初高中數(shù)學銜接教案

1、第一講 數(shù)與式1.1 數(shù)與式的運算1 .1.1,絕對值絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕 對值仍是零.即絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：a b表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.練 習2 .填空：(1)若 x 5,貝 1 x=；若 x 4 ,貝1 x=.(2)如果 a b 5,且 a 1J!Jb=；若1 c 2JiJc=.3 .選擇題：下列敘述正確的是()(A)若 ab,則 a b(B)若 ab ,則 ab(C)若 ab,貝1J a b(D)若 ab,則 a b4 .化簡：|x-5|- |2

2、x-13| (x>5).1.1.2.乘法公式(1)平方差公式(ab)(a b) a2b2；(2)完全平方公式(a b)2 a2 2ab我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：b2.(1)立方和公式(ab)(a2 ab b2)a3 b3;(2)立方差公式(ab)(a2 ab b2)3.3a b ;(3)三數(shù)和平方公式(ab c)2 a2b22c 2(ab bc ac);(4)兩數(shù)和立方公式(ab)3 a3 3a2b3ab2 b3 ;(5)兩數(shù)差立方公式(ab)3 a3 3a2b3ab2 b3 .對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明.我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：例 1

3、 計算：(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2例2 已知a b c練 習1.填空：(1)- a2 - b2 ( b942，,、2(2) (4m)22(3) (a 2b c) a2.選擇題：4, ab bc ac1、-a)316m24mx 1).4 ,求 a2);)；b2 c2的值.224b c ().21(1)右x mx k是一個完全平萬式，則 k等于 221212(D) m216(A)m(B) -m(C) - m(2)不論a , b為何實數(shù),(A)總是正數(shù)(C)可以是零22a b 2a 4b 8 的值(B)總是負數(shù)(D)可以是正數(shù)也可以是負數(shù)1.1.3. 二次根式一般地，形如后(a 0)

4、的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡 方的式子稱為無理式.例如3a后2b 2b , Va2b2等是無理式，而V2x2x 1 ,x2/xy y2, 702等是有理式.1 .分母(子)有理化把分母(子)中的根號化去，叫做 分母(子)有理化.為了進行分母(子)有理化，需 要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根 式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如逝與我 , 3n與 ,曲娓與石6e,2733質(zhì)與2百3衣，等等. 一般地，aVx與& ,aTxbjy與aa bQ , ax/x b與aTx b互為有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子

5、都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過 程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要 運用公式石聲 畫a 0,b 0);而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然 后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ) 上去括號與合并同類二次根式.2 .二次根式Ja2的意義例1將下列式子化為最簡二次根式：(1) 712b;(2)出吊(a 0)；(3) J4x6y(x 0).例 2 計算：73 (3 73).例3試比較下列各組數(shù)的大小：(1)屈如和布加；(2

6、) =2和2我一展.,6 4例4化簡：(百 揚2004 (內(nèi)72) 2005.例 5 化簡：(1)。9 4/5;(2) Jx2 口 2(0 x 1).例6已知x 率一£,y 埠!，求3x2 5xy 3y2的值. 3232練 習1 .填空：(1) $;1 .3(2)若 7(5x)(x3)2(x 3)J5x,則 x 的取值范圍是 _=；(3) 4后 6屈 3屈 27150 ；/、代 r 5 x 1 x 1(4)若X 匚，則J 一 J2, x 1 x 1、,x 1 x 1,x1x-12.選擇題:等式(A)遮成立的條件是x 2（B） x 0(C) X 2(D) 0 X3.若b1一&

7、a ，求 a b 的值.a 14.比較大小：2電率幣（填稅“，或Z"）.1.1.4 ,分式1.分式的意義形如A的式子，若B中含有字母，且B 0,則稱公為分式. BB當MWO時,分式：具有卜列性質(zhì):上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).2,繁分式a像_ cm n p2m這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.n P 5x 4 x(x 2)解得A 2,B(D試證:Bx 23.1,求常數(shù)A,B的值.(2)計算:n(n 1)1_1 2 2（其中n是正整數(shù)）；11；9 10證明:對任意大于1的正整數(shù)n,n(n 1) 2且 e> 1, 2c25ac+ 2a2=0,求e的值.練習1.填空題:對

