高中高考數學易錯易混易忘題分類匯總及解析

1、1高中高考數學易錯易混易忘題分類匯總及解析高中高考數學易錯易混易忘題分類匯總及解析“會而不對，對而不全”一直以來成為制約學生數學成績提高的重要因素，成為學生揮之不去的痛，如何解決這個問題對決定學生的高考成敗起著至關重要的作用。本文結合筆者的多年高三教學經驗精心挑選學生在考試中常見的 66 個易錯、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點和重點，做到力避偏、怪、難，進行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應練習，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實存在，另一方面通過作針對性練習幫你識破命題者精心設計的陷阱，以達到授人以漁的目的，助你在高考中乘風破浪，實現自已的理想報負?！疽族e點 1】忽視空集

2、是任何非空集合的子集導致思維不全面。例 1、設，若，求實數 a 組成的集2|8150Ax xx|10Bx ax ABB合的子集有多少個？【易錯點分析】此題由條件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極ABBBA易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的 a 值產生漏解現象。解析：集合 A 化簡得，由知故（）當時，即方程 3,5A ABBBAB無解，此時 a=0 符合已知條件（）當時，即方程的解為 3 或 5，代入得10ax B10ax 或。綜上滿足條件的 a 組成的集合為，故其子集共有個。13a 151 10,3 5328【知識點歸類點拔】 （1）在應用條件 ABAB時，要樹立起分類討論的

3、數學思想，將集合是空集 的情況優(yōu)先進行討論（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對集合元素的限制。有時需要進行檢驗求解的結果是滿足集合中元素的這個性質，此外，解題過程中要注意集合語言（數學語言）和自然語言之間的轉化如：，22,|4Ax yxy，其中,若求 r 的取值范圍。將集合所表 222,|34Bx yxyr0r AB達的數學語言向自然語言進行轉化就是：集合 A 表示以原點為圓心以 2 的半徑的圓，集合 B 表示以（3，4）為圓心，以 r 為半徑的圓，當兩圓無公共點即兩圓相離或內含時，求半徑 r 的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關系來解答。此外如

4、不等式的解集等也要注意集合語言的應用?！揪?1】已知集合、，若，2|40Ax xx22|2110Bx xaxa BA則實數 a 的取值范圍是 。答案：或。1a 1a 【易錯點 2】求解函數值域或單調區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。例 2、已知,求的取值范圍22214yx 22xy【易錯點分析】此題學生很容易只是利用消元的思路將問題轉化為關于 x 的函數最值求解，但極易忽略x、y 滿足這個條件中的兩個變量的約束關系而造成定義域范圍的擴大。22214yx 2解析：由于得(x+2)2=1-1，-3x-1從而x2+y2=-3x2-16x-12=22214yx 42y+因此當x=-1時x2+y2有最小值 1

5、, 當 x=-時，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范圍是1, 32838328328【知識點歸類點拔】事實上我們可以從解析幾何的角度來理解條件對 x、y 的限制，22214yx 顯然方程表示以（-2，0）為中心的橢圓，則易知-3x-1，。此外本題還可通過三角換元22y 轉化為三角最值求解?！揪?2】 （05 高考重慶卷）若動點（x,y）在曲線上變化，則的最大值為22214xyb0b 22xy（）（A）（B）（C）（D）24 04424bbb b24 02422bbb b244b2b答案：A【易錯點 3】求解函數的反函數易漏掉確定原函數的值域即反函數的定義域。例 3、是 R 上的奇函數，

6、（1）求 a 的值（2）求的反函數 2112xxaf x 1fx【易錯點分析】求解已知函數的反函數時，易忽略求解反函數的定義域即原函數的值域而出錯。解析：（1）利用（或）求得 a=1. 0f xfx 00f（2）由即，設,則由于故，1a 2121xxf x yf x211xyy 1y 121xyy，而所以112logyyx 2121xxf x211,121x 1112log11xxfxx 【知識點歸類點拔】 （1）在求解函數的反函數時，一定要通過確定原函數的值域即反函數的定義域在反函數的解析式后表明（若反函數的定義域為 R 可省略） 。（2）應用可省略求反函數的步驟，直接利用原函數求解但應注意

7、其自變量和1( )( )fbaf ab函數值要互換?！揪?3】（2004 全國理）函數的反函數是（） 1 11f xxx A、 B、2221yxxx2221yxxx3C、 D、 221yxx x221yxx x答案：B【易錯點 4】求反函數與反函數值錯位例 4、已知函數，函數的圖像與的圖象關于直線 121xf xx yg x11yfx對稱，則的解析式為（）yx yg xA、 B、 C、 D、 32xg xx 21xg xx 12xg xx 32g xx【易錯點分析】解答本題時易由與互為反函數，而認為 yg x11yfx的反函數是則=而11yfx1yf x yg x1f x 1213211xxx

