直線與圓綜合練專題

1、全國(guó)名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)專題講練匯編(附詳解)題9平面解折兒倒第62練直線與圓綜合練訓(xùn)練目標(biāo)(1)直線與圓的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用；(2)訓(xùn)練解題步驟的規(guī)范性.訓(xùn)練題型(1)求圓的方程；(2)切線問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題;(3)直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用.解題策略利用直線與圓的位置關(guān)系的幾何意義、弦長(zhǎng)公式及弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半 之間的關(guān)系，列方程或不等式.、選擇題1.過(guò)點(diǎn)P(2,3)向圓X2+ y2= 1作兩條切線PA,PB，則弦AB所在直線的方程為()A . 2x 3y 1 = 02x+ 3y 1 = 0C . 3x+ 2y 1 = 02.已知圓X2 + y2 2x+ my 4= 0上兩點(diǎn)M ,N關(guān)于直線

2、2x+ y= 0對(duì)稱，則圓的半徑為()3x 2y 1 = 0C . 23.已知圓X2+ y2= 4,過(guò)點(diǎn)P(0，翻的直線l交該圓于A, B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝y OAB 的面積的最大值是()aa/3C . 2邁4.已知直線I: X邁y+ 2 = 0與圓X2+ y2= 4交于A, B兩點(diǎn)，則AB在x軸正方向上投影的絕對(duì)值為()C . 3D . 45.在圓X2+ y2 2x 6y= 0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(A . 5伍C . 15 迪6.已知點(diǎn) M( 2,0),得PM丄PN,則實(shí)數(shù)B . 10 近D . 20近N(2,0)，若圓 x2 +

3、 y2 6x+ 9 r2= 0(r>0)上存在點(diǎn) P(不同于 M , N),使r的取值范圍是()A . (1,5)B . 1,5C . (1,3D . 1,37 .(優(yōu)質(zhì)試題 西安西北工業(yè)大學(xué)附中訓(xùn)練)直線(a + 1)x + (a 1)y+ 2a = 0(a R)與圓x2 + y22x + 2y 7= 0的位置關(guān)系是()B .相交A .相切D .不確定C.相離&若圓X2+ y2 4x 4y 10= 0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線I: ax+ by= 0的距離為2/2,則直線I的傾斜角的取值范圍是()A.n n12，4B."n 5 n52， 12JnD.0, nn nC1

4、6, 3.二、填空題9已知圓C的方程為X2+ y2 2y 3= 0,過(guò)點(diǎn)P(- 1,2)的直線I與圓C交于A, B兩點(diǎn)，若 使|AB|最小，則直線I的方程是 .10.已知直線ax+ y 1 = 0與圓C: (x 1)2+(y+ a)2= 1相交于A, B兩點(diǎn)，且AABC為等腰 直角三角形，則實(shí)數(shù) a的值為.三、解答題11.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行于x軸且過(guò)點(diǎn)A(3羽，2)的入射光線l1被直線I: y =33x反射，反射光線12交y軸于B點(diǎn)，圓C過(guò)點(diǎn)A且與l1, l2都相切./9(1)求12所在直線的方程和圓 C的方程；設(shè)P, Q分別是直線I和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PB|+|PQ|的

5、最小值及此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).答案精析 1. B 以PO為直徑的圓(X 1)2 + (y 1=普與圓X2+ y2= 1的公共弦即為所求， 直線方程1- 2 尹=0,解得 m= 4,為 2x+ 3y 1 = 0. 2. B 由題意知，圓心 M, m并直線2x+ y= 0上,圓的方程為(x 1)2+ (y+ 2)2= 9，圓的半徑為3.3. B 當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，不符合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，|AB|= Rr2 d2 =42+ d22p4 d2，所以 Saoab= 2|AB| d= p4 d d, 4 d2 孑2= 2，當(dāng)且僅當(dāng) 4 d2=d2,即d = U2時(shí)等號(hào)成立，所以 OAB面積的最