8、任意的正整數(shù)n,1n(n 2)11(-);n n 22.選擇題:代 2x y 2 x右y _ ,則一=x y 3 y(D)/ 、, 、5(A) 1(B) 423.正數(shù)x, y滿足x4.計算1 .解不等式： x 1 3；(3) x 1x 12x y .y 2xy ,求的值.x y11 .3 499 100習題1 .(2) x 36.2 .已知x y 1,求x3 y3 3xy的值.3.填空：(1) (2 痣)18(2 點)19=；(2)若7(1 a)2 J(1 a)2 2 ,則a的取值范圍是 ；11111(3) ：1 12、2.3、3,4、4.5.5,61. 2分解因式因式分解的主要方法有：十字相

9、乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還 應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法.1 .十字相乘法例1分解因式：(1) x2-3x+2;(2) x2+4x12;22(3) x (a b)xy aby ;(4) xy 1 x y .解：(1)如圖1. 21,將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成-1與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為一3x,就是x2-3x+ 2中的一次項，所以，有x2-3x+ 2=(x1)(x 2).圖 1. 2 4by說明:x冷變在分解與本例類覬”次主項式時1漢沖接解圖 來表示(如圖6、2二2所示)1_216(2)而 3 2123,得圖 1 2_ 2圖 1

10、, 2-3x2 + 4x- 12= (x 2)(x+6).(3)由圖1. 24,得22x (a b)xy aby = (x ay)(x by)(4) xy 1 x y =xy+ (x y) 1= (x1) (y+1)(如圖 1. 2-5 所示)2 .提取公因式法與分組分解法例2分解因式：(1) x3 9 3x2 3x ;(2) 2x2 xy y2 4x 5y 6.2222(2) 2xxy y 4x 5y 6 = 2x (y 4)x y5y 6= 2x2 (y 4)x (y 2)(y 3) = (2x y 2)(x y 3).或2 2 2 2、2x xy y 4x 5y 6 = (2x xy y

11、 ) (4x 5y) 6= (2x y)(x y) (4x 5y) 6= (2x y 2)(x y 3).3 .關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c(a喇的因式分解.若關(guān)于x的方程ax2 bx c 0(a 0)的兩個實數(shù)根是x1、x2 ,則二次三項式 ax2 bx c(a 0)就可分解為 a(x x1)(x x2).例3把下列關(guān)于x的二次多項式分解因式：(1) x2 2x 1;(2) x2 4xy 4y2.練 習1 .選擇題：多項式2x2 xy 15y2的一個因式為()(A) 2x 5y (B) x 3y (C) x 3y(D) x 5y2 .分解因式：(1) x2+6x+ 8;(2) 8a3b

12、3;(3) x22x 1；(4) 4(x y 1) y(y 2x).習題1. 21.分解因式：3. 42 一(1) a 1； 4x 13x9；2222(3) b c 2ab 2ac 2bc ；(4) 3x 5xy 2y x 9y 4.2.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：(1) x2 5x 3 ；(2)x22>/2x3；22222(3) 3x 4xyy ；(4)(x2x)7(x2x) 12 .2. 223 . ABC三邊a, b, c滿足ab c ab bc ca ,試判定 ABC的形狀.4 .分解因式：x2+x (a2 a).第二講函數(shù)與方程我們知道，對于一元二次方程( b、(x 丁)2a,2b

13、4ac4a22.1 一元二次方程ax2+bx+ c=0 （a為），用配方法可以將其變形為因為a為，所以，4a2>0.于是(1)當b24ac>0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù) 根b b2 4acX1, 2-；2a(2)當b24ac= 0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根 b X1 =X2=；2a(3)當b24ac<0時，方程的右端是一個負數(shù)，而方程的左邊 (x E)2 一定大于 2a或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根.由此可知，一元二次方程 ax2+bx+ c= 0 (a為)的根的情況可以由b2 4ac來判定，我 們把b24ac叫做一元二次

14、方程ax2+bx+ c=0 (a冷)的根的判別式，通常用符號”反表 示.綜上所述，對于一元二次方程ax2+bx+c=0 (aO),有(1)當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根b . b2 4acx1 2-；2a(2)當A= 0時，方程有兩個相等的實數(shù)根b x1 = x2=；2a(3)當A<0時，方程沒有實數(shù)根.例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實數(shù)根，寫出 方程的實數(shù)根.(1) x2-3x+ 3=0;(2) x2 ax 1 = 0;(3) x2-ax+ (a1) = 0；(4) x22x+a = 0.說明：在第3, 4小題中，方程的根的判別式的符號隨著