8、x錯選 A。解析：由得從而再求 121xf xx 112xfxx 11121211xxyfxx 的反函數得。正確答案：B11yfx 21xg xx【知識點分類點拔】函數與函數并不互為反函數，他只是表示11yfx1yf x中 x 用 x-1 替代后的反函數值。這是因為由求反函數的過程來看：設則 1fx1yf x， 11fyx再將 x、y 互換即得的反函數為，故 11xfy1yf x 11yfx的反函數不是，因此在今后求解此題問題時一定要謹慎。1yf x11yfx【練 4】 （2004 高考福建卷）已知函數 y=log2x 的反函數是 y=f-1(x)，則函數 y= f-1(1-x)的圖象是（）答

9、案：B【易錯點 5】判斷函數的奇偶性忽視函數具有奇偶性的必要條件：定義域關于原點對稱。4例 5、判斷函數的奇偶性。2lg 1( )22xf xx【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：從而得出函數為非奇非偶函數的錯誤結論。 2lg 1()22xfxf xx f x解析：由函數的解析式知 x 滿足即函數的定義域為定義域關于原點對稱，21022xx 1,00,1在定義域下易證即函數為奇函數。 2lg 1xf xx fxf x 【知識點歸類點拔】 （1）函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數的奇偶性時一定要先研究函數的定義域。（2）函數具有奇

10、偶性，則是對定義域內 x 的恒等式。 f x f xfx或 f xfx 常常利用這一點求解函數中字母參數的值。【練 5】判斷下列函數的奇偶性： 2244f xxx 111xf xxx 1sincos1sincosxxf xxx答案：既是奇函數又是偶函數非奇非偶函數非奇非偶函數【易錯點 6】易忘原函數和反函數的單調性和奇偶性的關系。從而導致解題過程繁鎖。例 6、函數的反函數為，證明是奇函數且 2221211log22xxf xxx 或 1fx 1fx在其定義域上是增函數。【思維分析】可求的表達式，再證明。若注意到與具有相同的單調性和奇偶性， 1fx 1fx f x只需研究原函數的單調性和奇偶性即

11、可。 f x解析：，故為奇函數從而為212121212121222logloglogxxxxxxfx f x f x 1fx奇函數。又令在和上均為增函數且為增函數，21212121xtxx 1,2 1,22logty 故在和上分別為增函數。故分別在和上分別 f x1,2 1,2 1fx0,0為增函數?！局R點歸類點拔】對于反函數知識有如下重要結論：（1）定義域上的單調函數必有反函數。 （2）奇函數的反函數也是奇函數且原函數和反函數具有相同的單調性。 （3）定義域為非單元素的偶函數不存在反函數。 （4）周期函數不存在反函數（5）原函數的定義域和值域和反函數的定義域和值域到換。即 5。1( )(

12、)fbaf ab【練 6】 （1） （99 全國高考題）已知 ，則如下結論正確的是（）( )2xxeef xA、 是奇函數且為增函數 B、 是奇函數且為減函數 f x f xC、 是偶函數且為增函數 D、 是偶函數且為減函數 f x f x答案：A（2） （2005 天津卷）設是函數的反函數，則使成立的 1fx 112xxf xaaa 11fx的取值范圍為（）A、 B、 C、 D、x21(,)2aa21(,)2aa21(, )2aaa( ,)a 答案：A （時，單調增函數，所以.）1a f x 21111112afxffxfxfa 【易錯點 7】證明或判斷函數的單調性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)

13、范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。例 7、試判斷函數的單調性并給出證明。 0,0bf xaxabx【易錯點分析】在解答題中證明或判斷函數的單調性必須依據函數的性質解答。特別注意定義中的的任意性。以及函數的單調區(qū)間必是12,xD xD 1212f xf xf xf x12,x x函數定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識。解析：由于即函數為奇函數，因此只需判斷函數在上的單調 fxf x f x f x0,性即可。設 ， 由于 故當120 xx 12121212ax xbf xf xxxx x120 xx 時，此時函數在上增函數，同理可12,bx xa 120f xf x f x,ba證函數在上為減函數。

14、又由于函數為奇函數，故函數在為減函數，在 f x0,ba,0ba為增函數。綜上所述：函數在和上分別為增函數，在,ba f x,ba ,ba和上分別為減函數.0,ba,0ba【知識歸類點拔】 （1）函數的單調性廣泛應用于比較大小、解不等式、求參數的范圍、最值等問題中，應引起足夠重視。6（2）單調性的定義等價于如下形式：在上是增函數，在 f x, a b 12120f xf xxx f x上是減函數，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數的圖象上任意兩, a b 12120f xf xxx點連線的斜率都大于（小于）零。 1122,xf xxf x（3）是一種重要的函數模型，要引起重視并注意應用。但注

