與球有關(guān)的切、接問題有答案

1、2.與球有關(guān)的切、接問題中常見的組合:與球有關(guān)的切、接問題41. 球的表而積公式J 5=4 H yr；球的體積公式y(tǒng)=-n!t(1) 正四面體與球：如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為內(nèi)切球的半徑為n外接球的半徑為兄取曲的中點(diǎn)為0,連接m為正四而體的高，在截 面三角形如內(nèi)作一個(gè)與邊功和0Q相切.圓心在奇必上的圓-因?yàn)檎?面體本身的對(duì)稱性，內(nèi)切球和外接球的球心同為a此時(shí)，CO=OS=R. OE=r.a，則有 yf+_r=a,解得r=a.(2) 正方體與球:正方體的內(nèi)切球：截而圖為正方形嘶的內(nèi)切圓.如圖所示設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4,則"1=r=¥(r為內(nèi)切球半徑).D CY AlCl與正方體各

2、棱相切的球：截而圖為正方形嘶的外接圓，則 GO=K=a.正方體的外接球：截而圖為正方形ACC.的外接圓.貝111應(yīng)0|=用=(3) 三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球:如果三棱錐的三條側(cè)棱互柑垂直并且相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方 體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心-即三棱錐Af 砂的外接球的球心和正方體ABCXMA的外接球的球心重合.如圖，設(shè)兒1a.如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外 =II -,=接球的球心就是三棱錐的外接球的球心斤=4=4°為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng))-角度一：正四而體的內(nèi)切球1（2015 長(zhǎng)春模擬若一個(gè)正四面體的表面枳為

3、5U英內(nèi)切球的表而積為S,則言=解析：設(shè)正四而體棱長(zhǎng)為a,則正四面體表面積為$=4 羋其內(nèi)切球 半徑為正四面體高的即尸芬坐因此內(nèi)切球表而積為£=4it2=¥，則¥440120上yf3 6yj3nn角度二：直三棱柱的外接球2（2015 W山統(tǒng)考）如圖，直三棱柱ABG入恥 的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑 為1的半球面上，AB=AC側(cè)而BCGS是半球底而圓的內(nèi)接正方形.則側(cè) 面觀凡的而積為（B. 1A2解析：選C由題意知，球心在側(cè)面BCC0.的中心0上，肚為截而圓 的直徑刎7=90°，磁的外接圓圓心是氏的中點(diǎn)，同理九氏GV的外心.（/是5G的中心.設(shè)正方形BCG&

4、的邊長(zhǎng)為上中，OM=-,-V血=專，處=7?=1（斤為球的半徑），： |”+附=1，即*=花AC=1. 矩形趣九=75X1=75. 角度三：正方體的外接球正視圖 側(cè)視圖2俯視圖要求的宜徑就是3. 個(gè)正方體削去一個(gè)角所得到的幾何體的三視圖如圖所示（圖中 三個(gè)四邊形都是邊長(zhǎng)為2的正方形），則該幾何體外接球的體積為解析：依題意可知，新的幾何體的外接球也就是原正方體的外接球,正方體的體對(duì)角線；2Q2©（R為球的半徑球的體積片扌nF=4羽n.答案：4a/3 n角度四：四棱錐的外接球4. （2014 大綱卷）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球而上，若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表而積為（B 16

5、九 C- 9 n、27貝D解析：選A如圖所示，設(shè)球半徑為凡 底而中心為0且球心為0, ACT 正四棱錐 P-ABCD 中/15=2, :.AO'=電=4. :在 Rt戲加中.a6=A( 7=(乂5)'+(4帀 解得 R_9=孑Zq Ql 并該球的表而積為4nF=4nxU=j.故選A.類題通法“切"“接”問題的處理規(guī)律1“切"的處理解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多而體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截而來解決.如果內(nèi)切的是多而體，則作截而時(shí)主要抓住多而體過球心的對(duì)角面來作.2. “接"的處理把一個(gè)多而體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球而上即為球的外接問題.解