15、a的取值的變化而變化，于是， 在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做 分類討論.分類討論這一思想 方法是高中數(shù)學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問 題.2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)若一元二次方程ax2+bx+c=0 (a為)有兩個實數(shù)根b . b2 4ac2ax2b . b2 4ac2a則有x1x2xx2所以,bb2 4ac2abb2 4ac b2abb2 4ac2ab2 4ac2ab22b2a(b24a2a4ac)4ac c一4a a次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系:bc 、如果ax2+bx + c=0 (a加)的兩根分別是 xi, X2

16、,那么xi + x2= - , xi x2=.這一 aa關(guān)系也被稱為韋達定理.特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+ q=0,若xi, x2是其兩根，由韋 達定理可知xi + x2= p, xix2=q,即p= (xi + x2), q = xix2,所以，方程 x2+px+ q = 0可化為x2 (xi + x2)x+xi x2 = 0,由于xi, x2是一元二次方程 x2+px+q = 0的兩根，所以，xi, x2也是一元二次方程x2(xi + x2)x+ xix2=0.因此有以兩個數(shù)xi, x2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為i)是2x (xi + x2)x + xi x2

17、= 0.例2已知方程5x2 kx 6 0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.例3已知關(guān)于x的方程x2+2(m2)x+m2+4 = 0有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大2i,求m的值.例4已知兩個數(shù)的和為4,積為一i2,求這兩個數(shù).例5 若xi和x2分別是一兀二次方程2x2+5x3=0的兩根.(i)求| xi 刈的值;i i(2)求 的值；xi x2(3) xi3+x23.例6若關(guān)于x的一元二次方程練 習i .選擇題：(i)方程 x2 2 , 3kx 3k2x2x+a4=0的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)0的根的情況是a的取值范圍.(A)有一個實數(shù)根(C)有兩個相等的實數(shù)根

18、(B)有兩個不相等的實數(shù)根(D)沒有實數(shù)根(2)若關(guān)于x的方程mx2 +( ) i(A) m< 一4一i 口C(C) mv ，且 mw 042.填空：(2m+i)x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)- i(B) m>4ii L 。(D) m>,且 mw 0)m的取值范圍是i i(i)右方程 W3xi = 0的兩根分別是 xi和x2,則 一 =xi x2(2) 方程 mx2+x 2m = 0 (mwQ)的根的情況是 .(3)以一3和i為根的一元二次方程是 .3.已知Ja2 8a i6 |b i| 0,當k取何值時，方程kx2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根?4,已知方程x2

19、3xi= 0的兩根為xi和x2,求(xi3)( x23)的值.習題2.ii.選擇題：(i)已知關(guān)于x的方程x2+kx2=0的一個根是i,則它的另一個根是()(A) 3(B) 3(C) -2(D) 2(2)下列四個說法：方程x2+2x7 = 0的兩根之和為2,兩根之積為7;方程x22x+7 = 0的兩根之和為2,兩根之積為7;方程3 x27= 0的兩根之和為0,兩根之積為 ；3方程3 x2+2x= 0的兩根之和為一 2,兩根之積為0.其中正確說法的個數(shù)是()(A) 1 個(B) 2 個(C) 3 個(D) 4 個(3)關(guān)于x的一元二次方程 ax25x+ a2+a=0的一個根是0,則a的值是()(

20、A) 0(B) 1(C) T(D) 0,或12 .填空：(1)方程kx2+ 4x 1 = 0的兩根之和為一 2,則k =.(2)方程2x2x4 = 0的兩根為a, &則02+伊=.(3)已知關(guān)于x的方程x2ax3a =0的一個根是一2,則它的另一個根是(4)方程 2x2+2x 1 = 0 的兩根為 x1和 x2,則 | x1一x2|=.3 .試判定當 m取何值時，關(guān)于 x的一元二次方程 m2x2(2m+1) x+1 = 0有兩個不相等的實數(shù)根？有兩 個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？4 .求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2-7x-1 = 0各根的相反數(shù).2. 2二次函數(shù)2.2.1二

