指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、第七節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)知識(shí)能否憶起一、根式1根式的概念根式的概念符號(hào)表示備注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)零的n次方根是零當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)±(a>0)負(fù)數(shù)沒有偶次方根2兩個(gè)重要公式(1)(2)()na(注意a必須使有意義)二、有理數(shù)指數(shù)冪1冪的有關(guān)概念(1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a>0，m，nN*，且n>1)；(2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a>0，m，nN*，且n>1)；(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義2有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)(1)

2、arasars(a>0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a>0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a>0，b>0，rQ)三、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)yax(a>0，且a1)圖象0<a<1a>1圖象特征在x軸上方，過定點(diǎn)(0,1)性質(zhì)定義域R值域(0，)單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x>0時(shí)，y>1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x0時(shí)，y1小題能否全取1(教材習(xí)題改編)化簡(jiǎn)(2)6(1)0的結(jié)果為()A9B7C10 D9解析：選B原式(26

3、)17.2(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)的定義域是()A(，0 B0，)C(，0) D(，)解析：選A12x0，2x1，x0.3已知函數(shù)f(x)4ax1的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A(1,5) B(1,4)C(0,4) D(4,0)解析：選A當(dāng)x1時(shí)，f(x)5.4若函數(shù)y(a23a3)·ax是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：a23a31，a2或a1(舍)答案：25若函數(shù)y(a21)x在(，)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知0<a21<1，即1<a2<2，得<a<1或1<a<.答案：(，1)(1，)1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與

4、根式的關(guān)系：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義把根式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為冪的運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過程2指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)a按0<a<1和a>1進(jìn)行分類討論指數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值典題導(dǎo)入例1化簡(jiǎn)下列各式(其中各字母均為正數(shù))(1)；(2)0.50.1230.自主解答(1)原式a·b.(2)原式31003100.由題悟法指數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問題，要注意與其他代數(shù)式的化簡(jiǎn)規(guī)則相結(jié)合，遇到同底數(shù)冪相乘或相除，可依據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行，一般情況下，宜化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪對(duì)于化簡(jiǎn)結(jié)果，形式力求統(tǒng)一以題試法1計(jì)算：(

5、1)(0.027)2(1)0；(2)·.解：(1)原式(1)22149145.(2)原式·a·a·b·ba0·b0.指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用典題導(dǎo)入例2 (2012·四川高考)函數(shù)yaxa(a>0，且a1)的圖象可能是()自主解答法一：令yaxa0，得x1，即函數(shù)圖象必過定點(diǎn)(1,0)，符合條件的只有選項(xiàng)C.法二：當(dāng)a>1時(shí)，yaxa是由yax向下平移a個(gè)單位，且過(1,0)，排除選項(xiàng)A、B；當(dāng)0<a<1時(shí)，yaxa是由yax向下平移a個(gè)單位，因?yàn)?<a<1，故排除選項(xiàng)D.答案C由題悟法1與指

6、數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對(duì)稱變換得到其圖象2一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解以題試法2(1)(2012·北京模擬)在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y2x與yx的圖象之間的關(guān)系是()A關(guān)于y軸對(duì)稱B關(guān)于x軸對(duì)稱C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D關(guān)于直線yx對(duì)稱(2)方程2x2x的解的個(gè)數(shù)是_解析：(1)yx2x，它與函數(shù)y2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(2)方程的解可看作函數(shù)y2x和y2x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個(gè)函數(shù)圖象(如圖)由圖象得只有一個(gè)交點(diǎn)，因此該方程只有一個(gè)解答案：(1)A(2)1指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用典題導(dǎo)入例3已知函

7、數(shù)f(x)|x|a.則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_，單調(diào)遞減區(qū)間為_自主解答令t|x|a，則f(x)t，不論a取何值，t在(，0上單調(diào)遞減，在0，)上單調(diào)遞增，又yt是單調(diào)遞減的，因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0，單調(diào)遞減區(qū)間是0，)答案(，00，)在本例條件下，若f(x)的最大值等于，則a_.解析：由于f(x)的最大值是，且2，所以g(x)|x|a應(yīng)該有最小值2，從而a2.答案：2由題悟法求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸納為內(nèi)

8、層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決以題試法3(1)(2012·福州質(zhì)檢)已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，則()Aa>b>cBa>c>bCc>a>b Db>c>a(2)(2012·上海高考)已知函數(shù)f(x)e|xa|(a為常數(shù))若f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：(1)由0.2<0.6,0.4<1，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因?yàn)閍20.2>1，b0.40.2<1，所以a>b.綜上，a>b>c.(2)結(jié)合函數(shù)圖象求

