C2 =0 h 丄 12= A1A2 +B1B2 =0A2B2C2 i1/i2= AB2 4q=o且 aca2c0或 BQ2-B2G H0，記憶式(A =旦) 11 與 12重合，ab2-AB1=o，AC2-AG=o，b1C2-b2g=o于是與直線Ax +By + C =0平行的直線可以設為Ax + By + D =0 ；垂直的直線可以設為Bx -Ay +D =0.厶,y=g2，則此公2 23. 中點坐標公式若兩點P1(X1 , y”、P2(X2 , y2),且線段F1P2的中點坐標為(x , y),貝

9、U x=式為線段RP2的中點坐標公式.4. 直線方程幾種表達方式的選取y軸上的截距; 一般地，已知一點的坐標，求過這點的直線,通常采用點斜式，再由其他條件確定斜率; 已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在 已知截距或兩點選擇截距式或兩點式.從結論上看，若求直線與坐標軸所圍成的三角形的面積或周 長，則選擇截距式求解較方便 注意：不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏.考點一：點斜式直線方程例1、求滿足下列條件的直線方程。(1)過點(-4, 3),斜率 k= 3;(2)過點(1, 4),傾斜角為135 °過點(3, 4),且與x軸平行;(4)過點(5, 2),且與y

10、軸平行.例2、已知直線l過點(1, 0),且與直線y=J3(x-1)的夾角為30°求直線l的方程?？键c二：斜截式直線方程例1、( 1)寫出斜率為一1，在y軸上截距為一2的直線方程的斜截式;(2 )已知直線方程為 2x+y 1=0 ,求直線的斜率、在 y軸上的截距以及與 y軸交點的坐標(3)寫出斜率為2,在y軸上截距為m的直線方程，當 m為何值時，直線過點(1, 1)?考點三：兩點式直線方程例1、已知 ABC三個頂點坐標 A (2, 1), B (2, 2),C (4, 1),求三角形三條邊所在的直線方程.例2、直線丨過(1, 1 )、(2, 5)兩點，點(1002 , b)在丨上，則

11、b的值為考點四：截距式直線方程例1、直線丨過點(一3 4),且在兩坐標軸上的截距之和為12,求直線丨的方程.例2、求過點(4, 3 )且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線1的方程?？键c五：直線的一般式方程例1、根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程.(1)斜率是1，經(jīng)過點A (8, 2 );2(2)經(jīng)過點B (4, 2),平行于x軸;在x軸和3y軸上的截距分別是 -,3；2經(jīng)過兩點Pi (3, 2), P2 (5, 4).例2、已知直線11 :3mx+8y+3m-10=0 和 12 : x+6my-4=0 .問 m 為何值時：(1 ) ll與12平行(2) li與12垂直.考點六：直

12、線方程的綜合應用 例1、 過點P (3, 0)作直線l，使它被兩條相交直線 2x y-2=0和x+y+3=0所截得的線段 AB恰好被P點平分，求直線I的方程.例2、已知AABC的三個頂點坐標分別是 A (- 5, 0), B ( 3, - 3), C ( 0, 2),分別求BC邊上的高和中線所在的直線方程.P(P ractice-Oriented)實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練課堂狙擊1、過點(1,0 且與直線x-2y -2 =0平行的直線方程是()A . X 2y 1 =0B . X -2y +1 =0C.2x +y -2 =0D. X +2y -1 =02、若直線(2m2 + m 3)x + (m2 m

13、)y = 4m 1在x軸上的截距為1,則實數(shù)m是()3、經(jīng)過點P(1,4)的直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小,則直線的方程為4、直線x+ 2y 6 = 0X 2y + 7 = 0B . 2x+ y 6= 0D . X 2y 7= 02X y 2 = 0繞它與y軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)90度所得的直線方程是()X 2y + 4 = 0B . x+ 2y 4= 0X 2y 4 = 0D . X + 2y+ 4 = 05、若直線y = bx-b經(jīng)過第一、二、三象限，則()A . ab>0, bcv 0B . ab> 0, bc> 0C . ab< 0, bc>