21、次函數(shù)y=ax2+ bx+c的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)v= ax2(a毛)的圖象可以由v= x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?a倍得到.在 二次函數(shù)v= ax2(a為)中，二次項系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口 的大小.二次函數(shù)y=a(x+h)2+k(a冷)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且 h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且k正上移，k負下移”.由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y = ax2 + bx + c(a毛)的圖象的方法:由于 y=ax2 + bx+ c= a(x2+ bx) + c= a(x2 +

22、 bx +a2/ b、2 b 4aca(x ),2a 4a為+ c4ab24a2a所以，y=ax2+bx+ c(a冷)的圖象可以看作是將函數(shù) y= ax2的圖象作左右平移、上下平 移得到的，于是，二次函數(shù) y=ax2+bx+ c(a為)具有下列性質(zhì)：(1)當a>0時，函數(shù)y = ax2+bx + c圖象開口向上；頂點坐標為,b 4ac b2、( ,),對稱軸為直線 x2a 4a旦；當x<2a函數(shù)取最小值y =-b-時，y隨著x的增大而減小；當 x> -b時，y2a2a4ac b2 .4ab隨著x的增大而增大；當 x= 時, 2ab 4ac b2、(一,)，對稱軸為直線 x2a

23、 4ab 隨著x的增大而減?。划?x= 時,(2)當a<0時，函數(shù)y = ax2+bx +c圖象開口向下；頂點坐標為當x< -'時，y隨著x的增大而增大；當 x> -'時，y 2a2a2a- 4ac b2函數(shù)取最大值y=b .4a例1求二次函數(shù)y=3x2 6x+ 1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、 最大值(或最 小值)，并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大(或減小)？并畫出該函數(shù)的圖象.例2把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向上平移 2個單位，再向左平移 4個單位，得到函數(shù) y=x2的圖像, 求b, c的值.例3 已知函數(shù)y=x2, 2<xa,其中a

24、> 2,求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最 小值時所對應(yīng)的自變量 x的值.練 習(1)下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標軸上的是(A) y=2x2(B) y=2x2-4x+2(C) y= 2x21(D) y=2x24x(2)函數(shù) y=2(x1)2 + 2 是將函數(shù) y= 2x2(A)向左平移1個單位、 (B)向右平移2個單位、 (C)向下平移2個單位、 (D)向上平移2個單位、2.填空題再向上平移2個單位得到的再向上平移 1個單位得到的再向右平移 1個單位得到的再向右平移1個單位得到的(1)二次函數(shù)y=2x2mx+ n圖象的頂點坐標為(1, 2),則m=, n =.(2)已知二次

25、函數(shù)y=x2+(m-2)x-2m,當m=時，函數(shù)圖象的頂點在 y軸上；當m =時, 函數(shù)圖象的頂點在 x軸上；當m =時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點.(3)函數(shù)y=3(x + 2)2+5的圖象的開口向 ,對稱軸為 ,頂點坐標為 ; 當x=時，函數(shù)取最 值y =;當x 時，y隨著 x的增大而減小.3.求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大(小)值及 y隨x的變化情況，并畫出其圖象.(1) y= x22x3;(2) y=1 + 6 x x2.4,已知函數(shù)y=- x2-2x+3,當自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并 求當函數(shù)取最大(小)值時所對應(yīng)的自變量x的值：(1) x02;

26、 (2) xW& (3) 2 蟲wi； (4) 0 a W32.2.2二次函數(shù)的三種表示方式通過上一小節(jié)的學習，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式:1 . 一般式：y= ax2+ bx+ c(a毛)；2 .頂點式：y= a(x+ h)2+k (a為)，其中頂點坐標是(一h, k).3 .交點式：y=a(x xi) (x x2) (a)，其中xi, x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標.例1已知某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點在直線 y = x+ 1上，并且圖象經(jīng)過點(3, 1),求二次函數(shù)的解析式.例2已知二次函數(shù)的圖象過點 (一3, 0), (1, 0),且頂點到x軸的距離等

27、于2,求此二次函數(shù)的表達式.例3已知二次函數(shù)的圖象過點(一1, 22), (0, 8), (2, 8),求此二次函數(shù)的表達式.練 習1 .選擇題：(1)函數(shù)y= x2+x1圖象與x軸的交點個數(shù)是()(A) 0個(B) 1個(C) 2個(D)無法確定1(2)函數(shù)y= - 2 (x+ 1)2+2的頂點坐標是()(A) (1, 2)(B) (1, 2)(C) ( 1, 2)(D) (1, 2)2 .填空：(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(一1, 0)和(2, 0),則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=a(aw 0) .(2)二次函數(shù)y=x2+243x+1的函數(shù)圖象與x軸兩交點之間的距離為 .3 .