15、意本題中 0,0bf xaxabx不能說在上為增函數，在上為減函數, f x,ba ,ba0,ba,0ba在敘述函數的單調區(qū)間時不能在多個單調區(qū)間之間添加符號“”和“或”，【練 7】 （1） （濰坊市統(tǒng)考題）（1）用單調性的定義判斷函數在 10 xf xaxaax f x上的單調性。 （2）設在的最小值為，求的解析式。0, f x01x g a yg a答案：（1）函數在為增函數在為減函數。 （2）1,a10,a 12101aayg aaa（2） （2001 天津）設且為 R 上的偶函數。 （1）求 a 的值（2）試判斷函數在0a xxeaf xae上的單調性并給出證明。0,答案：（1）（2）

16、函數在上為增函數（證明略）1a 0,【易錯點 8】在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用，導致錯誤結論。例 8、 （2004 全國高考卷）已知函數上是減函數，求 a 的取值范圍。 3231f xaxxx【易錯點分析】是在內單調遞減的充分不必要條件，在解題過程 0,fxxa b f x, a b中易誤作是充要條件，如在 R 上遞減，但。 3f xx 230fxx 解析：求函數的導數（1）當時，是減函數，則 2361fxaxx 0fx f x故解得。 （2）當時， 23610fxaxxxR 00a 3a 3a 7易知此時函數也在 R 上是減函數。 （3）當時， 33

17、218331339f xxxxx 3a 在 R 上存在一個區(qū)間在其上有，所以當時，函數不是減函數，綜上，所求 a 0fx3a f x的取值范圍是。, 3 【知識歸類點拔】若函數可導，其導數與函數的單調性的關系現以增函數為例來說明： f x與為增函數的關系:能推出為增函數，但反之不一定。如函數0)( xf)(xf0)( xf)(xf在上單調遞增，但，是為增函數的充分不必要3)(xxf),(0)( xf0)( xf)(xf條件。時，與為增函數的關系:若將的根作為分界點，因為0)( xf0)( xf)(xf0)( xf規(guī)定，即摳去了分界點，此時為增函數，就一定有。當時，0)( xf)(xf0)( x

18、f0)( xf是為增函數的充分必要條件。與為增函數的關系:為增函數，0)( xf)(xf0)( xf)(xf)(xf一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函數0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf在某個區(qū)間內恒有，則為常數，函數不具有單調性。是為增函數0)( xf)(xf0)( xf)(xf的必要不充分條件。函數的單調性是函數一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關系，用導數判斷好函數的單調性。因此新教材為解決單調區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。因此本題在第一步

19、后再對和進行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分3a 3a 條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導致的錯誤還很多，這需要同學們在學習過程中注意思維的嚴密性?！揪?8】 （1） （2003 新課程）函數是是單調函數的充要條件是（）2yxbxc0,xA、 B、 C、 D、0b 0b 0b 0b 答案：A（2）是否存在這樣的 K 值，使函數在上遞減，在 243221232f xk xxkxx1,2上遞增？2,答案：。 （提示據題意結合函數的連續(xù)性知，但是函數在上遞減，12k 20f 20f 1,2在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出 K 值后要檢驗。 ）2, 20f

20、【易錯點 9】應用重要不等式確定最值時，忽視應用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內。8例 9、 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。a1b1錯解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8(a+)2+(b+)2的最a1b121a21bab2abab1a1b1小值是 8【易錯點分析】 上面的解答中，兩次用到了基本不等式 a2+b22ab，第一次等號成立的條件是 a=b=,21第二次等號成立的條件 ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8 不是最小值。ab1解析：原式= a2+b2+4=( a2+

21、b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)2-+4 =(1-2ab)21a21b21a21ba1b1ab2(1+)+4 由 ab()2= 得：1-2ab1-=,且16，1+17原式221ba2ba 412121221ba221ba17+4= (當且僅當 a=b=時，等號成立)(a+)2+(b+)2的最小值是。2122521a1b1225【知識歸類點拔】在應用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等” ，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內?！揪?9】 （97 全國卷文 22 理 22）甲、乙兩地相距 s km ,

22、 汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過 c km/h ,已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例系數為 b;固定部分為 a 元。（1）把全程運輸成本 y（元）表示為速度 v（km/h）的函數，并指出這個函數的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？答案為:（1）（2）使全程運輸成本最小，當c 時，行駛速度 v=20sybvavcvba；當c 時，行駛速度 v=c。baba【易錯點 10】在涉及指對型函數的單調性有關問題時，沒有根據性質進行分類討論的意識和易忽略對數函數的真數的限制條件。例 10、是否存在