9、解因?yàn)閥eu是R上的增函數(shù)，所以f(x)在1，)上單調(diào)遞增，只需u|xa|在1，)上單調(diào)遞增，由函數(shù)圖象可知a1.答案：(1)A(2)(，1典例函數(shù)yxx1在x3,2上 的值域是_ 常規(guī)解法yxx12x12，因?yàn)閤3,2，所以x8.當(dāng)x時(shí)，ymin；當(dāng)x8時(shí)，ymax57.所以函數(shù)y的值域?yàn)?答案高手支招1解答本題可利用換元法，即令tx，把函數(shù)化為yt2t1，其中t，然后求在這個(gè)閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最大值和最小值即可確定函數(shù)的值域2對(duì)于含ax、a2x的表達(dá)式，通?？梢粤顃ax進(jìn)行換元，但換元過程中一定要注意新元的范圍，換元后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元二次關(guān)系巧思妙解因?yàn)閤3,2，若令tx，則t.則y

10、t2t12.當(dāng)t時(shí)ymin；當(dāng)t8時(shí)，ymax57.答案為.針對(duì)訓(xùn)練若0<a<1，函數(shù)ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，則a的值為_解析：令tax(0<a<1)，則原函數(shù)化為y(t1)22(t>0)因?yàn)?<a<1，x1,1，所以tax，此時(shí)f(t)在上為增函數(shù)所以f(t)maxf2214.所以216，所以a或a.又因?yàn)閍>0，所以a.答案：1下列函數(shù)中值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集的是()Ay5xBy1xCy Dy解析：選B1xR，yx的值域是正實(shí)數(shù)集，y1x的值域是正實(shí)數(shù)集2已知f(x)2x2x，若f(a)3，則f(2a)等于()A5 B7C9 D11

11、解析：選B由f(a)3得2a2a3，兩邊平方得22a22a29，即22a22a7，故f(2a)7.3函數(shù)f(x)2|x1|的圖象是()解析：選Bf(x)根據(jù)分段函數(shù)即可畫出函數(shù)圖象4已知f(x)3xb(2x4，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,1)，則f(x)的值域()A9,81 B3,9C1,9 D1，)解析：選C由f(x)過定點(diǎn)(2,1)可知b2，因f(x)3x2在2,4上是增函數(shù)，可知C正確5(2012·深圳診斷)設(shè)函數(shù)f(x)a|x|(a>0，且a1)，f(2)4，則()Af(2)>f(1) Bf(1)>f(2)Cf(1)>f(2) Df(2)>f(2

12、)解析：選Af(2)4，a|2|4，a，f(x)|x|2|x|，f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x是增函數(shù)，x<0時(shí)，f(x)是減函數(shù)，f(2)>f(1)6若(2m1)>(m2m1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C(1,2) D.解析：選D因?yàn)楹瘮?shù)yx的定義域?yàn)?，)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于解2m10，得m；解m2m10，得m或m；解2m1>m2m1，即m2m2<0，得1<m<2.綜上所述，m的取值范圍是m<2.7.×08× _.解析：原式×12×22.答案：28已知正數(shù)a滿足a

13、22a30，函數(shù)f(x)ax，若實(shí)數(shù)m、n滿足f(m)>f(n)，則m、n的大小關(guān)系為_解析：a22a30，a3或a1(舍)函數(shù)f(x)ax在R上遞增，由f(m)>f(n)，得m>n.答案：m>n9若函數(shù)f(x)a|2x4|(a>0，a1)且f(1)9.則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_解析：由f(1)9得a29，a3.因此f(x)3|2x4|，又g(x)|2x4|的遞減區(qū)間為(，2，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，2答案：(，210求下列函數(shù)的定義域和值域(1)y2xx2；(2)y .解：(1)顯然定義域?yàn)镽.2xx2(x1)211，且yx為減函數(shù)2xx21.故函數(shù)y2x

14、x2的值域?yàn)?(2)由32x10，得32x132，y3x為增函數(shù)，2x12，即x，此函數(shù)的定義域?yàn)?，由上可?2x10，y0.即函數(shù)的值域?yàn)?，)11函數(shù)f(x)ax(a>0，且a1)在區(qū)間1,2上的最大值比最小值大，求a的值解：當(dāng)a>1時(shí)，f(x)ax為增函數(shù)，在x1,2上，f(x)最大f(2)a2，f(x)最小f(1)a.a2a.即a(2a3)0.a0(舍)或a>1.a.當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)ax為減函數(shù)，在x1,2上，f(x)最大f(1)a，f(x)最小f(2)a2.aa2.a(2a1)0，a0(舍)或a.a. 綜上可知，a或a.12函數(shù)ylg(34xx2