28、根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.(1)圖象經(jīng)過點(1, 2), (0, 3), (1, 6);(2)當x=3時，函數(shù)有最小值 5,且經(jīng)過點(1, 11);(3)函數(shù)圖象與x軸交于兩點(1 -2, 0)和(1 +虛，0),并與y軸交于(0, 2).習題2. 21 .選擇題：(1)把函數(shù)y=- (x- 1)2+4的圖象的頂點坐標是()(A) (1, 4)(B) (1, 4)(C) (1, 4)(D) (1, 4)(2)函數(shù)y= x2+4x+6的最值情況是()(A)有最大值6(B)有最小值 6(C)有最大值10(D)有最大值2(3)函數(shù)y = 2x2+4x5中，當一3<x< 2時，則y

29、值的取值范圍是()(B) 3可W 1(B) 7可 W 1(C) 7可 W 11(D) 79112 .填空：(1)已知某二次函數(shù)的圖象與x軸交于 A(-2, 0), B(1 , 0),且過點 C (2, 4),則該二次函數(shù)的表達式為.(2)已知某二次函數(shù)的圖象過點(1, 0) , (0, 3) , (1, 4),則該函數(shù)的表達式為 .3 .把已知二次函數(shù)y=2x2 + 4x+7的圖象向下平移 3個單位，在向右平移 4個單位，求所得圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式.4 .已知某二次函數(shù)圖象的頂點為A(2, 18),它與x軸兩個交點之間的距離為 6,求該二次函數(shù)的解析式.2.3方程與不等式2.3.1 二元二次方

30、程組解法方程是一個含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是 2的整式方程，這樣的方程叫做元二次方程.其中x2,2xy , y2叫做這個方程的二次項，x , y叫做一次項,6叫做常數(shù)項.我們看下面的兩個方程組：第一個方程組是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的，第二個方程組是由兩個二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組.下面我們主要來研究由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組的解法.一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來解. 例1解方程組例2解方程組練習1,下列各組中的值是不是方程訓的解？(Dx 2,y 3;(2)x 3,y 2;

31、(3)x 1,y 4;(4)2,3;2.解下列方程組:(1)(3)y x 5, 22x2y 625;22工L 1, 54y x 3;(2)(4)x y 3,xy 10;y2 2x, x2 y2 8.2.3.2一元二次不等式解法(1)當A>0時，拋物線y=ax2+bx+c (a>0)與x軸有兩個公共點(xi, 0)和(x2, 0),方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根x1和x2(x1 < x2),由圖2.3 2可知不等式ax2+bx+c>0的解為x<x1 ,或 x>x2；不等式ax2+ bx+c<0的解為x1 <x< x2 .(2)當

32、A= 0時，拋物線y=ax2+bx+c (a>0)與x軸有且僅有一個公共點，方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根不等式，x 二 x2 = ?,由圖2.3 2可知 2aax2+bx+c>0 的解為b不等式(3)2a ；ax2+ bx+ c< 0 無解.如果< 0,拋物線y=ax2+bx+ c (a>0)與x軸沒有公共點，方程 ax2+bx+ c0沒有實數(shù)根,由圖2.3 2可知不等式ax2+bx+ c>0的解為一切實數(shù);不等式ax2+bx+ c<0無解.例3解不等式：(1) x2+2x-3<0;(3) 4x2+4x+ 1>Q(5) -4

33、+ x-x2<0.(2) x-x2+6<0;(4) x26x+9<0;例4已知函數(shù)y= x22ax+1(a為常數(shù))在一2<x<l上的最小值為 n,試將n用a表示出來. 練 習1 .解下列不等式：(1) 3x2-x-4>0;(3) x2+3x 4>0;(2) x2-x-12<Q(4) 16-8x + x2<0.2.解關(guān)于x的不等式x2+2x+1-a2<0 (a為常數(shù)).習題2.1.解下列方程組:2x(1)(3)4x2x2 x1,y2y2 y2 0；(x x3)22yy29,0；4,2.2.解下列不等式：(1) 3x22x+1<0;

