第二章動(dòng)角-二階線性偏微分方程及其分類(共5頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二章 二階線性偏微分方程及其分類二階線性偏微分方程的一般形式：其中是自變量的函數(shù)，如果f=0，則方程是線性齊次方程，否則方程是非線性齊次方程。（一）兩個(gè)自變量方程的分類：一般形式： （1）其中只是x，y的函數(shù)。以下討論時(shí)，假定是實(shí)數(shù)。作變量代換，則在上式代換下方程（1）變?yōu)?（2）其中系數(shù)： （3）從（3）中可以看出，如果取一階偏微分方程 （4）的一個(gè)特解作為，則從而A11=0。如果取（4）的另外一個(gè)特解作為，則A22=0，這樣方程（2）就可以簡(jiǎn)化。一階偏微分方程（4）的求解可以轉(zhuǎn)化為常微分方程的求解，將（4）改寫成：如果將看作定義隱函數(shù)的方程，則從而有： （5）常

2、微分方程（5）叫做二階線性偏微分方程的特征方程。特征方程的一般積分和叫做特征線。（5）的解為 （6）若，二階線性偏微分方程為雙曲型方程若，二階線性偏微分方程為拋物型方程若，二階線性偏微分方程為橢圓型方程1：雙曲型當(dāng)時(shí)，（6）式給出一族實(shí)的特征曲線，取，則，這時(shí)方程變?yōu)槿粼僮鲃t上述方程變?yōu)椋?：拋物型當(dāng)，這時(shí)（6）式只有一個(gè)解它只能給出一個(gè)實(shí)的特征線，。取與函數(shù)無關(guān)的作為另一個(gè)新的變量，則3：橢圓型當(dāng)時(shí)，（6）式各給出一族復(fù)特征線，在該變換下：且方程化為：令則有：例：判斷下面偏微分方程的類型并化簡(jiǎn)解：， 故該方程為雙曲型偏微分方程，其特征方程或故有或取新變量，則，代入原方程得：即：例：判定下列二

3、階方程的類型（1）（2）（3）（二）數(shù)學(xué)物理方程解的基本性質(zhì)1方程的解定義：如果有一個(gè)函數(shù)在某一自變量取值區(qū)域中具有所需的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且代入數(shù)學(xué)物理方程后使該方程成為恒等式，則稱此函數(shù)為在該取值區(qū)域方程的解。2解的基本性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)和u2都是線性齊次方程解，則也是線性齊次方程的解。其中 是線性微分算子。性質(zhì)2：設(shè)都是線性齊次方程的解，且級(jí)數(shù)是收斂的，并且對(duì)自變量均可兩次通項(xiàng)微分，則u是線性齊次方程的解。這個(gè)結(jié)論叫解的疊加原理。性質(zhì)3：設(shè)u1是線性齊次方程的解，u2是非線性齊次方程的解，則也是非線性齊次方程的解。3定解問題的適應(yīng)性在數(shù)學(xué)上，適應(yīng)性問題包括：解的存在性，解的唯一性、解的穩(wěn)定性。解的穩(wěn)定性是研究定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，解是否也發(fā)生微小變化。下面列舉不穩(wěn)定的定解問題，即著名的哈達(dá)馬問題拉普拉氏方程的初值問題為：初值發(fā)生微小變化，定解問題為：解為當(dāng)n充分t時(shí)，初