《第二章2平方根》講解與例題北師大版

1、(2)式子,a只有當(dāng)【例1 2】 下列各數(shù)有平方根嗎？如果有,(1) 9； (2)0 ； (3) 9 ； (4)| 0.81| ； (5)求出它的平方根；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.第二章2平方根講解與例題基礎(chǔ)知識(shí)菇本技能i Iff I X If P J J i J f I根有兩個(gè)：2和2, 4沒(méi)有平方根.我明白了，一個(gè)數(shù)a的平方根可以表示成土a.你可要小心哦！ ( 1 )不是任何數(shù)都有平方根，負(fù)數(shù)可沒(méi)有平方根, a>0時(shí)才有意義，因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根.【例1 1】 求下列各數(shù)的平方根:(1) 81 ； (2)( 7)2; (3)1 49.分析：根據(jù)平方根的定義，求一個(gè)數(shù)a的平方根可轉(zhuǎn)化為求

2、一個(gè)數(shù)的平方等于a的運(yùn)算,更具體地說(shuō)，就是找出平方后等于a的數(shù).2解：(1) ( ± 9) = 81, 81的平方根是土 9,即土 .81 = ± 9.' J I K A' f*(1) 平方根的概念：如果一個(gè)數(shù) x的平方等于a,即x 2= a,那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的 平方根(也叫做二次方根).3 2 = 9，所以3是9的平方根.(一3)(2) T ( 7) = 7 = 49, ( 7)2的平方根是土乙即土 ，49=± 7. = 9,所以一3也是9的平方 根，所以9的平方根是3和一3.(2) 平方根的表示方法：正數(shù) a的平方根可記作“土 a ”，讀作

3、“正、負(fù)根號(hào) a”.“ . ”讀作“根號(hào)”，“ a”是被開(kāi)方數(shù)例如：2的平方根可表示為土 .2.(3) 平方根的性質(zhì)：若 x1564( 8 64 -/149= 49，又(士 十 49= a,則有(一x)158 = a,即一x也是a的平方根，因此正數(shù) a的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；只有02= 0,故0的平方根為0;由于同號(hào) 的兩個(gè)數(shù)相乘得正，因此任何數(shù)的平方都不會(huì)是負(fù)數(shù)，故負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.綜合上述：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0只有一個(gè)平方根，它是 0本身；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根如：4的平方分析:序號(hào)存在情況原因(1)有2個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根(4)有2個(gè)(3)無(wú)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根(5)無(wú)(2)有

4、1個(gè)P0的平方根是它本身99解：T是正數(shù)，二匸有兩個(gè)平方根.44f 3 2 993又 土 2只有正數(shù)和0(即非負(fù)數(shù))才有算術(shù)平方根，且算術(shù)平方根也是非負(fù)數(shù)； 一個(gè)正數(shù)a的正的平方根就是它的算術(shù)平方根如果知道一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，就 可以寫(xiě)出它的負(fù)的平方根.【例2】 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：121(1) 0-09 ； (2)面.分析：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，求一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，首先要找出平方等于a的數(shù)，寫(xiě)出平方式；從平方式中確定a的算術(shù)平方根的值.解：(1) V 0-3 = 0.09 , 0.09的算術(shù)平方根是 0.3 ,即 0.09 = 0.3 ；(11121V石=議，121 11莎的算術(shù)

5、平方根是石析規(guī)律如何確定一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)數(shù)的平方根類(lèi)似，先找到一個(gè)平方等于所求數(shù)的數(shù)， 再求算術(shù)平方根，應(yīng)特別注意數(shù)的符號(hào).3. 開(kāi)平方求一個(gè)數(shù)a(a>0)的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方，其中a叫做被開(kāi)方數(shù)開(kāi)平方運(yùn)算是已知指數(shù)和幕求底數(shù).(1)因?yàn)槠椒胶烷_(kāi)平方互逆，故可通過(guò)平方來(lái)尋找一個(gè)數(shù)的平方根，也可以利用平方驗(yàn) 算所求平方根是否正確.=；，二；的平方根是士 o- 2；442(2) 0只有一個(gè)平方根，是它本身.(3) V- 9是負(fù)數(shù)， 9沒(méi)有平方根.(4) V | 0.81| = ( 士 0.9)，是正數(shù), I 0.81|的平方根是士 09(5) V- 22=

6、 4,是負(fù)數(shù)， 22沒(méi)有平方根.2. 算術(shù)平方根(1) 算術(shù)平方根的概念：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2 = a,那么這個(gè)正數(shù) x就叫做a的算術(shù)平方根.(2) 算術(shù)平方根的表示方法：正數(shù) a的算術(shù)平方根記作“，a”，讀作“根號(hào)a”.(3) 算術(shù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)有一個(gè)正的算術(shù)平方根；0的算術(shù)平方根是0;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，當(dāng)然也沒(méi)有算術(shù)平方根.指數(shù)根指數(shù)開(kāi)方底數(shù)¥被開(kāi)方數(shù)(2) 開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算，正數(shù)、負(fù)數(shù)、0可以進(jìn)行“平方”運(yùn)算，且“平方”的結(jié)果只有一個(gè)；但“開(kāi)平方”只有正數(shù)和 0才可以，負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方，且正數(shù)開(kāi)平方時(shí)有兩 個(gè)結(jié)果.(3) 對(duì)于生活和生產(chǎn)中的已知面積求長(zhǎng)度的問(wèn)