34、(3) 2x x2A 1; 3x2-4<0;(4) 4 x2< Q第三講三角形與圓3.1 相似形3.1.1. 平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例如圖 3.1-2, l1/l2/l3,有AB=里.當然，也可以得出 當 匹.在運用該定理解決問BC EF題的過程中，我們一定要注意線段之間的對應(yīng)關(guān)系，是 例 1 如圖 3.1-2, I1/I2/I3,AC DF對應(yīng)”線段成比例.且 AB = 2,BC = 3,DF = 4,求 DE , EF .例2 在VABC中,D,E為邊AB,AC上的點,DE /BC ,AD AE求證：AB ACDEBC平行于三角形的一邊的

35、直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例 平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角 形的三邊對應(yīng)成比例. AB BD例3 在VABC中，AD為DBAC的平分線，求證： =.AC DC例3的結(jié)論也稱為角平分線性質(zhì)定理，可敘述為角平分線分對邊成比例（等于該角的兩 邊之比）.練習11.如圖3.1-6, l"/l2l3,下列比例式正確的是（a adA.DFc CEC.DFCEBCADBCB.如BED”DFBCAFBECE11圖 3.1-62.如圖 3.1-7, DE / BC,EF /AB, AD = 5cm, DB = 3cm, FC = 2

36、cm,求 BF .3.如圖，在VABC中，AD是角BAC的平分線，AB=5cm,AC=47m,BC=7cm,求BD的長.圖 3.1-83.1. 2.相似形我們學過三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定兩個三角形相似？有 哪些方法可以判定兩個直角三角形相似？例6 如圖3.1-12,在直角三角形ABC中，DBAC為直角，AD人BC于D .求證：（1） AB2 = BD?BC , AC2 = CD?CB ;D2(2) AD2 = BD?CD練習21 .如圖3.1-15, D是VABC的邊AB上的一點，過 D點 質(zhì)作DEBC交AC 于 E.已知 AD: DB=2: 3,則 Svade : S

37、g邊形bcde 等于/（）A. 2:3 B, 4:9 C. 4:5 D, 4:21/、2 .若一個梯形的中位線長為15, 一條對角線把中位線門圖3.1-15分成兩條線段.這兩條線段的比是3:2,則梯形的上、下底長分別是 .3 .已知：VABC的三邊長分別是 3, 4, 5,與其相似的VA'B'C'的最大邊長是 15,求VA'B'C'的面積 Sva'b'c'.4 .已知：如圖 3.1-16,在四邊形 ABCD中，E、 分別是AB、BC、CD、DA的中點.（1）請判斷四邊形EFGH是什么四邊形，試說明 由；（2）若四邊形ABC

38、D是平行四邊形，對角線AC、 滿足什么條件時，EFGH是菱形？是正方習題3.11 .如圖 3.1-18 , VABC 中，AD=DF=FB , AE=EG=GC, FG=4,則（）A. DE=1, BC=7B, DE=2, BC=6C. DE=3, BC=5D, DE=2, BC=82.如圖 3.1-19, BD、CE是VABC 的中線，P、Q分CE的中點，則PQ:BC等于（）A. 1: 3 B. 1: 4C. 1: 5 D. 1: 6F、G、H理BD形？別是BD、3 .如圖3.1-20, Y ABCD中，E是AB延長線上一點，BC 于點 F,已知 BE: AB=2: 3, Svbef = 4

39、,求4.如圖3.1-21,在矩形 ABCD中，E是CD的中點， BE A AC交 AC 于 F,過 F 作 FG/AB 交 AE 于 G,證：AG2 = AF?FC.DE 交SVCDF .求圖 3.1-213.2 三角形3. 2. 1三角形的四心”三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點.例1求證三角形的三條中線交于一點，且被該交點分成的兩段長度之比為2: 1.已知 D、E、F分另I為VABC三邊BC、CA、AB的中點，閔323求證AD、BE、CF交于一點，且都被該點分成 2: 1.三角形的三條角平分線相交于一點，是三角形的 三

40、角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的 相等.（如圖3.2-5）例 2 已知VABC的三邊長分別為BC = a, AC = b,AB = c , I 為 VABC 的內(nèi)心，且 I 在VABC的邊BC、AC、AB上的射影分別為 D、E、F ,求證：AE = AF =.2三角形的三條高所在直線相交于一點，該點稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形的外部遇（如圖 3.2-8）例4求證：三角形的三條高交手22-8 已知 VABC中，AD人BC于D,BE人AC于E,AD與BE交于H點.求證 CH A AB.過不共線的三點A、B