15、)的定義域?yàn)镸，當(dāng)xM時(shí)，求f(x)2x23×4x的最值解：由34xx20，得x3或x1，Mx|x3，或x1，f(x)3×(2x)22x232.x3或x1，2x8或02x2，當(dāng)2x，即xlog2時(shí)，f(x)最大，最大值為，f(x)沒有最小值1(2013·紹興一中模擬)函數(shù)f(x)a|x1|(a>0，a1)的值域?yàn)?，)，則f(4)與f(1)的關(guān)系是()Af(4)>f(1) Bf(4)f(1)Cf(4)<f(1) D不能確定解析：選A由題意知a>1，又f(4)a3，f(1)a2，由單調(diào)性知a3>a2，f(4)>f(1)2(2012

16、·衡水模擬)已知函數(shù)f(x)|2x1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是_a<0，b<0，c<0；a<0，b0，c>0；2a<2c；2a2c<2.解析：畫出函數(shù)f(x)|2x1|的圖象(如圖)，由圖象可知，a<0，b的符號(hào)不確定，c>0.故錯(cuò)；f(a)|2a1|，f(c)|2c1|，|2a1|>|2c1|，即12a>2c1，故2a2c<2，成立；又2a2c>2，2ac<1，ac<0，a>c，2a>2c，不成立答案：3已知函

17、數(shù)f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3，求a的值解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x24x3，令tx24x3，由于t(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在2，)上單調(diào)遞減，而yt在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞減，在2，)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是2，)，遞減區(qū)間是(，2)(2)令h(x)ax24x3，f(x)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)應(yīng)有最小值1，因此必有解得a1.即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值等于1.1已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式ab，下列五個(gè)關(guān)系式：0<b<a；a<b<0；0<a&l

18、t;b；b<a<0；ab其中不可能成立的關(guān)系式有()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：選B函數(shù)y1x與y2x的圖象如圖，由ab得a<b<0或0<b<a或ab0.2求函數(shù)ya2x2ax1(a>0，a1)的單調(diào)區(qū)間和值域解：y(ax1)22(a>0，a1)，設(shè)uax.y(u1)22在u1，)時(shí)是關(guān)于u的增函數(shù)，在u(，1)時(shí)是關(guān)于u的減函數(shù)，當(dāng)ax1時(shí)，原函數(shù)的單調(diào)性與uax的單調(diào)性相同；當(dāng)ax<1時(shí)，原函數(shù)的單調(diào)性與uax的單調(diào)性相反若a>1，ax1x0；ax<1x<0，在0，)上，函數(shù)ya2x2ax1是增函數(shù)；在(，0)上

19、，函數(shù)ya2x2ax1是減函數(shù)若0<a<1，ax1x0；ax<1x>0，在(0，)上，函數(shù)ya2x2ax1是增函數(shù)；在(，0上，函數(shù)ya2x2ax1是減函數(shù)ax>0，函數(shù)值域是2，)第八節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)能否憶起1對(duì)數(shù)的概念(1)對(duì)數(shù)的定義：如果axN(a>0且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)當(dāng)a10時(shí)叫常用對(duì)數(shù)記作xlg_N，當(dāng)ae時(shí)叫自然對(duì)數(shù)，記作xln_N.(2)對(duì)數(shù)的常用關(guān)系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：loga10.logaa1.對(duì)數(shù)恒等式：alogaNN.換底公式：logab.推

20、廣logab，logab·logbc·logcdlogad.(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：如果a>0，且a1，M >0，N>0，那么：loga(M·N)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；log amMnlogaM.2對(duì)數(shù)函數(shù)的概念(1)把ylogax(a>0，a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，)(2)函數(shù)ylogax(a>0，a1)是指數(shù)函數(shù)yax的反函數(shù)，函數(shù)yax與ylogax(a>0，a1)的圖象關(guān)于yx對(duì)稱3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)ylogaxa>10&

21、lt;a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，)值域：R過點(diǎn)(1,0)，即x1時(shí)，y0當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)小題能否全取1(教材習(xí)題改編)設(shè)Ay|ylog2x，x>1，B，則AB為()A.B.C. D(0,2)解析：選CAy|y>0，B，AB.2函數(shù)yloga(3x2)(a>0，a1)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)A，則A點(diǎn)坐標(biāo)是()A. B.C(1,0) D(0,1)解析：選C當(dāng)x1時(shí)y0.3函數(shù)ylg |x|()A是偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)

