線性代數(shù)題庫

1、線性代數(shù)題庫3 .已知矩陣A, B, CXXX大學線性代數(shù)期末考試題、填空題（將正確答案填在題中橫線上。每小題 2分，共10 分）1311.若05x0，則o1 2 2X2X302 .若齊次線性方程組捲X2X30只有零解，則應(yīng)滿足X1X2X30（Cj）s n ,滿足AC CB ,則A與B分別是階矩陣ai1ai24 .矩陣A a2ia22的行向量組線性a3ia 325. n階方陣A滿足A2 3A E 0，則A 1、判斷正誤（正確的在括號內(nèi)填“/”，錯誤的在括號內(nèi)填“X”。每小題2 分, 共10分）1. 若行列式D中每個元素都大于零，則D 0 o （）2. 零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合

2、。（）3. 向量組a1, a2, am中，如果a1與am對應(yīng)的分量成比例，貝U向量組a1, a2, , as線性相關(guān)。（）0 10 04. A0 .1，則 A10 0 10。每5.若為可逆矩陣A的特征值，則A 1的特征值為。（） 三、單項選擇題 （每小題僅有一個正確答案，將正確答案題號填入括號小題2分，共10分）1.設(shè)A為n階矩陣，且A2，貝U AAt2n2n12n2. n維向量組線性無關(guān)的充要條件是1?2?S中任意兩個向量都線性無關(guān)1?2?S中存在一個向量不能用其余向量線性表示1,2,S中任一個向量都不能用其余向量線性表示1,2,s中不含零向量3.下列命題中正確的是（） 任意n個n 1維向量

3、線性相關(guān) 任意n個n 1維向量線性無關(guān) 任意n 1個n維向量線性相關(guān) 任意n 1個n維向量線性無關(guān)4. 設(shè)A， B均為n階方陣，下面結(jié)論正確的是（）若A，B均可逆，則A B可逆若A逆，貝U A B可逆若A B可逆，則A B可逆若AB均可B可逆,則A , B均可逆5.若1,2,3,4是線性方程組0的基礎(chǔ)解系,A 0 的（）解向量基礎(chǔ)解系通解A的行向量四、計算題（每小題9分,共63分）1.計算行列式bx bbdddd(x1bcd1bcd1x bcd(x a b c d)0x001bx cd00x01bcx d000xc d)(x a bc d)x3b解.x abcdxabcdbcdax bcdxa

4、bcdx bcdabx cdxabcdbx cdabcx dxabcdbcx d3012.設(shè) AB A 2B，且 A110 ,求B。01421 1解.(A 2E)B A(A 2E) 122 111 1522B1(A 2E) A4322 23110021343.設(shè)B00101101，c 020123且矩陣滿足關(guān)系式100010002X(C B)E,求。4問a取何值時，下列向量組線性相關(guān)?為 xX335.為何值時，線性方程組X1 X2X32有唯一解，無解和有無窮多解?X-Ix2X32當方程組有無窮多解時求其通解。當勺1且2時，方程組有唯懈；當2時方程組無解21 1當1時，有無窮多組解，通解為0c1

5、1C2000 1146.設(shè) 1,229,313,4.求此向量組的秩和一個極大無11370317關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。1 0 07.設(shè)A 0 10，求A的特征值及對應(yīng)的特征向量。0 2 1五、證明題（7分）若A是n階方陣，且AA I, A 1,證明 A 1|0。其中I為單位矩陣XXX大學線性代數(shù)期末考試題答案一、填空題1.5 2.13.s s ， n n4.相關(guān)5.A 3E二、判斷正誤1.X2.V3.V4.V5.X三、單項選擇題1. 2.3.4.5.四、計算題x a b c da x b c da b x c da b c x dx a b c d b c(x1bcd1bcd

6、1x bcd(x a b c d)0x001bx cd00x01bcx d000xd)c(x a b c d)x32.(A 2E)B A2 1 11(A 2E)2211 1 15221B (A 2E) A 4322 23,(C B)32 1043 2110 0 02 10 010 0 01 2 10 01 2 1 00 1 2 13.12340123C B00 1200 0 11 01 2 1 C B1 20 10 00 0,X E C B1 02 14.ai,82,a31a21a21122121 1 (2a 1)2(2a 2)當 a2 8a-或a 1時，向量組2ai, a2, ag線性相關(guān)。