41、、C有且只有一個圓， 是三角形ABC的外接圓，圓心。為三角形的外心. 形的外心到三個頂點的距離相等，是各邊的垂直 線的交點.練習11 .求證：若三角形的垂心和重心重合，求證：該 形為正三角形.2 . （1）若三角形ABC的面積為S,且三邊長分別為a b、c,則三角形的內(nèi)切圓的半徑 是；（2）若直角三角形的三邊長分別為a、B c （其中c為斜邊長），則三角形的內(nèi)切圓的 半徑是.并請說明理由.練習21 .直角三角形的三邊長為3, 4, xijx=.2 .等腰三角形有兩個內(nèi)角的和是100°,則它的頂角的大小是 3 .已知直角三角形的周長為3 J3,斜邊上的中線的長為1,求這個三角形的面積習

42、題3.2A組1 .已知：在VABC中，AB=AC, BAC 120o, AD為BC邊上的高，則下列結(jié)論中，正確的是（）A. AD ABB. AD -ABC. AD BD D. AD BD2222 .三角形三邊長分別是6、8、10,那么它最短邊上的高為（）A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 83 .如果等腰三角形底邊上的高等于腰長的一半，那么這個等腰三角形的頂角等于4 .已知：a,b,c是VABC的三條邊，a 7,b 10,那么c的取值范圍是5 .若三角形的三邊長分別為1、a、8,且a是整數(shù)，則a的值是。3. 3圓3. 3. 1直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系設(shè)有直線l和圓心為。且半徑為r的圓

43、，怎樣判斷直線l和圓O的位置關(guān)系?圖 3.3-1觀察圖3.3-1,不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當圓心到直線的距離d> r時，直線和圓相離，如圓O與直線1"當圓心到直線的距離 d = r時，直線和圓相切，如圓 O與直線12；當圓心到直線的距離d< r時，直線和圓相交，如圓O與直線13.在直線與圓相交時，設(shè)兩個交點分別為A、B.若直圓心，則AB為直徑；若直線不經(jīng)過圓心，如圖 3.3-2, 心。和弦AB的中點M的線段OM垂直于這條弦AB.且 RtVOMA中，OA為圓的半徑r , OM為圓心到直線的 d , MA為弦長AB的一半，根據(jù)勾股定理，有d2AB 2堂.當直線與圓相切時

44、，如圖3.3-3, PA,PB為圓。的切線,可得 PA PB , OA且在 RtVPOA中，過圓 離經(jīng)結(jié)線連在距22-2PO2 PA2 OA2.如圖3.3-4, PT為圓O的切線，PAB為圓O的割線，我們可以證得 VPAT : VPTB ,因而 PT2 PA PB .圖 3.3-3圖 3.3-4例1 如圖3.3-5,已知。O的半徑OB=5cm,弦AB=6cm, D是Ab的中點，求弦BD的長 度。例2已知圓的兩條平行弦的長度分別為6和2質(zhì)，J_:丁、且這兩條線的距離為3.求這個圓的半徑.°囪 75設(shè)圓Oi與圓。2半徑分別為R,r(R r),它們可能廣/有哪觀察圖3.3-7,兩圓的圓心距

45、為O1O2 ,不難發(fā)現(xiàn)：當O1O2R幾種位置關(guān)系？r時,兩圓相內(nèi)切，如圖r時，兩圓相內(nèi)含，如圖R r時，兩圓相外切,(1);當O1O2R r時，兩圓相外切，如圖(2);當O1O2R(3);當R r O1O2R r時，兩圓相交，如圖(4);當O1O2如圖(5) 例3設(shè)圓。1與圓O2的半徑分別為3和2, O1O2 4, A,B為兩圓的交點，試求兩圓的公共AB所對 的長。ABCD 的弦AB的長度.練習11 .如圖 3.3-9, OO 的半徑為 17cm,弦 AB=30cm, 的劣弧和優(yōu)弧的中點分別為 D、C,求弦AC和BD2 .已知四邊形 ABCD是。O的內(nèi)接梯形，AB/CD, AB=8cm,CD=

