第二型曲線積分

1、 2 第二型曲線積分教學(xué)目的與要求：掌握第二型曲線積分的定義和計算公式，了解第一、二型曲線積分的差別教學(xué)重點，難點：重點：第二型曲線積分的定義和計算公式難點：第二型曲線積分的計算公式教學(xué)內(nèi)容：第二型曲線積分與第一型曲線積分不同的是在有方向的曲線上定義的積分, 這是由于第二型曲線積分的物理背景是求變力沿曲線作的功,而這類問題顯然與曲線的方向有關(guān).一、第二型曲線積分的定義 二、第二型曲線積分的計算 三、兩類曲線積分的聯(lián)系 一、 第二型曲線積分的意義在物理學(xué)中還碰到另一種類型的曲線積分問題。例如一質(zhì)點受力的作用沿平面曲線從點移動到點，求力所作的功(圖)。為此在曲線AB內(nèi)插入個分點M1,M2,Mn-1

2、，與一起把有向曲線AB分成個有向小曲線段M1,M2,Mn，若記小曲線段的弧長為，則分割的細度為。設(shè)力在軸和軸方向的投影分別為與，那么。又設(shè)小曲線段在軸與軸上的投影分別為與，其中與分別為分點與的坐標(biāo)，記，于是力在小曲線段上所作的功,其中為小曲線段上任一點。因而力沿曲線AB所作的功近似的等于當(dāng)細度時，上式右邊和式的極限就應(yīng)該是所求的功。這種類型的和式的極限就是下面所要討論的第二型曲線積分。定義1 設(shè)函數(shù)與定義在平面有向可求長度曲線上。對的任一分割，它把分成個小曲線段Mi-1Mi(i=1,2,n)其中。記各小曲線段的弧長為，分割的細度。又設(shè)的分點的坐標(biāo)為，并記xi=xi-xi-1,yi=yi-yi-

3、1(i=1,2,n)。在每個小曲線段上任取一點，若極限存在且與分割與點的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)，沿有向曲線上的第二型曲線積分，記為或 上述積分也可寫作或 為書寫簡潔起見，式常簡寫成或若為封閉的有向曲線，則記為 若記，則式可寫成向量形式 或 于是，力沿有向曲線L:AB對質(zhì)點所作的功為。倘若為空間有向可求長度曲線，為定義在上的函數(shù)，則可按上述辦法類似地定義沿空間有向曲線上的第二型曲線積分，并記為， 或簡寫成。當(dāng)把與看作三維向量時，式也可表示成式的向量形式。第二型曲線積分與曲線的方向有關(guān)。對同一曲線，當(dāng)方向由到改變?yōu)橛傻紸時，每一小曲線段的方向都改變。從而所得的也隨之改變符號，故有而第一型曲線積

4、分的被積表達式只是函數(shù)與弧長的乘積，它與曲線的方向無關(guān)。這是兩種類型曲線積分的一個重要區(qū)別。類似于第一型曲線積分，第二型曲線積分也有如下一些重要性質(zhì)：1. 若存在，則也存在，且,其中為常數(shù)。2. 若有向曲線是由有向曲線首尾相接而成，且存在，則也存在, 且 。二、 第二型曲線積分的計算與第一型曲線積分一樣，第二型曲線積分也可化為定積分來計算。設(shè)平面曲線，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且點與的坐標(biāo)分別為與。又設(shè)與為上的連續(xù)函數(shù)，則沿從到的第二型曲線積分 仿照中定理的方法分別證明，由此便可得公式，這里不再贅述了。對于沿封閉曲線的第二型曲線積分的計算，可在上任意選取一點作為起點，沿所指定的方向前進，最后

5、回到這一點。例1 計算，其中分別沿如圖中路線(i)直線；(ii)(拋物線：)；(iii)(三角形周界)解(i)直線的參數(shù)方程為， 。故由公式可得。(ii)曲線為拋物線，所以 。(iii)這里是一條封閉曲線，故可從開始，應(yīng)用上段的性質(zhì)，分別求沿和上的線積分然后相加即可得到所求之曲線積分。由于沿直線的線積分為。沿直線的線積分為。沿直線的線積分可由(i)及公式得到所以例2 計算，這里(i)沿拋物線，從到的一段（圖20-4）；(ii)沿直線段；(iii)沿封閉曲線。解 (i) 。(ii) 。(iii)在一段上，在一段上，在一段上與(ii)一樣是從到的一段。所以(見(ii)。因此xdy+ydx=(OA+

6、AB+BO)xdy+ydx=0+2-2=0對于沿空間有向曲線的第二型曲線積分的計算公式也與式相仿。設(shè)空間有向光滑曲線的參量方程為，起點為，終點為，則。這里要注意曲線方向與積分上下限的確定應(yīng)該一致。例3 計算第二型曲線積分 ，其中是螺旋曲線，從到上的一段(參見圖 205). 解 由公式， 。例4 求在力作用下，(i)質(zhì)點由沿螺旋線到所作的功（圖），其中；(ii)質(zhì)點由沿直線到所作的功。解 如本節(jié)開頭所述，在空間曲線上力所做的功為。(i) 由于，所以。(ii)的參量方程為。由于所以。三、兩類曲線積分的聯(lián)系雖然第一型曲線積分與第二型曲線積分來自不同的物理原型, 且有著不同的特性, 但在一定條件下, 如在規(guī)定了曲線方向之后, 可以建立它們之間的聯(lián)系。設(shè)L為從A到B的有向光滑曲線, 它以弧長s為參數(shù), 于是其中l(wèi)為曲線L的全長, 且點A與B的坐標(biāo)分別為（x（0），y（0）與（x（l），y（l）曲線L上每一點的切線方向指向弧長增加的一方. 現(xiàn)以（t，x），（t，y）分別表示切線方向t與x軸與y軸正向的夾角, 則在曲線上的每一點的切線方向余弦是 若p（x，y）Q（x，y）為曲線L上的連續(xù)函數(shù)，則由（6）式得最后一個等式是根據(jù)第一型曲線積分化為定積分的公式注 當(dāng)(9)式左邊第二型曲線積分中L改變方向時, 積分值改變符號, 相應(yīng)在(9)式右邊第一型曲線積分中，曲線