23、實數 a 使函數在上是增函數？若存在求出 a 的值，若不存在， 2logaxxaf x2,4說明理由?！疽族e點分析】本題主要考查對數函數的單調性及復合函數的單調性判斷方法，在解題過程中易忽略對數函數的真數大于零這個限制條件而導致 a 的范圍擴大。解析：函數是由和復合而成的，根據復合函數的單調性的判斷方 f x 2xaxx logxay法（1）當 a1 時，若使在上是增函數，則在上是增函 2logaxxaf x2,4 2xaxx2,4數且大于零。故有解得 a1。 （2）當 a1 使得函數在上是增函數 2logaxxaf x2,4【知識歸類點拔】要熟練掌握常用初等函數的單調性如：一次函數的單調性取

24、決于一次項系數的符號，二次函數的單調性決定于二次項系數的符號及對稱軸的位置，指數函數、對數函數的單調性決定于其底數的范圍（大于 1 還是小于 1） ，特別在解決涉及指、對復合函數的單調性問題時要樹立分類討論的數學思想（對數型函數還要注意定義域的限制） 。【練 10】 （1） （黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設，且試求函數的的單調0a 1a 2log 43ayxx區(qū)間。答案：當，函數在上單調遞減在上單調遞增當函數在上單01a31,23,421a 31,2調遞增在上單調遞減。3,42（2） （2005 高考天津）若函數在區(qū)間內單調遞增，則 3log0,1af xxaxaa1(,0)2的取值范圍是（）A、

25、B、 C、 D、a1 ,1)43 ,1)49( ,)49(1, )4答案：B.（記，則當時，要使得是增函數，則需有 3g xxax 23gxxa1a f x恒成立，所以.矛盾.排除 C、D 當時，要使是函數，則需有 0gx 213324a01a f x恒成立，所以.排除 A） 0gx 213324a【易錯點 11】 用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性例 11、已知求的最大值1sinsin3xy2sincosyx【易錯點分析】此題學生都能通過條件將問題轉化為關于的函數，進而利用換1sinsin3xysin x元的思想令將問題變?yōu)殛P于 t 的二次函數最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價性而造

26、成sintx錯解，解析：由已知條件有且（結合）得1sinsin3yx1sinsin1,13yx sin1,1x ，而=令2sin13x2sincosyx1sin3x2cos x22sinsin3xx則原式=根據二次函數配方得：當即2sin13txt222133ttt 23t 10時，原式取得最大值。2sin3x 49【知識點歸類點拔】“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數學素質的核心就是提高學生對數學思想方法的認識和運用，數學素質的綜合體現就是“能力”，解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，

27、理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化?！揪?11】 （1） （高考變式題）設a0，000 求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值2和最小值。答案：f(x)的最小值為2a 2a，最大值為22121202222 212222()()aaaa（2）不等式ax的解集是(4,b)，則a_，b_。x32答案：（提示令換元原不

28、等式變?yōu)殛P于 t 的一元二次不等式的解集為）1,368abxt2, b【易錯點 12】已知求時, 易忽略 n的情況nSna例 12、 （2005 高考北京卷）數列前 n 項和且。 （1）求的值及數 nans1111,3nnaas234,a a a列的通項公式。 na【易錯點分析】此題在應用與的關系時誤認為對于任意 n 值都成立，忽略了對 n=1nsna1nnnass的情況的驗證。易得出數列為等比數列的錯誤結論。 na解析：易求得。由得故2341416,3927aaa1111,3nnaas1123nnasn得又，故該數列從111112333nnnnnaassan1423nnaan11a 213a

29、 第二項開始為等比數列故。2111 423 3nnnan 【知識點歸類點拔】對于數列與之間有如下關系：利用兩者之間的關系nans1112nnnsnassn可以已知求。但注意只有在當適合時兩者才可以合并否則要寫分段函nsna1a12nnnassn11數的形式?！揪?12】 （2004 全國理）已知數列滿足 na則數列的通項為 。112311,2312nnaaaaanan na答案：（將條件右端視為數列的前 n-1 項和利用公式法解答即可）nna11!22nnann【易錯點 13】利用函數知識求解數列的最大項及前 n 項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數集或其子集（從 1 開始）例 13、等差數

30、列的首項，前 n 項和，當時，。問 n 為何值時最大? na10a nslmmlssns【易錯點分析】等差數列的前 n 項和是關于 n 的二次函數，可將問題轉化為求解關于 n 的二次函數的最大值，但易忘記此二次函數的定義域為正整數集這個限制條件。解析：由題意知=此函數是以 n 為變量的二次函ns 2111222n nddf nnadnan數，因為，當時，故即此二次函數開口向下，故由得當10a lmmlss0d f lf m時取得最大值，但由于，故若為偶數，當時，最大。2lmx f xnNlm2lmnns當為奇數時，當時最大。lm12lmnns【知識點歸類點拔】數列的通項公式及前 n 項和公式都