46、6cm, O O 的半徑等于 5cm,求梯形 面積。3 .如圖 3.3-10, OO 的直徑 AB 和弦 CD 相交于點 E, AE 1cm, EB 5cm, DEB 600,求 CD 的長。4 .若兩圓的半徑分別為3和8,圓心距為13,試求兩圓的公切線的唬底3-103. 3. 2點的軌跡在幾何中，點的軌跡就是點按照某個條件運動形成的圖形，它是符合某個條件的所有 點組成的.例如，把長度為r的線段的一個端點固定，另一個端點繞這個定點旋轉(zhuǎn)一周就得 到一個圓，這個圓上的每一個點到定點的距離都等于r；同時，到定點的距離等于r的所有點都在這個圓上.這個圓就叫做到定點的距離等于定長 r的點的軌跡.我們把符

47、合某一條件的所有的點組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都滿足條 件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上.下面，我們討論一些常見的平面內(nèi)的點的軌跡.從上面對圓的討論，可以得出：(1)到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心，定長為半徑的圓.我們學過，線段垂直平分線上的每一點，和線段兩個端點的距離相等；反過來，和線 段兩個端點的距離相等的點，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：(2)和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線.由角平分線性質(zhì)定

48、理和它的逆定理，同樣可以得到另一個軌跡：(3)到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線 .練習21 .畫圖說明滿足下列條件的點的軌跡：(1)到定點A的距離等于3cm的點的軌跡；(2)到直線l的距離等于2cm的點的軌跡；(3)已知直線ABCD,至IJAB、CD的距離相等的點的軌跡.2 .畫圖說明，到直線l的距離等于定長d的點的軌跡.習題3.31 .已知弓形弦長為 4,弓形高為1,則弓形所在圓的半徑為()A . 33B. 5 C. 3 D. 42 .在半徑等于4的圓中，垂直平分半徑的弦長為()A. 4 石 B. 3M C. 2M D,石3 . AB為。的直徑，弦 CD AB, E為垂足，

49、若BE=6, AE=4,則CD等于()A. 2后B, 476C. 8五 D, 2764.如圖 3.3-12，在。O中，E是弦AB延長線上的一點，已知OB=10cm, OE=12cm ,OEB30°,求 AB。參考答案1. (1)5;4(2)4;1111. 11a 1b 2 13222. (1) D (2) A1.(1)出 2(2) 3第一講數(shù)與式1或 32. D 3. 3x 181一(3) 4ab 2ac 4bc4x 5(3) 8&(4)4. 1.1.2.1.2.3. B4. 22 1(1) x 2或 x 413. (1) 22.“994.100習題1 . 1(2) -4&l

50、t;x<3(3) x<-3,或 x>3如 1 a 1(3) V6 11.2分解因式B(1) (x+ 2)(x + 4)(3) (x 1 、.2)( x 1 ,2)(1) a 1 a2a 1(3) b c b c 2a(D(2) (2a b)(4a2 2ab b2)(4) (2 y)(2x y 2).習題1. 2(2) 2x 3 2x 3 x 1 x 1(4) 3y y 4 x 2y 1(3) 3 x2-7yx 2-7y ;33(2) x 括x叵娓；(4) x 3 (x 1)(x 1 V5)(x 1 眄.3.1.2.3.4.等邊三角形4 . (x a 1)(x a)第二講函數(shù)與

51、方程2.1 一元二次方程練習(1) C(2) D(1) -3(2)有兩個不相等的實數(shù)根(3) x2+2x 3 = 0 k<4,且 k01 提小：(x1 3)( x2 - 3) = x1 x2 3(x1+x2)+9習題2. 11. (1) C(2) B提示：和是錯的，對于，由于方程的根的判別式A< 0,所2以方程沒有實數(shù)根；對于，其兩根之和應(yīng)為- -.3(3) C 提示：當a=0時，方程不是一元二次方程，不合題意.2. (1) 2(2) (3) 6(3) 334113 .當m> ，且m加時，方程有兩個不相等的頭數(shù)根；當 m=時，方程有兩個相等4 41 .的實數(shù)根；當m<1時，方程沒有實數(shù)根.44.設(shè)已知方程的兩根分別是 x1和x2,則所求的方程的兩根分別是 x1和: x+x2= 7, x1x2= 1, ( 一 x1)+ (一 刈二- 7 , ( x1) >( - x2)