22、上單調(diào)遞增B是偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減C是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減D是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增解析：選Bylg |x|是偶函數(shù)，由圖象知在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增4(2012·江蘇高考)函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)開解析：由12log6x0，解得log6x0x，故所求定義域?yàn)?0， 答案：(0， 5(2012·北京高考)已知函數(shù)f(x)lg x，若f(ab)1，則f(a2)f(b2)_.解析：由f(ab)1得ab10，于是f(a2)f(b2)lg a2lg b22(lg alg b)2lg(ab)2lg 102.答案：21.在運(yùn)用性質(zhì)lo

23、gaMnnlogaM時(shí)，要特別注意條件，在無M>0的條件下應(yīng)為logaMnnloga|M|(nN*，且n為偶數(shù)) 2對(duì)數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律： 當(dāng)a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1時(shí)，logab>0； 當(dāng)a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1時(shí)，logab<0. 3對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性： 在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須大于0，所以對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應(yīng)為x|x>0對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和a的值有關(guān)，因而，在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要按0<a<1和a>1進(jìn)行分類討論對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求

24、值典題導(dǎo)入例1求解下列各題(1)lg lglg_；(2)若2a5bm，且2，則m_.自主解答(1)lg lglg×(5lg 22lg 7)×lg 2(lg 52lg 7)lg 2lg 72lg 2lg 5lg 7lg 2lg 5lg(2×5).(2)由2a5bm得alog2m，blog5m，logm2logm5logm10.2，logm102，即m210.解得m(m>0)答案(1)(2)由題悟法對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值的常用思路(1)先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)

25、的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算以題試法1化簡(jiǎn)：(1)lglg 70lg 3；(2)345×211.解：(1)原式lglg 101|lg 31|lg 3.(2)原式3210×211321.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用典題導(dǎo)入例2(1)(2012·煙臺(tái)調(diào)研)函數(shù)yln(1x)的圖象大致為()(2)(2012·新課標(biāo)全國(guó)卷)當(dāng)0<x時(shí)，4x<logax，則a的取值范圍是()A.B.C(1，) D(，2)自主解答(1)由1x>0，知x<1，排除選項(xiàng)A、B；設(shè)t1x(x<1)，因?yàn)閠1x為減函

26、數(shù)，而yln t為增函數(shù)，所以yln(1x)為減函數(shù)，可排除D選C.(2)法一：構(gòu)造函數(shù)f(x)4x和g(x)logax，當(dāng)a>1時(shí)不滿足條件，當(dāng)0<a<1時(shí)，畫出兩個(gè)函數(shù)在上的圖象，可知，f<g，即2<loga，則a>，所以a的取值范圍為.法二：0<x，1<4x2，logax>4x>1，0<a<1，排除選項(xiàng)C，D；取a，x，則有42，log1，顯然4x<logax不成立，排除選項(xiàng)A.答案(1)C(2)B若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁?x1)2<logax在x(1,2)內(nèi)恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：設(shè)f1(x

27、)(x1)2，f2(x)logax，要使當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x1)2<logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的圖象在f2(x)logax圖象的下方即可當(dāng)0<a<1時(shí)，顯然不成立；當(dāng)a>1時(shí)，如圖，要使x(1,2)時(shí)f1(x)(x1)2的圖象在f2(x)logax的圖象下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，又即loga21.所以1<a2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2答案：(1,2由題悟法1對(duì)一些可通過平移、對(duì)稱變換能作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合求解2一些對(duì)數(shù)型方程、

28、不等式問題的求解，常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解以題試法2已知函數(shù)f(x)則yf(1x)的大致圖象是()解析：選C由題意可得f(1x)因此當(dāng)x0時(shí)，yf(1x)為減函數(shù)，且y>0；當(dāng)x<0時(shí)，yf(1x)為增函數(shù)，且y<0.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用典題導(dǎo)入例3已知函數(shù)f(x)log4(ax22x3)(1)若f(x)定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；(2)若f(1)1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由自主解答(1)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，所以ax22x3>0對(duì)任意xR恒成立顯然a0時(shí)不合題意，

29、從而必有即解得a>.即a的取值范圍是.(2)因?yàn)閒(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，這時(shí)f(x)log4(x22x3)由x22x3>0得1<x<3，即函數(shù)定義域?yàn)?1,3)令g(x)x22x3.則g(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減又ylog4x在(0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使f(x)的最小值為0，則h(x)ax22x3應(yīng)有最小值1，因此應(yīng)有解得a.故存在實(shí)數(shù)a使f(x)的最小值為0.由題悟法研究復(fù)合函數(shù)ylogaf(x)的單調(diào)性(最值)時(shí)，應(yīng)先研究其定義域，