31、可視為定義域為正整數集或其子集（從 1 開始）上的函數，因此在解題過程中要樹立函數思想及觀點應用函數知識解決問題。特別的等差數列的前 n 項和公式是關于 n 的二次函數且沒有常數項，反之滿足形如所對應的數列也必然是等差數列的2nsanbn前 n 項和。此時由知數列中的點是同一直線上，這也是一個很重要的結論。此外nsanbn,nsnn形如前 n 項和所對應的數列必為一等比數列的前 n 項和。nnscac【練 13】 （2001 全國高考題）設是等差數列，是前 n 項和，且，則下 nans56ss678sss列結論錯誤的是（）A、B、C、 D、和均為的最大值。0d 70a 95ss6s7sns答案

32、：C（提示利用二次函數的知識得等差數列前 n 項和關于 n 的二次函數的對稱軸再結合單調性解答）【易錯點 14】解答數列問題時沒有結合等差、等比數列的性質解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。例 14、已知關于的方程和的四個根組成首項為的等差數列，求230 xxa230 xxb34的值。ab【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結合等差數列的性質明確等差數列中的項是如何排列的。12解析：不妨設是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數列的性質知方程34230 xxa的另一根是此等差數列的第四項，而方程的兩根是等差數列的中間230 xxa230 xxb兩項，根據等差數列知識易知此等

33、差數列為：故從而=。3 5 7 9,4 4, 4 42735,1616abab318【知識點歸類點拔】等差數列和等比數列的性質是數列知識的一個重要方面，有解題中充分運用數列的性質往往起到事半功倍的效果。例如對于等差數列，若，則； naqpmnqpmnaaaa對于等比數列，若，則；若數列是等比數列，是其前 n navumnvumnaaaa nanS項的和，那么，成等比數列；若數列是等差數列，是其前*Nk kSkkSS2kkSS23 nanSn 項的和，那么，成等差數列等性質要熟練和靈活應用。*Nk kSkkSS2kkSS23【練 14】 （2003 全國理天津理）已知方程和的四個根組成一個首項2

34、20 xxm220 xxn為的等差數列，則=（） A、1 B、 C、 D、14mn341238答案：C【易錯點 15】用等比數列求和公式求和時，易忽略公比的情況例 15、數列中，數列是公比為（）的等比數列。na11a22a1nnaaq0q（I）求使成立的的取值范圍；（II）求數列的前項的和32211nnnnnnaaaaaaqnan2nS2【易錯點分析】對于等比數列的前 n 項和易忽略公比 q=1 的特殊情況，造成概念性錯誤。再者學生沒有從定義出發(fā)研究條件數列是公比為（）的等比數列得到數列奇數項和偶數項成等比數1nnaaq0q列而找不到解題突破口。使思維受阻。解：（I）數列是公比為的等比數列，1

35、nnaaqqaaaannnn121，由得2132qaaaannnn32211nnnnnnaaaaaa，即（） ，解得221111qqqaaqaaaannnnnn012 qq0q2510 q（II）由數列是公比為的等比數列，得，這表明數列1nnaaqqaaqaaaannnnnn212113的所有奇數項成等比數列，所有偶數項成等比數列，且公比都是，又，當naq11a22a時，1qnS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaa，當時，qqqqaqqannn1)1 (31)1 (1)1 (211qnS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaa

36、aan3)2222() 1111 (【知識點歸類點拔】本題中拆成的兩個數列都是等比數列，其中是解題的關鍵，這種給出數列qaann2的形式值得關注。另外，不要以為奇數項、偶數項都成等比數列，且公比相等，就是整個數列成等比數列，解題時要慎重，寫出數列的前幾項進行觀察就得出正確結論.對等比數列的求和一定要注意其公比為 1 這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設計陷阱使考生產生對現而不全的錯誤。【練 15】 （2005 高考全國卷一第一問）設等比數列的公比為 q，前 n 項和（1）求 q 的取值 na0ns 范圍。答案： 1,00,【易錯點 16】在數列求和中對求一等差數列與一等比數列的積構成的數列

37、的前 n 項和不會采用錯項相減法或解答結果不到位。例 16、 （2003 北京理）已知數列是等差數列，且 na11232,12aaaa（1）求數列的通項公式（2）令求數列前項和的公式。 nannnba xxR nb【思維分析】本題根據條件確定數列的通項公式再由數列的通項公式分析可知數列是一 na nb nb個等差數列和一個等比數列構成的“差比數列” ，可用錯項相減的方法求和。解析：（1）易求得2nan（2）由（1）得令（）則2nnbnxns 232462nxxxnx（）用（）減去（） （注意錯過一位再相減）得23124212nnnxsxxnxnx當當231122222nnnx sxxxxnx1