14、0D . ab< 0, bc< 06、已知點A(1,2)、B(3,1)，則線段AB的垂直平分線的方程是A . 4x+ 2y = 5B . 4x 2y= 5C . X + 2y = 57、已知直線l1的方向向量為D . X 2y= 5a= (1,3)，直線l2的方向向量為b = ( 1, k)，若直線 l2過點(0,5)，且 l1 丄 l2,則直線12的方程是()A . x+ 3y 5 = 0B . X + 3y 15= 0C . X 3y + 5 = 0D . X 3y+ 15= 0的2倍的直線方程8、求經(jīng)過點A( 5,2)且在X軸上的截距等于在y軸上的截距 9、一條光線從點 A(

15、3, 2)出發(fā)，經(jīng)X軸反射，通過點 B(T,6)，求入射光線和反射光線所在直線的方程.10、已知直線I經(jīng)過點P(-5,_4)，且I與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5,求直線I的方程.課后反擊1、直線x+y-=0的傾斜角是(30"B. 45 C. 60 D. 135“12、已知直線AB的斜率是一，若點A(m,2) , B(3,0 )，則m的值為(B.-1C. -7D. 73、直線y=mx 3m+2 (m R)必過定點().4、(3,2)B. ( 3, 2)C. ( 3,2)直線(a 1)y=(3a+2)x 1不通過第二象限，那么a的取值范圍是().a> 1 B . av 0 或 a

16、 > 1 C . 1 < av 2D. a >15、直線I過點(1, 2)且與直線2x 3y+4=0垂直，則I的方程是().3x+2y 1=0 B . 3x+2y+7=0 C. 2x 3y+5=0 D. 2x 3y+8=06、斜率為-2且在x軸上截距為-1的直線方程是7、y軸上一點M與點N(-J3,1)所在直線的傾斜角為120，則點M的坐標為 8、將直線l :y = -J3(x-2)繞點(2, 0)按順時針方向旋轉(zhuǎn) 30°則所得直線方程為 9、如果直線I沿x軸負方向平移3個單位，接著再沿 y軸正方向平移1個單位后又回到原來的位置，則直線I的斜率為10、一條光線從點

17、A (1, 3)射向X軸，經(jīng)過X軸上的點 P反映后通過點 B (3, 1),貝y P點的坐標為11、已知三角形的三個頂點分別為A （6, 7）, B （- 2, 3）, C （2, 1）,求AC邊上的中線所在的直線方程.12、已知直線I在y軸上的截距為一3,且它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為6，求直線I的方程.13、直線I與直線y=1,x-y-7=0分別相交于P,Q兩點，且線段PQ的中點為（1,-1 ），求直線I的方程.期末真題1、（深圳中學 優(yōu)質(zhì)試題）斜率為 3,在y軸上的截距為4的直線方程是（）A. 3x-y+4=0B.X 3y 12 = 0C. 3x -y -4 =0D. 3x y 12

18、 =02、（深圳中學 優(yōu)質(zhì)試題）過點（-1,3），且垂直于直線X-2y + 3 = 0的直線方程為（）全國名校高一數(shù)學，必修一，優(yōu)質(zhì)學案，自學輔導，專題匯編（附詳解）18(A) 2x +y -1 =0(B) 2x+y-5=0(C) X +2y-5 =0(D) x-2 y + 7=03、（高級中學優(yōu)質(zhì)試題）已知點4、（寶安區(qū)期末優(yōu)質(zhì)試題）點（4,A（1,2）, B（3,1），則線段AB的垂直平分線的方程是0）關于直線5x + 4y + 21= 0的對稱點是（-6)C. (6, 8)D. ( 6, 8)5、（翠園中學 優(yōu)質(zhì)試題）已知直線l1:2x-ay+1=0，直線l2：4x + 6y-7=0。若I1/I2，求a的值;（2）若l1與l2相交，交點縱坐標為正數(shù)，求a的范圍;S(Summary-Embedded)歸納總結重點回顧考點一:點斜式直線方程考點二:斜截式直線方程考點三:兩點