7、5.當 1且2時，方程組有唯一解;當2時方程組無解2 1 1當 1時，有無窮多組解，通解為0c11C200 0 16.121312131213490 1001420142(a1，a2,as,a4)113703410001616031703170013131002010200110000則ra1,a2,a3,a43，其中 a1,a2,a3構(gòu)成極大無關(guān)組，a42a12 a2a37.(1)2 3特征值1E A00 ,特征向量為0五、證明題AAAlA. A的行向量組線性無關(guān)B. A的列向量組線性無關(guān)C. A的行向量組線性相關(guān)D. A的列向量組線性相關(guān)2 I A.單項選擇題(每小題3分，本題共15分)a

8、1a2a3a1a2a31.如果b1b2bsm，則2d2b22b3=()C1C2C33C|3c23c3A. 6m ；B.6m ；3 3C. 2 3 m ；D.2 3m。4.設(shè) a b 31 a b3 54 2，則a,b分別等于（）.A. 1,2B.1,3C. 3,1D. 6,25.若xi是方程AX的解,X2是方程AX）是方程AX B的解（c為任意常數(shù)）.A. x-i cx2B. c% cx2C. c% cx2D.cx1 x2.填空題（每小題3分，共15分）1.設(shè)AB均為n階方陣，且A a, B b(2A)Bt1112.013.若對任意的3 維列向量 x (X1, X2, X3)T , AxX12

9、x1X2X314 .設(shè) a 02,b42 , c與a正交，且 b a c貝U35.設(shè)向量組 1 (1,0,0)T, 2 ( 1,3,0)t, 3 (1,2, 1)T 線性關(guān).三.計算行列式(10分)2 1413 1211232506213451四.（10 分）設(shè) a1,a2141 ,a312 ,a42.求向量組 a!,a2,a3,a4的312342231秩和一個最大無關(guān)組 .五.（10分）已知矩陣滿足XA B，其中A130261，B011六.（8分）設(shè)方陣A滿足A2 A 2E 0,證明A可逆，并求A的逆矩陣.七.（8分）已知向量組a1,a2, a3線性無關(guān)，b 2a- a2，b2 3a2 a3

10、, b3 印 4a3， 證明向量組d,b2,b3線性無關(guān).八.（12 分）求矩陣 A1104 3 0 的特征值和對應(yīng)于特征值的所有特征向量。1 0 2x1 x2 2x31九.（ 12 分） 取何值時，下列非齊次線性方程組x1 x2x3 25x1 5x2 4x31（1）無解，（ 2 ）有唯一解，（ 3 ）有無窮多解？并在有無窮多解時寫出通解。一、填空題（共5小題，每題3 分,共計15分）n 111 101. 2 ab;2.3. A4 .012 01無關(guān)二、選擇題（共5小題,每題3 分,共計15分2,c ( 2,2, 1)T ；5.1. (B)；2. (D) ；3. (D)；4. (C)5. (A

11、).、(10 分)ff:4236.11202315 q112 2 4236 1120 2315o 2 004 2 3411212312020 o423 0112 0231 oL L 3分0L L 4分四（10分）解：A 1 0,所以A可逆，有X BA 1 ,L L 4分A 12112 105 331 1 20X BA2 110 132 10五( 10分)134141解：(1 ,2,3,4)1 1222313451345015301530111 ：00640811110033141211L L3分5134520153LL 2分3：0222108111113450153L L6分00110002L

12、 L 2分六、向量組的秩為4,1, 2,3,4為最大無關(guān)組。證明：恒等變形AA 2E，A(A E) 2E，1 1A-(A E) E，所以 A 可逆，且 A1-(A E)。 LL3 分七、證法一：把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式2 0 1b|,b2, b3a-i ,a2, a3 1 3 0 ,記 B AK，L L 3 分014設(shè)BX 0，以B AK代入得A(Kx) 0,因為矩陣A的列向量組線性無關(guān)，根據(jù)向量組線性無關(guān)的定義知Kx 0，L L 3分又因K 25 0,知方程Kx 0只有零解x 0。所以矩陣B的列向量組bi,b2,b3線性無關(guān)。記 B AK ,2證法二： 把已知條件合寫成aa2,a