6、大值是2.4. C 設(shè)A(X1, yi), B(X2, y2), AB在x軸正方向上投影的絕對(duì)值為|X2 Xi|.聯(lián)立直線和圓的fxV3 y+ 2 = 0,o方程S消去y得X + X 2= 0,解得兩根為一2, 1,故|X2 X1|= 3.卜2+ y2= 4,5. B 圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(X 1)2 + (y 3)2= 10,由圓的性質(zhì)可知最長(zhǎng)弦 AC = 2何, 最短弦BD恰以E(0,1)為中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)F為其圓心，坐標(biāo)為(1,3)，故EF =Q5. BD = 2#1O(V5)2= 25,二 S四邊形 abcd = 2aC BD = 10/2.6. A 依題意得以 AB為直徑的圓和圓 X +

7、 y2 6x+ 9=0(r>0)有父點(diǎn)，圓 X +寸6x +9 r2 = 0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(X 3)2 + y2= r2.兩圓相切時(shí)不滿足條件，故兩圓相交，而以AB為直徑的圓的方程為 X2+ y2= 4,兩圓的圓心距為3,故|r 2|<3<r + 2,解得1<r<5，故選A.7. B圓 X2 + y2 2x+ 2y 7 = 0，即(x 1)2 + (y+ 1)2= 9, 表示以C(1, 1)為圓心、3為半徑的圓.圓心到直線的距離d= |(a+ 1)(a一 Q + 2a| =普寸(a + 1)2+ (a 1)2p2a2 + 22 2a2+ 12 4a + 8a +

8、4 7a 4a+ 7 9 d = 9 2=2 a2 + 2而方程7a2 4a + 7 = 0的判別式= 16 196 = 180<0, 故有9>d2,即卩d<3，故直線和圓相交.& B 由 X2 + y2 4x 4y 10= 0,得(x 2)2 + (y 2)2= 18,如圖，若圓O上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線I的距離為22，則需要直線l在如圖中的l1和l2之間(包括l1和12), 11和12為臨界位置，此時(shí)圓心0 (2,到直線I: ax+ by= 0的距離為d = 72,從而易求11的傾斜角為 話，l2的傾斜角為fn,所以直線I的傾斜角的取值范圍為In 5n.12，1

9、2 9. x y+ 3 = 0解析所以易知點(diǎn)P在圓的內(nèi)部，根據(jù)圓的性質(zhì)，若使|AB|最小，則AB丄CP ,因?yàn)閳A心C(0,1),2 1kcp= 1, kl = 1,因此直線 I 的方程為 y 2= x+ 1，即 x y+ 3 = 0.1 010.±1解析因?yàn)锳BC是等腰直角三角形，所以圓心C(1, a)到直線ax+ y 1 = 0的距離d= rsin 45 = ¥，即卩 d=< ：=爭(zhēng)，所以 a= ±1.11.解(1)易知直線li： y= 2,設(shè)li交I于點(diǎn)D，貝y D(2乂3, 2), 因?yàn)橹本€I的斜率為誓, 所以I的傾斜角為30°所以12的傾斜

10、角為60°所以k2=3,所以反射光線12所在的直線方程為y 2 = 73(x 23),由題意，知圓C與li切于點(diǎn)A,設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a, b),全國(guó)名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)專題講練匯編（附詳解）因?yàn)閳A心C在過(guò)點(diǎn)D且與I垂直的直線上，所以 b=-3a + 8, 又圓心C在過(guò)點(diǎn)A且與li垂直的直線上，所以 a= 3/3， 由得a= 3寸3, b=- 1, 故圓C的半徑r = 3, 故所求圓C的方程為（X- 3® +（y+ 1）2= 9.綜上，12所在直線的方程為 停一y- 4= 6,圓C的方程為（X-3眉）2 +（y+ 1）2= 9.（2）設(shè)點(diǎn)B（0，- 4）關(guān)于I對(duì)稱的點(diǎn)為B 'x6, yo）.即y0?號(hào)，且字r 解得 X6=- 23, y6= 2,故 B '-2/3, 2).由題意易知，當(dāng) B', P, Q三點(diǎn)共線時(shí)，PB|