38、x 11211nnnxxsnxxx14時1x 24621nsnn n綜上可得：當當時1x 11211nnnxxsnxxx1x 24621nsnn n【知識點歸類點拔】一般情況下對于數列有其中數列和分別為等差數列和 ncnnnca b na nb等比數列，則其前 n 項和可通過在原數列的每一項的基礎上都乘上等比數列的公比再錯過一項相減的方法來求解，實際上課本上等比數列的求和公式就是這種情況的特例?！揪?16】 （2005 全國卷一理）已知1221nnnnnnuaabababb當時，求數列的前 n 項和,0,0nNabab nans答案：時當時.1a 21221221nnnnanaaasa1a 3

39、2nn ns【易錯點 17】不能根據數列的通項的特點尋找相應的求和方法，在應用裂項求和方法時對裂項后抵消項的規(guī)律不清，導致多項或少項。例 17、求nS321121111n3211【易錯點分析】本題解答時一方面若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解題突破口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項規(guī)律不清而導致解題失誤。解：由等差數列的前項和公式得，n2) 1(321nnn，取 ，就分別得到，)111(2) 1(23211nnnnnn1233211,211,11，nS)111(2)4131(2)3121(2)211 (2nn12)111 (2nnn【知識歸類點拔】 “裂項法”有兩個

40、特點，一是每個分式的分子相同；二是每項的分母都是兩個數（也可三個或更多）相乘，且這兩個數的第一個數是前一項的第二個數，如果不具備這些特點，就要進行轉化。同是要明確消項的規(guī)律一般情況下剩余項是前后對稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項，即nn216314212112222，問題會很容易解決。另外還有一些類似“裂項法”的題目，)211(21)2(1212nnnnnn如：，求其前項和，可通過分母有理化的方法解決。數列求和的常用方法：公式11nnann法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。15【練 17】 （2005 濟南統(tǒng)考）求和121222nS1414221616

41、221)2(1)2(22nn答案：715115131131111nS1211211nn122nnn【易錯點 18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴謹的邏輯思維。例 18、 （2004 年高考數學江蘇卷，20）設無窮等差數列an的前 n 項和為 Sn.()若首項，公差，求滿足的正整數 k；1a321 d2)(2kkSS ()求所有的無窮等差數列an，使得對于一切正整數 k 都有成立.2)(2kkSS 【易錯點分析】本小題主要考查數列的基本知識，以及運用數學知識分析和解決問題的能力.學生在解第()時極易根據條件“對于一切正整數 k 都有成立”這句話將 k 取兩個特

42、殊值確定出等2)(2kkSS 差數列的首項和公差，但沒有認識到求解出的等差數列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應進一步的由特殊到一般。解：（I）當時1,231dannnnndnnnaSn21212) 1(232) 1(由，即 又.22242)21(21,)(2kkkkSSkk得0) 141(3kk4, 0kk所以（II）設數列an的公差為 d，則在中分別取 k=1,2,得2)(2nnSS211211224211)2122(2344,)()(dadaaaSSSS即由（1）得 當. 1011aa或, 60)2(,01dda或得代入時若成立,21)(, 0, 0, 0, 0

43、kknnSSSada從而則若故所得知由則216,324)( ,18),1(6, 6, 02331nnSSSnada,)(239Ss 數列不符合題意.當20,)2(64)2(,121dddda或解得得代入時若;)(, 1, 0, 1212成立從而則kknnSSnSada若.成立從而則221)(,) 12(31, 12, 2, 1nnnSSnnSnada綜上，共有 3 個滿足條件的無窮等差數列：an : an=0，即 0，0，0，；an : an=1，即 1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，【知識點歸類點拔】事實上， “條件中使得對于一切正整數 k 都有成立.”就等價于關于 k 的

44、2)(2kkSS 方程的解是一切正整數又轉化為關于 k 的方程的各項系數同時為零，于是本題也可采用這程等價轉化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗而犯下的邏輯錯誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關系?！揪?18】 （1） （2000 全國）已知數列,其中,且數列為等比數列.求常數 nc23nnnc 1nncpcp答案：p=2 或 p=3（提示可令 n=1,2,3 根據等比中項的性質建立關于 p 的方程，再說明 p 值對任意自然數n 都成立）【易錯點 19】用判別式判定方程解的個數（或交點的個數）時，易忽略討論二次項的系數是否為尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略.例 19、已知雙