7、題，一般可用開(kāi)平方加以解決.2【例3】 小明家計(jì)劃用80塊正方形的地板磚鋪設(shè)面積是20 m的客廳，試問(wèn)小明家需要購(gòu)買(mǎi)邊長(zhǎng)是多少的地板磚？2 2解：設(shè)正方形的地板磚的邊長(zhǎng)為x m,由題意，得80x = 20,則x = 0.25.故x=± 0.5.地板磚的邊長(zhǎng)不能為負(fù)數(shù)，x= 0.5.小明家應(yīng)購(gòu)買(mǎi)邊長(zhǎng)為 0.5 m的地板磚.4. ：.”a2與(a)2的關(guān)系a表示a的算術(shù)平方根，依據(jù)算術(shù)平方根的定義，(.a)2= a(a>0).a2表示a2的算術(shù)平方根，依據(jù)算術(shù)平方根的定義，若a>0,則a2的算術(shù)平方根為a；若av0,則a2的算術(shù)平方根為一a,即 a2 = | a| =a, a

8、>0,-a, a<0.(1)區(qū)別：意義不同：C.a)2表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方；,a2表示實(shí)數(shù)a的平 方的算術(shù)平方根.取值范圍不同：(，a)2中的a為非負(fù)數(shù)，即a>0； a2中的a為任意數(shù). 運(yùn)算順序不同：(.a)2是先求a的算術(shù)平方根，再求它的算術(shù)平方根的平方；a2是先求a的平方，再求平方后的算術(shù)平方根寫(xiě)法不同在(a)2中，幕指數(shù)2在根號(hào)的外面；而在百中，幕指數(shù)2在根號(hào)的里面.運(yùn)算結(jié)果不同：(、/a)2= a；ja2=iai=a a"0'-a, a<0.(2)聯(lián)系：在運(yùn)算時(shí)，都有平方和開(kāi)平方的運(yùn)算兩式運(yùn)算的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)，即(,a)2>0

9、,a2>0.僅當(dāng) a0 時(shí)，有(,a)2 = a2.點(diǎn)技巧巧用(百)2 = a將(a)2= a反過(guò)來(lái)就是a= C.a)2，利用此式可使某些運(yùn)算更為簡(jiǎn)便.【例 4】 化簡(jiǎn)：(J6) 2 =； 1( 7)2 =.解析：.(-7)2=| 7| = 7.答案：67幣加8涵?基靜力嶺“ # 3毗y | J fi： N fr “ ;v .J； F 4 J p Jf E ：N IC.'M f； J. f5. 平方根與算術(shù)平方根的關(guān)系(1)區(qū)別： 概念不同平方根的概念：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x2= a,那么這個(gè)數(shù)x叫做a的平方根.算術(shù)平方根的概念：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2= a,

10、那么這個(gè)正數(shù) x叫做a的算術(shù)平方根. 表示方法不同平方根：正數(shù)a的平方根用符號(hào)土 ，a表示.算術(shù)平方根：正數(shù) a的算術(shù)平方根用符號(hào)a表示，正數(shù)a的負(fù)的平方根一a可以看成是正數(shù)a的算術(shù)平方根的相反數(shù). 讀法不同a讀作“根號(hào)a”；± a讀作“正、負(fù)根號(hào) a”. 結(jié)果和個(gè)數(shù)不同一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)且一定為正數(shù)，而一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們一正一負(fù)且互為相反數(shù).聯(lián)系： 平方根中包含了算術(shù)平方根，就是說(shuō)算術(shù)平方根是平方根中的一個(gè)， 即一個(gè)正數(shù)的平 方根有一正一負(fù)兩個(gè)，其中正的那一個(gè)就是它的算術(shù)平方根， 這樣要求一個(gè)正數(shù) a的平方根, 只要先求出這個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根 .a,就可以直接寫(xiě)

11、出這個(gè)正數(shù)的平方根土 a了. 在平方根土 a和算術(shù)平方根 a中，被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即a>0.嚴(yán)格地講，正數(shù)和0既有平方根，又有算術(shù)平方根，負(fù)數(shù)既沒(méi)有平方根，又沒(méi)有算術(shù)平方根. 0的平方根和算術(shù)平方根都是0.我的筆記2【例5 - 1】 求(一3)的平方根；計(jì)算144;(3) 求(n 3.142) ± 81 ; (2) .16; (3)''25； (4) ( 4)2. 分析：土 . 81表示81的平方根，故其結(jié)果是一對(duì)相反數(shù)；一 16表示16的負(fù)平方根,的算術(shù)平方根；求屮6的平方根.錯(cuò)解(1) 因?yàn)?一3) = 9，故(一3)的平方根是一3；(2) 因?yàn)?土 12