6、決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多而體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.牛刀小試1（2015 云南一檢）如果一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是半徑等于5的圓，那么這個(gè)空間幾何體的表而積等于（BC. 25 H D.弩解析：選A易知該幾何體為球，其半徑為5,則表而積為5=4 n斤=100 II.2（2014 陜西高考）已知底面邊長(zhǎng)為b側(cè)棱長(zhǎng)為/的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球而上，則該球的體枳為（,32 nA"T"B. 4 H C- 2 nTX 4 nd2解析：選D因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌霃绞撬睦庵w對(duì)角線的一半，所以半徑r=2 =1.所以 /球=一§一乂

7、1'=込一.故選 D.3.已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球而上，當(dāng)正六棱柱的底而邊長(zhǎng)為A/時(shí)，集高的值為（A. 3萌BpC 2a/6D2L=解析：選D設(shè)正六棱柱的高為打則可得（V6）=+=3=,解得h=2©4. （2015 -山西四校聯(lián)考）將長(zhǎng)、寬分別為4和3的長(zhǎng)方形泅8沿對(duì)角線WQ折起,得到四而體舟BCD,則四而體+磁的外接球的體積為.解析：設(shè)ACBD相交于a折起來后仍然有0A=0B=0C=0D, ：外接球的半徑r=/3：+4：5, 4n125 n2 =3從而體積=飛一5. 一個(gè)圓錐過軸的截而為等邊三角形它的頂點(diǎn)和底面圓周在球0的球面上.則該 圓錐的體積與球0的

8、體積的比值為解析：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2a,則rw«=n宀寸n ：又jra + （萌a-時(shí),所以Q爭(zhēng)a,故 =罟翌穿則其體積比為養(yǎng)高考全國(guó)課標(biāo)卷貞題追蹤1. （15課標(biāo)1理已知AB是球0的球而上兩點(diǎn)，ZAOB = 90SC為該球而上的動(dòng)點(diǎn),若O-ABC三棱錐體枳的最大值為36,則球。的表而積為（C36兀(B) 64兀(0 144-T(D) 256兀50071,(A) cn?3137271(C) cm32. （13課標(biāo)1理）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器髙8cm,將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球而恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如不計(jì)容器的厚度則球的體積為866

9、713（B）cn?32048713（D） cni33. （12課標(biāo)理）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC = 2,則此棱錐的體積為（A ）(C) 半4. （12課標(biāo)文）平而a截球O的球而所得圓的半徑為1,球心O到平面a的距離為75,則此球的體積為（B ）（A）（B）偵 H（C） 4n（D） 6©乳5. （10新課標(biāo)理設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底而，所有棱長(zhǎng)都為d,頂點(diǎn)都在一個(gè)球而上，則該球的表而積為（B）(A) me(C) 11 托/3(D) 5加6. （10新課標(biāo)文）設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為24"衛(wèi)，次頂點(diǎn)都在

10、一個(gè)球面上，則該球的表而積為（B ）(A) 3加(B) 6加(C) 12加(D) 24加7, （07新課標(biāo)文）已知三棱錐S-ABC的并頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為的球而上，球心0在AB I;, SO丄底而A3C, AC = Q，則球的體積與三棱錐體積之比是（1） 8. d痂課標(biāo)2文）已知正四棱錐的體積為攀底面邊長(zhǎng)必，則以。為A. 7tB. 2兀C. 37tD. 4托球心，Q4為半徑的球的表而積為24龍。9.（13新課標(biāo)1文）已知/是球0的直徑A8上一點(diǎn)，AH:HB = 2 AB丄平而a , H為9垂足，a截球0所得截而的面積為龍，則球0的表而積為2纜10. （11新課標(biāo)理）已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球。的球面上且AB = 6.BC = 2yl3，則棱錐O-AbTD的體積為8厲11. （11新課標(biāo)文）