30、分析復(fù)合的特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)uf(x)及ylogau的單調(diào)性(最值)情況確定函數(shù)ylogaf(x)的單調(diào)性(最值)(其中a>0，且a1)以題試法3已知f(x)loga(ax1)(a>0且a1)(1)求f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性解：(1)由ax1>0得ax>1，當(dāng)a>1時(shí)，x>0；當(dāng)0<a<1時(shí)，x<0.當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?0，)；當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?，0)(2)當(dāng)a>1時(shí)，設(shè)0<x1<x2，則1<ax1<ax2，故0<ax11<ax21

31、，loga(ax11)<loga(ax21)f(x1)<f(x2)故當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在(0，)上是增函數(shù)類似地，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在(，0)上為增函數(shù)1函數(shù)y的定義域?yàn)?)A(0,8B(2,8C(2,8 D8，)解析：選C由題意可知，1lg(x2)0，整理得lg(x2)lg 10，則解得2<x8，故函數(shù)y的定義域?yàn)?2,82(2012·安徽高考)(log29)·(log34)()A. B.C2 D4解析：選D(log29)·(log34)××4.3若函數(shù)yf(x)是函數(shù)yax(a0，且a1)的反函數(shù)

32、，且f(2)1，則f(x)()Alog2x B.Clogx D2x2解析：選Af(x)logax，f(2)1，loga21.a2.f(x)log2x.4(2011·天津高考)已知alog23.6，blog43.2，clog43.6，則()Aabc BacbCbac Dcab解析：選Balog23.6log43.62log412.96，ylog4x(x0)是單調(diào)增函數(shù)，而3.23.612.96，acb.5(2013·安徽名校模擬)函數(shù)y的大致圖象是()解析：選C由于，所以函數(shù)y是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱當(dāng)x>0時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可知函數(shù)圖象先增后減，結(jié)合選項(xiàng)可知選C.6已

33、知函數(shù)f(x)log|x1|，則下列結(jié)論正確的是()Af<f(0)<f(3)Bf(0)<f<f(3)Cf(3)<f<f(0)Df(3)<f(0)<f解析：選C依題意得f(3)log21<0，log2<flog<log1，即1<f<0，又f(0)log10，因此有f(3)<f<f(0)7(2012·長(zhǎng)安一中質(zhì)檢)對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a，b，若ab則lg 10 0002_.解析：lg 10 000lg 1044，24，lg 10 0002.答案：8函數(shù)ylog(x26x17)的值域是_解析：令tx26x

34、17(x3)288，ylogt為減函數(shù)，所以有l(wèi)ogtlog83.答案：(，39函數(shù)f(x)logax(a>1)在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為，則a等于_解析：a1，f(x)logax在a,2a上為增函數(shù)loga2alogaa，解得a4.答案：410計(jì)算下列各式(1)lg 25lg 2·lg 50(lg 2)2；(2).解：(1)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式.11說明函數(shù)ylog2|x1|的圖象，可由函數(shù)ylog2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到并由圖

35、象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：作出函數(shù)ylog2x的圖象，再作其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形得到函數(shù)ylog2|x|的圖象，再將圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)ylog2|x1|的圖象(如圖所示)由圖知，函數(shù)ylog2|x1|的遞減區(qū)間為(，1)，遞增區(qū)間為(1，)12若f(x)x2xb，且f(log2a)b，log2f(a)2(a1)(1)求f(log2x)的最小值及對(duì)應(yīng)的x值；(2)x取何值時(shí)，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)f(1)解：(1)f(x)x2xb，f(log2a)(log2a)2log2ab.由已知得(log2a)2log2abb，log2a(log2a1)0.a1，l

36、og2a1，即a2.又log2f(a)2，f(a)4.a2ab4.b4a2a2.故f(x)x2x2.從而f(log2x)(log2x)2log2x22.當(dāng)log2x，即x時(shí)，f(log2x)有最小值.(2)由題意0x1.1(2012·山西四校聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)則f(3)的值為()A1 B2C2 D3解析：選D依題意得f(3)f(2)f(1)f(1)f(0)f(1)f(0)log283.2已知f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)lg x設(shè)af，bf，cf，則()Aa<b<c Bb<a<cCc<b<a Dc<a<b解析：選D已知f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)lg x，則affflg>0，bffflg>0，cfflg<0.又因?yàn)閘g>lg，所以0<lg<lg.所以c<a<b.3若函數(shù)f(x)loga(x2ax3)(a>0且a1)，滿足對(duì)任意的x1，x2，