12、) 2= 144，所以巳 144=± 12；(3) ( n 3.142) 2 的算術(shù)平方根是 yj( n 3.142) 2 = n 3.142 ；或±( n 3.142)(4) 寸16的平方根是土 4.剖析(1) 一個(gè)正數(shù)的平方根是互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，而這里(3)2的平方根只有一個(gè)數(shù)，只表明兩個(gè) 平方根中的一個(gè)負(fù)的平方根，漏掉了一個(gè)正的平方根；(2) 混淆了平方根與算術(shù)平方根的概念，44表示144的算術(shù)平方根，它是一個(gè)非負(fù)數(shù)，錯(cuò)解中出現(xiàn)了增解一12；(3) 錯(cuò)在忽視了 n V 3.142，即n 3.142 V 0；或混淆了平方根與算術(shù)平方根的概 念；(4) 這里錯(cuò)誤地將 &

13、quot;6的平方根當(dāng)成16的平方根，其實(shí)這里是求16的算術(shù)平方根的平方根，該題將兩個(gè)相近概念“算術(shù)平方根”和“平方根”含在一個(gè)小題中.正解(1) ± VT 3)2=± 西=± 3； 744 = 12； 7( n 3.142) 2= ( n 3.142) = 3.142 n ； (4) Ji6= 4，它的平方根是土 2.【例5 2】 求下列各式的值:99d22故其結(jié)果是負(fù)數(shù)；* ：25表示亦的算術(shù)平方根，故其結(jié)果是正數(shù)；(-4)2表示(-4)2的算術(shù)平方根，故其結(jié)果必為正數(shù).解： T92 = 81,.± , 81 = ±9 .(2) 42= 1

14、6 , 護(hù)=4.3 9廠9 3(3) T 葉25，冷N(xiāo)弋.42= ( 4)2, Z ( - 4)2= 4.釋疑點(diǎn)與平方根相關(guān)的三種符號(hào)弄清與平方根有關(guān)的三種符號(hào)土. a, . a, . a的意義是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.土，a表示非負(fù)數(shù)a的平方根，a表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，一，a表示非負(fù)數(shù)a的負(fù)平方根注 意.a± a.在具體解題時(shí)，“.”的前面是什么符號(hào)，其計(jì)算結(jié)果就是什么符號(hào)，既不 能漏掉，也不能多添.思維拓展創(chuàng)斯用川Pt Ji亍、二;丁L廠心=: *- 6巧用算術(shù)平方根的兩個(gè)“非負(fù)性”眾所周知，算術(shù)平方根.a具有雙重非負(fù)性：(1) 被開(kāi)方數(shù)具有非負(fù)性，即a>0.(2) a本身

15、具有非負(fù)性，即卩a> 0.這兩個(gè)非負(fù)性形象、全面地反映了算術(shù)平方根的本質(zhì)屬性在解決與此相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，若能仔細(xì)觀察、認(rèn)真地分析題目中的已知條件，并挖掘出題目中隱含的這兩個(gè)非負(fù)性，就可避免用常規(guī)方法造成的繁雜運(yùn)算或誤解，從而收到事半功倍的效果.由于初中階段學(xué)習(xí)的非負(fù)數(shù)有三類(lèi)，即一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，一個(gè)數(shù)的平方(偶次方)和非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.關(guān)于算術(shù)平方根和平方數(shù)的非負(fù)性相關(guān)的求值問(wèn)題，一般情況下都是它們的和等于0的形式.此類(lèi)問(wèn)題可以分成以下幾種形式：(1) 算術(shù)平方根、平方數(shù)、絕對(duì)值三種中的任意兩種組成一題 I | + ( )2= 0, | | + 廠 =0, ( )2+廠 =0，甚至同一道 題

16、目中同時(shí)出現(xiàn)這三個(gè)內(nèi)容| + ( )2 + . = 0(2) 題目中沒(méi)有直接給出平方數(shù)，而是需要先利用完全平方公式把題目中的某些內(nèi)容進(jìn) 行變形，然后再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.【例 6 1】 若寸-x2 + y = 6,貝H x =, y=.解析：由咯一x?有意義得x= 0,故y= 6.答案：0 6【例 6 2 若| m 1|n 5 = 0，貝H m=, n=.解析：根據(jù)題意，得 m 1= 0, n 5= 0,所以m= 1, n= 5.答案：15注：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0，則每個(gè)數(shù)都為0.【例2013成立，求x + y 3的值.分析：由算術(shù)平方根被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性知，x 4>0, 4 x >0,因此，x2 4 = 0,即 x =± 2;又 x + 2工0, 即卩 xm 2,得解.所以x = 2, y