二次曲線(xiàn)有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題解法的探討

1、二次曲線(xiàn)有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題解法的探討例1 橢圓的弦被(4，2)點(diǎn)所平分，求此弦所在的直線(xiàn)方程。這樣的題一般解法是：解1：(待定系數(shù)法)設(shè)所求直線(xiàn)方程為：y2k(x4)即ykx4k2將其代入橢圓方程，消元后整理得關(guān)于x的一元二次方程(4k21)X2(32K216k)x64k200，  (4，2)在橢圓內(nèi)且是直線(xiàn)與橢圓相交弦的中點(diǎn)。4，由韋達(dá)定理可知x1x2。 4，解得k   所求直線(xiàn)方程為(y2) (x4)即 x2y80解2：(代點(diǎn)法)設(shè)過(guò)(4，2)點(diǎn)的線(xiàn)與已知橢圓相交于A(yíng)(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則有：得(x12x22)4(y12y22)0即(x1x2)(x1x2

2、)4(y1 y2)( y1 y2)0將代入可求得 即k即k，以下同上。這兩種解法無(wú)可非議是正確的。但運(yùn)算較為煩瑣。筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中，總結(jié)出一種解這類(lèi)問(wèn)題的方法。供同行參考。設(shè)橢圓方程為： 1(ab0，kAB表示橢圓以A(x1，y1)，B(x2，y2)為端點(diǎn)的弦AB的斜率，令M(X0，Y0)為AB的中點(diǎn)，M與橢圓中心O'(h，k)連線(xiàn)的斜率為ko'm，則有kom.kAB ，()因?yàn)橛葾，B在橢圓上，可得:b2(x1h)2a2(y1k)2a2b22，b2(x2h)2a2(y2k)2a2b2，兩式相減后再變形，即得:b2(x1x22h)(x1x2)a2(y1y22k)(y1 y

3、2)0  M是AB的中點(diǎn)，所以X1X22X0，y1y22y0代入上式，可得b2(X0h)(X1X2)a2(y0K)(y1y2)0.依題意，kAB，k0'm存在，所以X1X2， X0h，故有即Ko'mKAB 對(duì)于雙曲線(xiàn)： 1 (a0，b0)同理可得Ko'mKAB ()對(duì)于拋物線(xiàn)(xh)2±2p(yk)或(yk)2±2p(xh)也可有KAB±或KAB± 下面舉例對(duì)公式()() ()的應(yīng)用.上面一題可：O(0，0)，M(4，2)，a236，b29，即KAB·，kAB.所求直線(xiàn)方程y2(x4)即x2y80。例2 求橢圓

4、1中斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡。解：橢圓的中心O(3，2)，a29，b21，令弦的中點(diǎn)為M(x，y)，則ko'M，kAB2由公式(I)可得：·2，化簡(jiǎn)得：2x9y240，即為所求軌跡。例3 求證經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡仍然是一個(gè)橢圓。證明：設(shè)橢圓方程為：b2x2a2y2a2b2焦點(diǎn)為F(c，o)，c.又過(guò)焦點(diǎn)F的弦為AB。其中點(diǎn)為M(x，y)，當(dāng)M不是原點(diǎn)或焦點(diǎn)F時(shí)，由公式()得：整理得：b2x2a2y2b2cx0.原點(diǎn)和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)顯然也滿(mǎn)足此方程，此方程配方后可化為：可見(jiàn)，此方程表示的是以(c2，o)為中點(diǎn)，焦點(diǎn)在x的軸上的橢圓。例4 雙曲線(xiàn)x22y24y30的一條弦AB被點(diǎn)M(5，2)平分，求AB所在的直線(xiàn)方程。解：程可化為1，設(shè)所求直線(xiàn)AB的斜率為k，O'(3，1).由公式() 可得：，k故直線(xiàn)AB的方程為：y24(x5)即：4xy180為所求。例5 線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為定為L(zhǎng)，它的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線(xiàn)yx2上移動(dòng)，求動(dòng)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的軌跡方程。解：由題意可知AB不平行于y軸。設(shè)AB所在的直線(xiàn)為ykxb.令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)A、B中點(diǎn)M(x，y).由AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，得：(x1x2)2(y1y