13、3 10因K 25 0,知K可逆，根據(jù)上章矩陣性質(zhì)4知R因矩陣A的列向量組線性無關(guān)，根據(jù)定理 4知R A從而再由定理4知矩陣B的三個列向量組b!,b2,bs線性無關(guān)。八 (12分)解：A的特征多項式為A(2)(1)2所以A的特征值為12, 231.當12時,解方程(A 2E)x0.由A2EP1得基礎(chǔ)解系所以k p1(k0)是對應(yīng)于12的全部特征向量.得基礎(chǔ)解系P2L L 4分九. (12 分)12 11 21解：(Ab)1 12r235幾i 0 1 235 5410556612135r2 01 23005494分(1)當-時5時，R(A) 2, R(Ab)=3，方程組無解；(2)當4且5，1時

14、，R(A)R(Ab) =3=n，方程組有唯一(3)當1 時，R(A) R(Ab)=2n=3,方程組有無窮多個解。分x1原方程組同解于1x2 2x313%3，x1x21X31，X11 1通解X2c 10,(c R)。X30 10)是對應(yīng)于所以k P2(k2分解;向量。31的全部特征線性代數(shù)習題和答案好東西第一部分選擇題（共28分）單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。A. m+n錯選或未選均無分。ana12=m，a13an=n，則行列式ana12a13a 21a22a23a21a 21a22a23等于（1

15、設(shè)行列式B. - (m+n)D. m-C. n- m2.設(shè)矩陣，則A-1等于（13A. 000120B.0120001313C. 0000丄2D.1200013023.設(shè)矩陣中位于（1，2 ）的元素是1，A*是 A的伴隨矩陣,44設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式 AB = AC，貝U必有（A. A = 0B. B C 時 A=0C. A 0 時 B=CD. |A| 0 時 B=C5.已知3 X4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（AT）等于（）A. 1B. 2D. 4C. 36. 設(shè)兩個向量組al , a2,，as和仇，倫，伍均線性相關(guān)，則（）A. 有不全為0的數(shù)入1，匕，？s使入1 al + 2 a2

16、+ +晁as=0和入1仇+ 2 p2+ 晁伍=0B. 有不全為0的數(shù)入1，&，2s使入1 （ a1+ p1） + /2 （ a2+力）+ +尼（as+侄）=0C. 有不全為0的數(shù)入1，?2，鳥使入1 （ a1- p1） + /2 （ a2- 2） + /s （ as-侄）=0D. 有不全為0的數(shù)入1，/，屁和不全為0的數(shù)0， 2，ps使入1 a1+ /a2+ + As as=0 和 01 p1 + 02 p2+ + （Js Bs=07. 設(shè)矩陣A的秩為r，則A中（ ）A.所有r- 1階子式都不為0B.所有r- 1階子式全為0C.至少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設(shè)Ax=b是

17、一非齊次線性方程組,n，n2是其任意2個解，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.叩+ n2是Ax=0 的一個解1 1B. n1+ 2 n2 是 Ax=b 的一個解9. 設(shè) n 階方陣 A 不可逆，則必有（ ）A秩（A）3）階方陣，下列陳述中正確的是（）A. 如存在數(shù)入和向量a使A a=入a,則a是A的屬于特征值入的特征向量B. 如存在數(shù)入和非零向量a,使（AE- A）a=0，則入是A的特征值C. A 的 2 個不同的特征值可以有同一個特征向量D. 如入i,A是A的3個互不相同的特征值，ai , a2, a依次是A的屬于A ,A,入3的特征向量，貝U ai , a2, a3有可能線性相關(guān)11. 設(shè)A是矩陣

18、A的特征方程的3重根，A的屬于Ao的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為k，則必有（）A. k 3B. k312. 設(shè) A 是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.|A| 2必為 1B.|A|必為 1C.A- 1=ATD.A 的行（列）向量組是正交單位向量組13. 設(shè)A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（）A. A 與 B 相似B. A 與 B 不等價C. A 與 B 有相同的特征值D. A與B合同r 34B.26111D. 12010214. 下列矩陣中是正定矩陣的為()23A.34100C. 023035第二部分非選擇題(共72分)、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)不寫解答