45、曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點的個數224xy1yk x（1）（2）16【易錯點分析】討論直線與曲線的位置關系，一般將直線與曲線的方程聯立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個交點，但在消元后轉化為關于 x 或 y 的方程后，易忽視對方程的種類進行討論而主觀的誤認為方程就是二次方程只利用判別式解答。解析：聯立方程組消去 y 得到（1）當2214yk xxy22221240kxk xk時，即，方程為關于 x 的一次方程，此時方程組只有解，即直線與雙曲線只有一210k1k 個交點。 （2）當時即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個交22104 430kk 2 33k 點（3）當時，

46、方程組有兩個交點此時且。 （4）22104 430kk 2 32 333k1k 當時即或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。22104 430kk 2 33k 2 33k 綜上知當或時直線與雙曲線只有一個交點，當且。時1k 2 33k 2 32 333k1k 直線與雙曲線有兩個交點，當或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。2 33k 2 33k 【知識點歸類點拔】判斷直線與雙曲線的位置關系有兩種方法：一種代數方法即判斷方程組解的個數對應于直線與雙曲線的交點個數另一種方法借助于漸進線的性質利用數形結合的方法解答，并且這兩種方法的對應關系如下上題中的第一種情況對應于直線與雙曲線的漸進線平行，此時叫

47、做直線與雙曲線相交但只有一個公共點，通過這一點也說明直線與雙曲線只有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對應于直線與雙曲線相切。通過本題可以加深體會這種數與形的統(tǒng)一?！揪?19】 （1） （2005 重慶卷）已知橢圓的方程為，雙曲線的左右焦點分別為的左1c2214xy2c1c右頂點，而的左右頂點分別是的左右焦點。 （1）求雙曲線的方程（2）若直線與2c1c:2lykx橢圓及雙曲線恒有兩個不同的交點，且與的兩個交點 A 和 B 滿足，其中 O 為1c2c2c6lOA OB 原點，求 k 的取值范圍。答案：（1）（2）2213xy133113131,115322315 （2）

48、已知雙曲線C： ，過點P（1，1）作直線l, 使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有_條。答案：4條（可知kl存在時，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-1422yx17(1-k2)-4=0, 當4-k2=0即k=2時，有一個公共點；當k2時，由=0有，有一個切點另：當25kkl不存在時，x=1也和曲線C有一個切點綜上，共有4條滿足條件的直線）【易錯點 20】易遺忘關于和齊次式的處理方法。sincos例 20、已知，求（1）；（2）的值.2tansincossincos22cos2cos.sinsin【思維分析】將式子轉化為正切如利用可將

49、（2）式分子分母除去即可。221sincossin解：（1）；2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos (2) 222222cossincos2cossinsincos2cossinsin .324122221cossin2cossincossin2222【知識點歸類點拔】利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到） ，進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。2222(1sincossectantancot這些統(tǒng)稱為 1 的代換) 常數 “1”的種種代換有著廣泛的應用【練 20】 （2004 年湖北卷理科）已知的值.)32sin(,2, 0cos

50、2cossinsin622求答案：（原式可化為，）65 3132602tantan62223tan1tan2sin 231tan【易錯點 21】解答數列應用題，審題不嚴易將有關數列的第 n 項與數列的前 n 項和混淆導致錯誤解答。例 21、如果能將一張厚度為 0.05mm的報紙對拆,再對拆.對拆 50 次后,報紙的厚度是多少?你相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎?(已知地球與月球的距離約為米)84 10【易錯點分析】對拆 50 次后,報紙的厚度應理解一等比數列的第 n 項,易誤理解為是比等比數列的前 n 項和。解析：對拆一次厚度增加為原來的一倍，設每次對拆厚度構成數列，則數列是以

51、nana米為首項，公比為 2 的等比數列。從而對拆 50 次后紙的厚度是此等比數列的第 51 項，31a =0.05 10利用等比數列的通項公式易得a51=0.0510-3250=5.631010,而地球和月球間的距離為41080，所以.猜測：當且僅當，*nN10abcx1abxc1xabab且時，每年年初魚群的總量保持不變.cbax1 （）若 b 的值使得0，由 知 , 特nx*nN13nnnxxbx03nxb*nN別地，有. 即，而(0, 2)，所以，由此猜測 b 的最103xb103bx1x 1 , 0(b大允許值是 1. 下證 當(0, 2) ，b=1 時，都有(0, 2), 。 當

52、n=1 時，結論顯1xnx*nN然成立.假設當 n=k 時結論成立，即(0, 2),則當 n=k+1 時，.又因kx120kkkxxx為.所以(0, 2)，故當 n=k+1 時結論也成立.2121112kkkkxxxx 1kx由、可知，對于任意的，都有(0,2).綜上所述，為保證對任意(0, 2), 都有*nNnx1x0， ，則捕撈強度 b 的最大允許值是 1.nx*nN【知識點歸類點拔】歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分對象具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數學推理論證中是不