19、過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。11115.3569253616.設(shè)A =111112311，B= 12 4A+2B =17.設(shè)A=(aj)3x3, |A|=2 , Aj表示|A|中元素aj的代數(shù)余子式(i,j=1,2,3 )，則(aii A21 +a i2A22+a i3A23)2+(a 21A21 +a 22A22+a 23A23)2+(a 31A21 +a 32A22+a 33A23)2= :18. 設(shè)向量(2 , -3 , 5)與向量(-4 , 6 , a)線性相關(guān)，貝U a=.19. 設(shè)A是3 X4矩陣，其秩為3，若n , n為非齊次線性方程組 Ax=b的2個

20、不同的解，則它的通解為.20. 設(shè)A是m Xn矩陣，A的秩為r(n),則齊次線性方程組 Ax=0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的個數(shù)為.21. 設(shè)向量a、B的長度依次為2和3，則向量a+ B與a- B的內(nèi)積(a+ B, a- B)22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為0 1023.設(shè)矩陣A= 132 1063 ，已知口 a=21是它的一個特征向量，則a所對應(yīng)的特征值為24.設(shè)實二次型f（X1,X2,X3,X4,X5）的秩為4，正慣性指數(shù)為 3，則其規(guī)范形為三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.設(shè) A =1 2 0340，B=1 2 110 .

21、求(1)ABT(2) |4A|.26.試計算行列式35211 1130 153241327.設(shè)矩陣A =11 0，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.123213028.給定向量組a1 =1，a2=03，a3 =20，a4 =2143419試判斷a4是否為a1，a2a3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)121022426629.設(shè)矩陣A=門102333334求：（1 ）秩（A）;（2） A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。0 2 230.設(shè)矩陣 A= 2 3 4 的全部特征值為 1，1 和- 8.求正交矩陣 T 和對角矩陣2 4 3D，使 T- 1AT=D.31. 試用配方法化下列二次型為標準

22、形f（x1 ,x2,x3）= x12 2x22 3x23 4x1x2 4x1x3 4x2x3 ，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共 2 小題，每小題 5 分，共 10 分）32. 設(shè)方陣 A 滿足 A3=0 ，試證明 E- A 可逆，且（ E- A）- 1=E+A+A2.33. 設(shè)no是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，& ,傘是其導出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系 .試證明(1) n= no+ &, n2= no+ $ 均是 Ax=b 的解;（2） no, ni, n2線性無關(guān)。答案：一、單項選擇題（本大題共 14 小題,每小題 2 分,共 28 分）1.D2.B3.B4.D5.C6

23、.D7.C8.A9.A1o.B11.A12.B13.D14.C二、填空題（本大題共 1o 空,每空 2 分,共 2o 分）15. 617. 418. -1019. n+c( n2- ni)(或 n+c( n2- n), c 為任意常數(shù)20.n - r21.-522.-223.124.2 2Z1 Z22 2Z3Z4三、計算題（本大題共7小題,每小題6分，共42分）12 0 2225.解( 1)ABT=3403412 1 108 6=18 10310(2) |4A|=4 3|A|=64| A|，而|A|= 3402 .所以 |4A|=64 (- 2) =- 12826.解3112511151341

24、1131201100101533553051111 1 15506 2301040.5527.解 AB=A+2 B 即(A- 2E) B = A , 而1223143(A-2E)-1= 110153.121164143423所以B=(A- 2E)- 1A=153110164123386=296.2129213005321301130128.解一022401123419013112103510350112011200880011001414000010020101001 1 ,0000所以a4=2ai+ a2+ a3,組合系數(shù)為(2，1 ， 1)解二 考慮 a4=X 1 ai+X2 a2+X3a

25、3,2x1 x2 3x3 0即 X1 3X21即2X2 2X3 43X1 4X2 X3 9.方程組有唯一解(2 , 1 , 1) T,組合系數(shù)為(2 , 1 , 1 )29. 解 對矩陣 A 施行初等行變換12102A00062A032820963212102121020328303283=B000620003=B100021700000（1 ）秩（B） =3，所以秩（A）=秩（B） =3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關(guān)組， 故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30. 解 A的屬于特征值入=1的2個線性無關(guān)的特征向量為護（2，- 1，0） T，3 =（2，0，1 ) T.2.5/52-5/15經(jīng)正交標準化，得n= V5/5 ， n2：=4.5/150.5/3/=-8的一個特征向量為11/33= 2 ，經(jīng)單位化得