53、允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結論來。數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在 n1(或 n )時成立，這是遞0推的基礎；第二步是假設在 nk 時命題成立，再證明 nk1 時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數（或 nn 且 nN）結論都0正確” 。由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬于完全歸納.運

54、用數學歸納法證明問題時，關鍵是 nk1 時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題。運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數 n 有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等?！揪?34】 （2005 年全國卷統(tǒng)一考試理科數學）（）設函數，求的最小值；) 10( )1 (log)1 (log)(22xxxxxxf)(xf（）設正數滿足，證明npppp2321,12321nppppnppppppppnn222323222121loglogloglog32答案：（）（

55、）用數學歸納法證明。112f （2） （2005 高考遼寧）已知函數設數列滿足，).1(13)(xxxxfna)(, 111nnafaa數列滿足nb).(|,3|*21NnbbbSabnnnn （）用數學歸納法證明； （）證明12) 13(nnnb.332nS【易錯點 35】涉及向量的有關概念、運算律的理解與應用。易產生概念性錯誤。例 35、下列命題：|=|若則422|)()(aaabcacba)()(abababb ,c，則存在唯一實數 ，使若，且，則設acababcbcacoba 是平面內兩向量，則對于平面內任何一向量，都存在唯一一組實數x、y，使21,eea成立。若|+|=|則=0。=0

56、，則=或=真命題個數21eyexaa babababa 0b 0為（ ）A1B2C3D3 個以上【易錯點分析】共線向量、向量的數乘、向量的數量積的定義及性質和運算法則等是向量一章中正確應用向量知識解決有關問題的前提，在這里學生極易將向量的運算與實數的運算等同起來，如認為向量的數量積的運算和實數一樣滿足交換律產生一些錯誤的結論。解析：正確。根據向量模的計算判斷。錯誤，向量的數量積的運算不滿足交換律,這是2aaa因為根據數量積和數乘的定義表示和向量共線的向量，同理表示和向量共線的()a cb b()a bc c向量，顯然向量和向量不一定是共線向量，故不一定成立。錯誤。應為bc()()a bca c

57、b 錯誤。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有傳遞性。 錯誤。應加aba b 條件“非零向量”錯誤。向量不滿足消去律。根據數量的幾何意義，只需向量和向量在向量abb方向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無數多個。錯誤。注意平面向量的基本定理的前提c有向量是不共線的向量即一組基底。正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對角線相21,ee等，即四邊形為矩形。故=0。錯誤。只需兩向量垂直即可。ab答案：B【知識點歸類點拔】在利用向量的有關概念及運算律判斷或解題時，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據向量的運算律解答，要明確向量的運算和實數的運算的相同和不同之處。一般地已知3

58、3， 和實數 ，則向量的數量積滿足下列運算律： (交換律)（）（）（） (數乘結合律)() (分配律)說明：（1）一般地，()（） （2），0（3）有如下常用性質：， （） （），()【練 35】 （1） （2002 上海春，13）若a、b、c為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是（ ）A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）c=ac+bc C.m（a+b）=ma+mb D.（ab）c=a（bc）（2）(2000 江西、山西、天津理，4)設a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（ab）c（ca）b=0 |a|b|0 的的aOAOB , fxxfxx取值范圍.答案：，()4

59、,2()43,2(xkZ【易錯點 42】向量與解析幾何的交匯例 42、 （03 年新課程高考）已知常數a0，向量c=（0，a） ，i=（1，0） ，經過原點 O 以c+i為方向向量的直線與經過定點A（0，a）以i2c為方向向量的直線相交于點P，其中R.試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.【易錯點分析】此題綜合程度較高，一方面學生對題意的理解如對方向向量的概念的理解有誤，另一面在向量的問題情景下不能很好的結合圓錐曲線的定義來解答，使思維陷入僵局。解析：根據題設條件，首先求出點 P 坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得

60、點 P 到兩定點距離的和為定值.i=（1，0） ，c=（0，a） ， c+i=（，a） ，i2c=（1，2a）因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .消去參數 ，得點的坐標滿足axy axay2),(yxP方程.整理得 因為所以得：（i）當時，222)(xaayy. 1)2()2(81222aayx, 0a22a方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點 E 和 F；（ii）當時，方程表示橢圓，焦點220 a和為合乎題意的兩個定點；（iii）當時，方程也表示橢)2,2121(2aaE)2,2121(2aaF22a圓，焦點和為合乎題意的兩個定點.)21(21, 0(2aaE)21(21, 0(2aaF